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(3)若1+x+x2+…+x2015=0,求x2016的值.
4.如图1是一个长为2a,宽为2b的长方形(a>b),沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形,然后按图2方式拼成一个大正方形
(1)你认为图2中大正方形的边长为 ;
小正方形(阴影部分)的边长为 .(用含a、b代数式表示)
(2)仔细观察图2,利用图2中存在的面积关系,直接写出下列三个代数式:
(a﹣b)2,(a+b)2,4ab之间的等量关系
(3)利用
(2)中得出的结论解决下面的问题:
已知a+b=7,ab=6,求代数式(a﹣b)的值.
5.如图是一个长为2a、宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形,然后按图2形状拼成一个正方形.
(1)请利用图2中的空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a、b的恒等式 .
(2)若a+b=10,ab=6,根据你所得到的恒等式,求(a﹣b)的值.
6.
(1)如图①,在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形,通过不同的方法计算图中阴影部分的面积;
方法① ;
方法② ;
由此可以验证的乘法公式是 .
(2)类似地,在边长为a的正方体上割去一个边长为b(b<a)的小正方体(如图②),通过不同的方法计算图中余下几个几何体的体积.
由此可以得到的等式是 ,并证明这个等式.
7.如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状围成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分面积为 ;
(2)观察图②,请你写出三个代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系是 .
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图③,它表示了 .
(4)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.(在图中标出相应的长度)
8.如图所示,图1是一个长为2x,宽为2y的长方形,沿图中虚线剪成四个完全相同的小长方形,再按图2围成一个正方形.
(1)请用两种方法计算图2中中间小正方形的面积;
(2)比较
(1)的两种结果,你能得到怎样的等量关系?
9.如图
(1),将一个长为4a,宽为2b的长方形,沿图中虚线均匀分成4个小长方形,然后按图
(2)形状拼成一个正方形.
(1)图
(2)中的空白部分的边长是多少?
(用含a,b的式子表示)
(2)观察图
(2),用等式表示出(2a﹣b)2,ab和(2a+b)2的数量关系;
(3)若2a+b=7,ab=3,求图
(2)中的空白正方形的面积.
10.
(1)先化简,再求值:
(a+b﹣3)(a﹣b﹣3)+(4ab3﹣8a2b2)÷
4ab,其中a=2,b=1.
(2)解方程:
(3x+1)(2x2﹣2x+1)﹣2x2(3x﹣2)=0.
11.观察以下等式:
(x+1)(x2﹣x+1)=x3+1
(x+3)(x2﹣3x+9)=x3+27
(x+6)(x2﹣6x+36)=x3+216
…
(1)按以上等式的规律,填空:
(a+b)( )=a3+b3
(2)利用多项式的乘法法则,说明
(1)中的等式成立.
(3)利用
(1)中的公式化简:
(x+y)(x2﹣xy+y2)﹣(x+2y)(x2﹣2xy+4y2)
12.基本事实:
若am=an(a>0,且a≠1,m、n都是正整数),则m=n.试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗?
试试看,相信你一定行!
①如果2×
8x×
16x=222,求x的值;
②如果2x+2+2x+1=24,求x的值.
13.
(1)对于算式2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
不用计算器,你能计算出来吗?
(2)你知道它的计算结果的个位是几吗?
(3)根据
(1)推测(a+1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)(a16+1)…(a1024+1)= .
14.先化简,再求值:
[(2x+y)2﹣(2x+y)(2x﹣y)﹣y(5x+y)]÷
y,其中x﹣y=2.
15.先化简,再求值:
(1)[(2x+y)2﹣(x+y)(x﹣4y)﹣5y2]÷
(2x),其中
;
(2)a(a﹣2b)+2(a+b)(a﹣b)+(a+b)2;
其中
.
16.阅读下列材料:
因为(x﹣2)(x+3)=x2+x﹣6,所以(x2+x﹣6)÷
(x﹣2)=x+3,即,x2+x﹣6能被x﹣2整除.所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式,且当x=2时,x2+x﹣6=0.
(1)由(x+2)(x+3)=x2+5x+6,得x2+5x+6能被 整除,且当x= 时,x2+5x+6=0;
(2)根据以上材料,已知多项式x2+mx﹣14能被x+2整除,试求m的值.
17.问答题.
一个等边三角形框架的面积是4a2﹣2a2b+ab2,一边上的高为2a,求该三角形框架的周长.
