二阶非齐次线性微分方程的解法.docx
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二阶非齐次线性微分方程的解法
待定系数法
常数变异法
幂级数法
特征根法
升阶法
降阶法
关键词:
微分方程,特解,通解,
二阶齐次线性微分方程
常系数微分方程待定系数法
解决常系数齐次线性微分方程
特征方程
(1)特征根是单根的情形
设是特征方程的的个彼此不相等的根,则相应的方程有如下个解:
如果均为实数,则是方程的个线性无关的实值解,而方程的通解可表示为
如果方程有复根,则因方程的系数是实系数,复根将成对共轭出现。
设是一特征根,则也是特征根,因而与这对共轭复根对应,方程有两个复值解
它们的实部和虚部也是方程的解。
这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根,我们可求得方程的两个实值解
(2)特征根有重跟的情形
若特征方程的重零根,对应于方程的个线性无关的解。
若这个重零根设特征根为其重数为。
方程的解为
对于特征方程有复重根的情况,譬如假设是重特征根,则也是重特征根,可以得到方程的个实值解
例1求方程的通解。
解特征方程的根为有两个实根,均是单根,故方程的通解为
这里是任意常数。
例2求解方程的通解。
解特征方程的根为有两个复根,均是单根,故方程的通解为
这里是任意常数。
某些变系数线性齐次微分方程的解法
(1)化为常系数
1.在自变量变换下,可化为常系数的方程
一类典型的方程是欧拉方程
我们想找一个变换,使方程的线性及齐次性保持不变,且把变系数化为常系数。
根据方程本身的特点,我们选取自变量的变换,并取,即变换
就可以达到上述目的(这里设,当时,取,以后为确定起见,认为)。
事实上,因为
代入方程,则原方程变为
方程常系数二阶线性微分方程,由上可求得方程的通解。
再变换,代回原来的变量,就得到原方程的通解。
例求方程的通解
解此方程为欧拉方程,令,则由知,原方程化为
其特征方程为
特征根为,故方程的通解为
换回原自变量,则原方程的通解为
2.在未知函数的线性齐次变换下,可化为常系数的方程
现在考虑二阶变异系数线性方程
的系数函数满足什么条件时,可经适当的线性齐次变换
化为常系数方程。
这里是待定函数。
为此,把代入方程,可得到
欲使为常系数线性齐次方程,必须选取使得及的系数均为常数。
特别地,令的系数为零,即
可求得
再代入,整理之,得到
由此可见,方程可经线性齐次变换
化为关于的不含一阶导数项的线性齐次方程,且当的系数
为常数时,方程为常系数方程。
因方程在形如的变换下,函数的值不会改变,故称为方程
的不变式。
因此,当不变式为常数时,方程可经变换化为常系数线性齐次方程。
例求方程的通解
解这里,因
故令
就可把原方程化为常系数方程
可求得其通解为
代回原变量,则得原来方程的通解为
(二)降阶的方法处理一般高阶微分方程的基本原则是降
阶,即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。
具体参考常微分方程的思想与方法,这里只讨论二阶的。
已知的一个特解,试求该方程的通解
解作变换,则原方程可化为一阶线性微分方程
求解,得
所以原方程的通解为
法二
设是方程的任一解,则有刘维尔公式得
其中常数,亦即
以积分因子乘上式两端,就可推出
积分上式可得到
例求方程的通解
解由观察知方程有一特解,令
则,代入方程,得
再令,得一阶线性齐次方程
从而可得
取便得原方程的另一解
显然,解线性无关,故方程的通解为
幂级数法
考虑二阶线性微分方程及初值及的情况
可设一般性,可设,否则,我们引进新变量,经此变换,方程的形式不变,但这时对应于的就是了.因此总认为.
定理若方程中的系数和都能展成的幂级数,且收敛区间为,则方程有形如
的特解,也以为级数的收敛区间.
定理若方程中的系数和都能展成的幂级数,且收敛区间为,则方程有形如
的特解,也以为级数的收敛区间.
定理若方程中的系数和具有这样的性质,即和都能展成的幂级数,且收敛区间为,若,则方程有形如
的特解,是一个待定的常数.级数也以为级数的收敛区间.
