13.1复数的概念.ppt
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第十三章复数,复数的概念,第讲,1,1.对于虚数单位i,有如下两个规定:
(1)i2=;
(2)实数可以与它进行,且原有的运算律仍然成立.2.形如的数叫做复数.全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C表示,把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的_,a与b分别叫做复数z=a+bi的_.,-1,四则运算,加、乘,a+bi(a,bR),代数形式,实部和虚部,3.对于复数z=a+bi(a、bR),当_时,z叫做虚数,当_时,z=bi叫做纯虚数,当且仅当_时,z是实数,当且仅当_时,z=0.4.如果两个复数的分别相等,那么就说这两个复数相等.,b0,a=0,b0,b=0,a=b=0,实部和虚部,5.如果两个复数的实部_,虚部_,那么这两个复数互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为_,复数z的共轭复数用_表示.6.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_,x轴叫做_,y轴叫做.复数z=a+bi复平面内的点_.,相等,互为相反数,共轭虚数,复平面,实轴,虚轴,Z(a,b),一一对应,1.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1,A,解:
由,得x=-1,故选A.,2.在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解:
因为z=i(1+2i)=i+2i2=-2+i,所以复数z所对应的点为(-2,1),故选B.,B,3.在复平面内,复数对应的点的坐标为(-1,1).,解:
据已知可得=i(1+i)=-1+i,故其在复平面内对应点的坐标为(-1,1),题型1复数基本概念的应用,1.设复数当m为何值时,z为实数;z为虚数;z为纯虚数?
解:
即m=5时,z为实数.,m2-2m-15=0,m+30,,即,m=5或m=-3,m-3,,当,m2-2m-150m+30,即m5,且m-3时,z为虚数.m2-2m-150m2-m-6=0m+30,即m=3或m=-2时,z为纯虚数.,当,当,点评:
复数a+bi(a、bR)为实数的充要条件是b=0;为虚数的充要条件是b0;为纯虚数的充要条件是a=0且b0.这些结论是我们化复为实的主要依据.,已知复数z的对应点在直线x+y=0上,且对实数a,有成立,求a和z.解:
设z=x+yi,x、yR,由x+y=0,得y=-x,即z=x-xi.依题意x-xi+(a-1)(x+xi)=-1+ai,,即ax+(a-2)xi=-1+ai,得解得a=-2或a=1.当a=-2时,当a=1时,z=-1+i.,ax=-1,(a-2)x=a,,题型2复数相等在解题中的应用,2.(2010江西卷)已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y的值分别为()A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2,D,解法1:
(代值验证法):
将A、B、C、D代入等式验证,A、B、C均错,只有D成立,故选D.,解法2:
因为(x+i)(1-i)=y,所以x+1+(1-x)i=y,所以,解得,故选D.,点评:
两个复数相等的定义是如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等这就是说,如果a、b、c、dR,那么a+bi=c+dia=c,b=d.由此可得到两个等式,已知x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.解:
设x=a+bi(a,bR),则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2.所以(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得4a2=4-3(a2+b2)=-6,a=1a=1a=-1b=1b=-1b=1故所求复数为x=1+ix=1-ix=-1+iy=1-iy=1+iy=-1-i,解得,或,或,或,a=-1,b=-1.,或,或,x=-1-i,或,y=-1+i.,1.复数集是实数集的扩充,一般地,数系扩充有三个基本原则:
第一,增加新元素;第二,旧元素在新的数系中原有的运算性质仍然成立;第三,新数系能解决旧数系不能解决的矛盾.2.从集合的观点分析,复数集是实数集与虚数集的并集,纯虚数集是虚数集的真子集,实数集与虚数集的交集为空集.,3.两个不全为实数的复数只能说相等或不相等,即虚数与任何数都不能比较大小.4.实数的某些运算性质,在复数集中不成立,如x20;x2+y2=0等价于x=y=0;x-y0等价于xy等,在实数集中成立,但在复数集中不成立.若z2=a(a0),则,5.在复平面上,实轴上的点都表示实数,实数对应的点都在实轴上;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,纯虚数对应的点都在虚轴上.6.复数对应于复平面内的点的横坐标和纵坐标,分别是复数的实数和虚部.复数的几何表示,反映了复数的几何意义,从而使得复数与解析几何建立了有机的内在联系.,
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- 13.1 复数 概念