18.阅读材料,并解答下列问题:
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;
(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,…
(1)试求26+25+24+23+22+2+1的值.
(2)判断22014+22013+22012+…+22+2+1的结果的个位数字是几.
19.
(1)已知:
a﹣b=
,a2+b2=2
.求(﹣ab)2014
(2)已知:
(x+y)2=25,(x﹣y)2=9,求x2+y2的值.
20.阅读理解
若x满足(x﹣2013)(2000﹣x)=﹣302,试求(x﹣2013)2+(2000﹣x)2的值
解:
设x﹣2013=a,2000﹣x=b,则ab=﹣302,且a+b=(x﹣2013)+(2000﹣x)=﹣13
∵(a+b)2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=(﹣13)2﹣2×
(﹣302)=773,即(x﹣2013)2+(2000﹣x)2的值为773
解决问题:
请你根据上述材料的解题思路,完成下面一题的解答过程.
若y满足(y﹣2013)2+(y﹣2010)2=4015,试求(y﹣2013)(y﹣2010)的值.
21.已知a+b=5,ab=7,求
,a2﹣ab+b2的值.
22.
(1)已知x+y=5,x2+y2=13,求(x﹣y)2的值.
(2)若(x2+nx+3)(x2﹣3x+m)的乘积中不含x3和x项,求m,n的值.
23.我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积时,可以得到一个数学等式,例如由图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2.请解答下列问题:
(1)直接写出图2中所表示的数学等式 ;
(2)写出图3中所表示的数学等式,并利用所得到的结论,解决下面的问题:
已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)图4中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片,若干个长为a、宽为b的长方形纸片,请先写出数学等式:
(2a+b)(a+2b)= ,再利用所给的纸片拼出一个几何图形,验证该公式.
24.已知x2+y2﹣6x﹣8y+25=0,求代数式
25.若a2+b2+4a﹣6b+13=0,试求ab的值.
26.
(1)已知32m=5,3n=10,求①9m﹣n;
②92m﹣n.
(2)已知将(x3+mx+n)(x2﹣3x+4)展开的结果不含x3和x2项.
①求m、n的值;
②当m、n取第①小题的值时,求(m+n)(m2﹣mn+n2)的值.
27.已知16m=4×
22n﹣2,27n=9×
3m+3,求(n﹣m)2008的值.
28.比较375与2100的大小关系.
29.小明是一位刻苦学习,勤于思考的同学,一天,他在解方程时突然产生了这样的想法,x2=﹣1,这个方程在实数范围内无解,如果存在一个数i2=﹣1,那么方程x2=﹣1可以变成x2=i2,则x=±
i,从而x=±
i是方程x2=﹣1的两个解,小明还发现i具有以下性质:
i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=﹣i;
i4=(i2)2=(﹣1)2=1,i5=i4•i=i,i6=(i2)3=(﹣1)3=﹣1,i7=i6•i=﹣i,i8=(i4)2=1,…
请你观察上述等式,根据你发现的规律填空:
i4n+1= ,i4n+2= ,i4n+3= ,i4n+4= (n为自然数).
30.
(1)已知,32m=5,3n=10.求9m﹣n的值.
(2)已知x2+x﹣2=5,求x4+x﹣4的值
(3)已知x2﹣5x+1=0,求
参考答案与试题解析
1.(2010•东莞校级一模)对于任何实数,我们规定符号
【分析】应先根据所给的运算方式列式并根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简,再把已知条件整体代入求解即可.
【解答】解:
=(x+1)(x﹣1)﹣3x(x﹣2),
=x2﹣1﹣3x2+6x,
=﹣2x2+6x﹣1,
∵x2﹣3x+1=0,
∴x2﹣3x=﹣1,
∴原式=﹣2(x2﹣3x)﹣1=2﹣1=1.
【点评】本题考查了平方差公式,单项式乘多项式,弄清楚规定运算的运算方法是解题的关键.
①(x﹣1)(x+1)= x2﹣1 ;
②(x﹣1)(x2+x+1)= x3﹣1 ;
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)= x4﹣1 ;
①(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= x7﹣1 ;
②(x﹣1)(x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= x10﹣1 ;
(3)(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1)= xn﹣1 (n为整数);
(4)若(x﹣1)•m=x15﹣1,则m= x14+x13+x12+…+x2+x+1 ;
【分析】
(1)运用乘法公式以及多项式乘多项式的法进行计算即可;
(2)根据
(1)中的计算结果的变换规律进行判断即可;
(3)根据
(1)
(2)中的计算结果总结变换规律即可;
(4)根据(3)中的规律,直接求得m的表达式即可;
(5)根据(3)中的规律列出等式进行变形,求得226+225+…+2+1的值.
