考点37 独立事件与独立重复试验高考数学专题复习真题附解析.docx
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考点37独立事件与独立重复试验高考数学专题复习真题附解析
考点37独立事件与独立重复实验
【题组一独立事件】
1.某校为了增强学生的记忆力和辨识力,组织了一场类似《最强大脑》的PK赛,两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手PK,比赛四局.除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为()
A.B.C.D.
2.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、,三人各射击一次,击中目标的次数记为.
(1)求甲、乙两人击中,丙没有击中的概率;
(2)求的分布列及数学期望.
3.在一次庙会上,有个“套圈游戏”,规则如下:
每人3个竹环,向A,B两个目标投掷,先向目标A掷一次,套中得1分,没有套中不得分,再向目标B连续掷两次,每套中一次得2分,没套中不得分,根据最终得分发放奖品.已知小华每投掷一次,套中目标A的概率为,套中目标B的概率为,假设小华每次投掷的结果相互独立.
(1)求小华恰好套中一次的概率;
(2)求小华总分X的分布列及数学期望.
4.甲、乙两人进行围棋比赛,比赛要求双方下满五盘棋,开始时甲每盘棋赢的概率为,由于心态不稳,甲一旦输一盘棋,他随后每盘棋赢的概率就变为.假设比赛没有和棋,且已知前两盘棋都是甲赢.
(Ⅰ)求第四盘棋甲赢的概率;
(Ⅱ)求比赛结束时,甲恰好赢三盘棋的概率.
5.甲、乙、丙三人参加竞答游戏,一轮三个题目,每人回答一题为体现公平,制定如下规则:
①第一轮回答顺序为甲、乙、丙;第二轮回答顺序为乙、丙、甲;第三轮回答顺序为丙,甲、乙;第四轮回答顺序为甲、乙、丙;…,后面按此规律依次向下进行;
②当一人回答不正确时,竞答结束,最后一个回答正确的人胜出.
已知,每次甲回答正确的概率为,乙回答正确的概率为,丙回答正确的概率为,三个人回答每个问题相互独立.
(1)求一轮中三人全回答正确的概率;
(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率;
(3)记为甲在第轮胜出的概率,为乙在第轮胜出的概率,求与,并比较与的大小.
6.甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:
(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.
7.某精密仪器生产厂准备购买,,三种型号数控车床各一台,已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时,可以额外购买这种易损件作为备件,每个0.1万元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件,为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数,得到如下统计表:
每台车床在一年中更换易损件的件数
5
6
7
频数
型号
60
60
0
型号
30
60
30
型号
0
80
40
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率,每台车床在易损件的更换上相互独立.
(Ⅰ)求一年中,,三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率;
(Ⅱ)以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据,问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件?
【题组二独立重复实验】
1.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,该运动员连续3次射击,中靶2次的概率是__.
2.某工厂的某种产品成箱包装,每箱件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点;
(2)现对一箱产品检验了件,结果恰有件不合格品,以
(1)中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
3.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中,上面7层为高尔顿板,最下面一层为改造的高尔顿板,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2,………7的球槽内.
(1)若进行一次高尔顿板试验,求小球落入第7层第6个空隙处的概率:
(2)小明同学在研究了高尔顿板后,利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动,8元可以玩一次高尔顿板游戏,小球掉入X号球槽得到的奖金为ξ元,其中ξ=|20-5X|
(i)求X的分布列;
(ii)高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小明同学能盈利吗?
4.为了治疗某种疾病,某科研机构研制了甲、乙两种新药,为此进行白鼠试验.试验方案如下:
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.4轮试验后,就停止试验.甲、乙两种药的治愈率分别是和.
(1)若,求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率;
(2)已知A公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用,甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和千元,每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈,则该科研机构和A公司各承担该轮试验耗材总费用的50%;若甲药治愈,乙药未治愈,则A公司承担该轮试验耗材总费用的75%,其余由科研机构承担,若甲药未治愈,乙药治愈,则A公司承担该轮试验耗材总费用的25%,其余由科研机构承担.以A公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准,求A公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元?
解析附后
考点37独立事件与独立重复实验
【题组一独立事件】
1.某校为了增强学生的记忆力和辨识力,组织了一场类似《最强大脑》的PK赛,两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手PK,比赛四局.除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】A队的得分高于B队的得分的情况有三种:
A队的得分为5分,A队的得分为4分,A队的得分为3分.