例求方程的满足初值条件及的解
解设
为方程的解.利用初值条件,可以得到
因而
将的表达式代入原方程,合并的同次幂的项,并令各项系数等于零,得到
因而
最后得
对一切正整数成立.
将的值代回就得到、
这就是方程满足所给初值条件的解.
例用幂级数解法求解方程
解因为,所以在的邻域内有形如的幂级数解.将代入原方程,得
比较的同次幂的系数,得
解得
所以,原方程的通解为
即
方程组的消元法在某些情形下,类似于代数方程组的消元,我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解
例求解线性微分方程组
解从第一个方程可得
把它代入第二个方程,就得到关于的二阶方程式
不难求出它的一个基本解组为
把和分别代入式,得出的两个相应的解为
由此得到原来微分方程组的通解为
其中和为任意常数
二阶非齐次线性微分方程
待定系数法
常用于解决常系数非齐次线性微分方程
类型一
的特解,其中为特征方程的根的重数(单根相当于;当不是特征根时,取),而.
类型二
的特解,其中为特征方程的根的重数,而均为待定的带实系数的次数不高于的的多项式,.
求方程的通解
解先求对应的齐次线性微分方程
的通解.这里特征方程有两个根.
因此,通解为,其中为任意常数.再求非齐次线性微分方程的一个特解.这里又因为不是特征根,故可取特解形如
其中待定常数.为了确定A,B,将代入原方程,得到
,
比较系数得
由此得从而因此,原方程的通解为
求方程的通解.
解特征方程有重根,因此,对应的齐次线性微分方程的通解为
其中为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为不是特征根,我们求形如的特解,将它代入原方程并化简得到
比较同类项系数得从而因此原方程的通解为
方法二
由方法一知对应的齐次线性的通解为
为求非齐次线性微分方程的一个特解,我们先求方程的特解.这是属于类型一,而不是特征根,故可设特解为分出它的实部于是原方程的通解为
注:
对于
这是因为,,
求的通解.
对应的齐次方程的特征方程为
即得特征根为
对应方程,设其特解为代入方程则的
即方程的一个特解为
对应方程,设其特解为代入方程则的
即方程有一个特解为
对应方程,设其特解为代入方程则的
即方程有一个特解为
所以原方程的通解为
这里是任意常数.
升阶的方法
升阶是常微分方程很少提到的一种方法,这是因为随着阶数的升高,一般会使得求解更为繁琐,但适当运用这种方法,在有些情况下也可以受到事半功倍的效果.升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程,具体分析见参考文献【9】
例用升阶法求方程的一个特解
解两边同时逐次求导,直到右边为常数,得
令,则代回原方程,得,解之,有,该表达式几位方程的一个特解.
例用升阶法求方程的一个特解
解先求解方程,
令,代入方程,得,
取,进一步取,则
其虚部函数为原方程的一个特解,即可求得原方程的一个特解为
常数变易法
定理如果是区间上的连续函数,是区间上齐次线性微分方程
的基本解组,那么,非齐次线性微分方程
的满足初值条件
的解有下面公式给出
这里是的朗斯基行列式,是在中的第列代以后得到的行列式,而且非齐次方程的任一解都具有形式
这里是适当选取的常数.
特别地,当时的特解为
其中
因此,当时,常数变易公式变为
而通解就是
法二
设是方程的基本解组,当满足以下条件时,是方程的通解
,满足条件
的,则为二阶非齐次线性微分方程的通解
例试求方程的一个解
解易知对应的齐次线性微分方程的基本解组为我们直接利用公式来求方程的一个的一个解。
这时
取
是对应的齐次线性微分方程的一个解,所以函数也是原方程的一个解。
218页13题
165页6题
参考文献
1王高雄周之铭朱思铭王寿松编高等教育出版社常微分方程第三版
2丁同仁,李承志.常微分方程教程.北京:
高等教育出版社
3都长清焦宝聪焦炳照编著北京师范大学出版社
4孙清华李金兰孙昊华中科技大学出版社常微分方程内容、方法与技巧
5.孙肖丽杨艳平著,山东大学出版社116-119页常微分方程的思想与方法
6.李青、徐崇志、胡汉涛,用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解,塔里木农垦大学学报,Vol.15,No.1,2003,24-25
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- 二阶非齐次 线性 微分方程 解法