(1)①(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;
②(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣1=x4﹣1;
(2)①(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7﹣1;
②(x﹣1)(x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x10﹣1;
(3)(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1)=xn﹣1(n为整数);
(4)∵(x﹣1)•m=x15﹣1,
∴m=x14+x13+x12+…+x2+x+1;
(5)∵(2﹣1)(226+225+224+…+22+2+1)=227﹣1,
∴226+225+…+2+1=227﹣1.
【点评】本题主要考查了多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.计算时按一定的顺序进行,必须做到不重不漏.
(x﹣1)= xn+xn﹣1+…+x+1 ;
(1)根据已知发现结果的规律:
按x进行降幂排列,各项系数为1,直接写出结论即可;
(2)将
(1)中的规则逆用,计算即可;
(3)将
(1)中结论逆用,列出方程,求解即可.
(1)由已知发现,结果的规律:
按x进行降幂排列,各项系数为1,最高次项的次数为等式前面的最高次数减1,
可知;
(xn+1﹣1)÷
(x﹣1)=xn+xn﹣1+…+x+1,
(2)22015+22014+…+2+1=(22016﹣1)2÷
(2﹣1)=22016﹣1;
(3)由1+x+x2+…+x2015=0可得,
(x2016﹣1)÷
(x﹣1)=0,
∴x2016﹣1=0,
∴x2016=1.
【点评】此题主要是规律问题的探索与应用,根据具体的等式发现规律并合理分析应用是解题的关键.
4.(2016秋•内江期末)如图1是一个长为2a,宽为2b的长方形(a>b),沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形,然后按图2方式拼成一个大正方形
(1)你认为图2中大正方形的边长为 (a+b) ;
小正方形(阴影部分)的边长为 (a﹣b) .(用含a、b代数式表示)
(1)本题可以直接求阴影部分正方形的边长,计算面积;
也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积,得阴影部分的面积;
(2)由
(1)即可得出三个代数式之间的等量关系;
(3)将a+b=7,ab=6,代入三个代数式之间的等量关系即可求出(a﹣b)2的值.
(1)图2中大正方形的边长为(a+b);
小正方形(阴影部分)的边长为(a﹣b);
(2)三个代数式之间的等量关系是:
(a+b)2=(a﹣b)2+4ab;
(3)(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=25,所以a﹣b=5;
故答案为:
(a+b);
(a﹣b).
【点评】本题主要考查公式变形能力,如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键.
5.(2016秋•安图县期末)如图是一个长为2a、宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形,然后按图2形状拼成一个正方形.
(1)请利用图2中的空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a、b的恒等式 (a+b)2=(a﹣b)2+4ab .
(1)阴影部分的面积可以看作是边长(a﹣b)的正方形的面积,也可以看作边长(a+b)的正方形的面积减去4个小长方形的面积;
(2)利用
(1)的结论,把(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,把数值整体代入即可.
(1)恒等式为:
(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.
例如:
当a=5,b=2时,
(a+b)2=(5+2)2=49
(a﹣b)2=(5﹣2)2=9
4ab=4×
5×
2=40
因为49=40+9,
所以(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.
:
(2)∵a+b=10,
(a+b)2=100,
∵(a+b)2=(a﹣b)2+4ab,ab=6,
∴(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=100﹣4×
6=76,
∴a﹣b=2
或a﹣b=﹣2
,
∵a>b,
【点评】本题考查了列代数式,完全平方公式的实际应用,完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起.要学会观察.
6.(2016春•秦淮区期末)
(1)如图①,在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形,通过不同的方法计算图中阴影部分的面积;
方法① a2﹣b2 ;
方法② a(a﹣b)+b(a﹣b) ;
由此可以验证的乘法公式是 (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 .
方法① a3﹣b3 ;
方法② a2(a﹣b)+ab(a﹣b)+b2(a﹣b) ;
由此可以得到的等式是 a3﹣b3=(a﹣b)(a2+ab+b2) ,并证明这个等式.