当A队的得分为5分时,概率为
当A队的得分为4分时,概率为
当A队的得分为3分时,概率为
因此所求概率为
故选:
C
2.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、,三人各射击一次,击中目标的次数记为.
(1)求甲、乙两人击中,丙没有击中的概率;
(2)求的分布列及数学期望.
【答案】
(1);
(2)分布列见解析,.
【解析】
(1)记甲、乙两人击中丙没有击中为事件,则甲,乙两人击中,丙没有击中的概率为:
;
(2)由题意可知,随机变量的可能取值为、、、,
,,
,.
所以,随机变量的分布列如下:
因此,随机变量的数学期望为.
3.在一次庙会上,有个“套圈游戏”,规则如下:
每人3个竹环,向A,B两个目标投掷,先向目标A掷一次,套中得1分,没有套中不得分,再向目标B连续掷两次,每套中一次得2分,没套中不得分,根据最终得分发放奖品.已知小华每投掷一次,套中目标A的概率为,套中目标B的概率为,假设小华每次投掷的结果相互独立.
(1)求小华恰好套中一次的概率;
(2)求小华总分X的分布列及数学期望.
【答案】
(1);
(2)分布列见解析,.
【解析】
(1)设“小华恰好套中一次”为事件A,
则.
(2)的可能取值为0,1,2,3,4,5,
;;
;;
;;
∴的分布列为:
0
1
2
3
4
5
.
4.甲、乙两人进行围棋比赛,比赛要求双方下满五盘棋,开始时甲每盘棋赢的概率为,由于心态不稳,甲一旦输一盘棋,他随后每盘棋赢的概率就变为.假设比赛没有和棋,且已知前两盘棋都是甲赢.
(Ⅰ)求第四盘棋甲赢的概率;
(Ⅱ)求比赛结束时,甲恰好赢三盘棋的概率.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)设事件为“第四盘棋甲赢”,若第四盘棋甲赢,分两种情况:
若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢,概率,
若第三盘棋乙赢,第四盘棋甲赢,概率,
∴;
(Ⅱ)设事件为“比赛结束时,甲恰好赢三盘棋”,若甲恰好赢三盘棋,则他在后三盘棋中只赢一盘,分三种情况:
若甲第三盘赢,概率,
若甲第四盘赢,概率,
若甲第五盘赢,概率,
∴.
5.甲、乙、丙三人参加竞答游戏,一轮三个题目,每人回答一题为体现公平,制定如下规则:
①第一轮回答顺序为甲、乙、丙;第二轮回答顺序为乙、丙、甲;第三轮回答顺序为丙,甲、乙;第四轮回答顺序为甲、乙、丙;…,后面按此规律依次向下进行;
②当一人回答不正确时,竞答结束,最后一个回答正确的人胜出.
已知,每次甲回答正确的概率为,乙回答正确的概率为,丙回答正确的概率为,三个人回答每个问题相互独立.
(1)求一轮中三人全回答正确的概率;
(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率;
(3)记为甲在第轮胜出的概率,为乙在第轮胜出的概率,求与,并比较与的大小.
【答案】
(1);
(2)甲在第一轮胜出的概率为;甲在第二轮胜出的概率为;甲在第三轮胜出的概率为;(3)答案见解析.
【解析】
(1)设一轮中三人全回答正确为事件,则.
(2)甲在第一轮胜出的概率为;
甲在第二轮胜出的概率为;
甲在第三轮胜出的概率为.
(3)由
(2)知;;.
由题意得;;
;
….
所以,当()时,.
当()时,;
当()时,.
同理可得,当()时,;
当()时,;
当()时,.
所以,当()时,;当()时,;
当()时,;
6.甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:
(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.
【答案】
(1);
(2).
【解析】记“甲第次试跳成功”为事件,“乙第次试跳成功”为事件、
依题意得,,且,,2,相互独立、
(1)“甲第三次试跳才成功”为事件,且三次试跳相互独立,
即甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(2)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件,
且彼此互斥,
7.某精密仪器生产厂准备购买,,三种型号数控车床各一台,已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时,可以额外购买这种易损件作为备件,每个0.1万元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件,为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数,得到如下统计表:
每台车床在一年中更换易损件的件数
5
6
7
频数
型号
60
60
0
型号
30
60
30
型号
0
80
40
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率,每台车床在易损件的更换上相互独立
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