(1)阴影部分面积可以由直接求,也可以间接求出,由此验证平方差公式即可;
(2)仿照
(1)中方法计算结果,利用多项式乘多项式法则验证即可.
(1)①a2﹣b2;
②a(a﹣b)+b(a﹣b);
由此可以验证的乘法公式是(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;
①a2﹣b2;
(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;
(2)①a3﹣b3;
②a2(a﹣b)+ab(a﹣b)+b2(a﹣b);
由此可以验证的乘法公式是a3﹣b3=(a﹣b)(a2+ab+b2),
证明:
等式右边=(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2﹣a2b+ab2﹣b3=a3﹣b3=左边,得证.
①a3﹣b3;
a3﹣b3=(a﹣b)(a2+ab+b2)
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景,弄清题中阴影部分面积求法是解本题的关键.
7.(2016春•莘县期末)如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状围成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分面积为 (m+n)2﹣4mn或(m﹣n)2 ;
(2)观察图②,请你写出三个代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系是 (m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2 .
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图③,它表示了 (2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2 .
(1)根据图形表示出阴影部分的面积即可;
(2)根据
(1)中的结果得出即可;
(3)根据大长方形面积等于长乘以宽或5个矩形面积和的两种不同算法可列出等式;
(4)画出长m+n和宽m+3n的矩形,再分成8个矩形即可.
(1)图②中阴影部分的面积为(m+n)2﹣4mn或(m﹣n)2,
(m+n)2﹣4mn或(m﹣n)2;
(2)三个代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系是(m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2,
(m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2;
(3)图③表示的关系式为:
(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2,
(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2;
(4)如图所示:
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,属于基础题,注意仔细观察图形,表示出各图形的面积是关键.
8.(2016春•湘潭期末)如图所示,图1是一个长为2x,宽为2y的长方形,沿图中虚线剪成四个完全相同的小长方形,再按图2围成一个正方形.
(1)用大正方形的面积减去4个长方形的面积即(x+y)2﹣4xy;
也可以直接利用正方形的面积公式得到2中阴影部分的面积为(x﹣y)2;
(2)利用面积之间的关系易得结论.
(1)法1:
大正方形的面积减去四个小矩形的面积:
(x+y)2﹣4xy.
法2:
小正方形的边长为x﹣y,面积为:
(x﹣y)2.
(2)等量关系为:
(x+y)2﹣4xy=(x﹣y)2.
【点评】本题考查了列代数式:
根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量.
9.(2016春•莱芜期末)如图
(1),将一个长为4a,宽为2b的长方形,沿图中虚线均匀分成4个小长方形,然后按图
(2)形状拼成一个正方形.
(1)先计算空白正方形的面积,再求边长;
(2)利用等量关系式S空白=S大正方形﹣4个S长方形代入即可;
(3)直接代入
(2)中的式子.
(1)∵图
(2)中的空白部分的面积=(2a+b)2﹣4a×
2b=4a2+4ab+b2﹣8ab=(2a﹣b)2,
∴图
(2)中的空白部分的边长是:
2a﹣b;
(2)∵S空白=S大正方形﹣4个S长方形,
∴(2a﹣b)2=(2a+b)2﹣4×
2a×
b,
则(2a﹣b)2=(2a+b)2﹣8ab;
(3)当2a+b=7,ab=3时,S=(2a+b)2﹣8ab=72﹣8×
3=25;
则图
(2)中的空白正方形的面积为25.
【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义的理解,应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义;
主要是根据图形特点,利用面积的和差来计算.
10.(2016秋•新泰市期末)
(1)先化简,再求值:
(1)原式利用平方差公式及完全平方公式,以及多项式除以单项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值;
(2)方程左边利用多项式乘多项式,单项式乘多项式法则计算,合并同类项,将x系数化为1,即可求出解.
(1)原式=(a﹣3)2﹣b2+b2﹣2ab=a2﹣6a+9﹣2ab,
当a=2,b=1时,原式=4﹣12+9﹣4=﹣3;
(2)方程整理得:
6x3﹣6x2+3x+2x2﹣2x+1﹣6x3+4x2=0,
解得:
x=﹣1.
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值,以及解一元一次方程,熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键.
11.(2016春•南岸区校级月考)观察以下等式:
(a+b)( a2﹣ab+b2 )=a3+b3
(2)利用多项式的乘法法则,说
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