李永乐复习全书数一例题无答案第九章Word格式文档下载.docx
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D
=川xdV,Q由三个坐标面及平面x+y+2z=2围成.
ffz2dS,其中是曲面z=Jx2+y2(0<
z<
1).ffxyzdxdy,其中邑是x>
0,y>
0,x2+y2+z2=1的外侧.
I
「1〕
设O二』(x,y,zJx2+y2+z2<
x+y+z+—》,求I=JJJ(x+y+z)dxdydz.
4j…
计算
9、
在极坐标变换下将JJf(x,y)db化为累次积分,其中D为x2+y2<
2ax与x2+y2兰2ay
的公共部分(a>
0是由x2+y2+z2兰2z.
I二Jj[j1+2x2+3y2sin(xy)+4dxdy=
20、
求I=(Xds,其中L为x+y=1.
21、
计算曲面积分l=[[(ax+by+cz+Y'
dS,其中工是球面:
x2+y2+z2=R2.
23、
设D由抛物线y=x2,y=4x2及直线y=1围成用先x后y的顺序,将I=JJf(x,y)dxdy
配置积分限化成累次积分.
24、
求I=JJxydxdy,D由曲线x2+y2=2x+2y-1所围成.
27、
求1=口axdydz,其中工为下半球z=^a2-x2-y2的上侧,a>
0.
mx2+y2+z2『
28
(I)设S为球面x2+y2+z2=9,取外侧,则JJzdxdy二.
S
(n)设D为平面区域:
x2+y2<
4则JJJx2+y2dxdy二
D
2222
(m)设C是球体:
(x-a)+(y-b)+(z-c)<
R」UJJJ(xHy+z(V
Q
(z>
0)取上侧.
30、
计算曲面积分JJx2zcosYdS,其中曲面积分工是球面x2+y2+z2=a2的下部分,
向上的法向量与z轴正向的夹角.
22122
32、
求曲面x+(y-1)=1介于xOy平面与曲面z=-(x2+y2)之间的部分的面积.
33、
记Il为物体对I轴的转动惯量,h为对平行于I轴并通过物体质心的轴I的转动惯量,
比较下列积分值的大小:
(I)I—yin2(x+y)dxdy,I2二JHx+yjdxdy,I3二jj[sin(x+y)Tdxdy
DD
1
由x=0,y=0x+y=,x+y=1围成,则h,L打之间的大小顺序为
2
(A)11<
I2<
I3(B)13<
I2<
11(C)11<
I3<
12(D)I3<
11<
I2
(n)JJe"
ydxdy,i=1,2,3,其中D1={(x,yjx2+y2<
R2},
Di
(A)J产J2<
J3(B)J2<
J3<
J1(C)J1<
J2(D)J3<
J2<
J1.
36、
设D是有界闭区域,下列命题中错误..的是的是
(A)若f(x,y)在D连续,对D的任何子区域D0均有JJf(xy)d=0,则
f(x,y)三0WXy-D
(B)若f(x,y)在D可积,f(x,y)30但不等于0,则((x,y戶D),则
(I)L关于y轴对称,则
其中Li是L在右半平面部分.
其中L,是L在上半平面部分.
43、设分块光滑定向曲面S关于xy平面对称,S在xy平面上方部分记为8,(方程为
z=z(x,y)(x,y卢Dxy)下方部分记为S2,又设R(x,y,z'
在S连续,求证:
i0,若R关于Z为偶函数,
严^拠尸BjJRgz)dxdy,若R关于Z为奇函数,
IS1
22222
计算fl^(x+y)ds,其中L为x+y+z=1与x+y+z=1的交线.
47、
48
1x+12x+133
I^dx]ydy+J0dxJxydy+J2dxJxydy.
11-xx^y
交换累次积分的积分顺序:
IrJodxJodyJof(x,y,z)dz,改换成先x最后y的顺序.
计算累次积分:
2ac
F(r,日)dr,其中F(r,0尸f(rco史,rsinQ)r.
49、
50、
求I=0dx^dyfyAA+zd乙
将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反:
兀sin6
(I)J兀d日Jf(rcosQrsin日)rdr写成直角坐标系下先对y后x对积分的累次积分;
L・0
P2R2y2R2JR2^2
(n)计算『e-ydyj。
gxdx+L2Re-ydy[e-xdx
~2
51、
计算JJr^=(a>
0),其中D是由圆心在点(a,a卜半径为a且与坐标轴相切的圆周的
Dv2a-x
52、
53、
较短一段弧和坐标轴所围成的区域.
计算二重积分JJ||x+y-2dxdy,其中D:
0<
x<
2,-2<
y<
2.
计算下列二重积分:
(I)JJxydb,
其中D是由曲线
r=sin2日『0<
日<
—〕围成的区域;
V2丿
54、
(n)JJxydb,
求下列二重积分:
y=J1-x2,x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分
^1)I=?
(1+x2+y23
D为正方形域:
0<
1,0<
1;
(n)I=jj|3x+4ydxdy,其中D:
x2+y2兰1;
(m)l=JJydxdy,其中D由直线x=-1,y=0,y=2及曲线x二-J2y-y2所围成.
55、求下列三重积分:
(l)l=JJJxy2z3dV,其中O是由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成;
(n)I二川ysinXdV,其中0由y=jx,y=0,z=0,x+z二一围成;
Qx2
(m)I=m(1+x4)dV,其中0由曲面x2=y2+z2,x=1,x=2围成.
56、求下列三重积分:
(I)1=JJJ(x2+y2)dV,其中O由z=16(x2+y2),z=4(x2+y2),z=16围成;
_5
(n)l=UJ(Jx2+y2+z2)dV,其中0由x2+y2+z2<
2z所确定;
(m)l=UJxyzdV,其中C:
x2+y2+z2兰1位于第一卦限的部分.
57、求下列三重积分:
(l)I二川dV,其中0是球体x2+y2+z2<
R2(h>
R);
QJx+y+(z-h)
(n)I二川ze^y'
dV,其中0:
1<
x+y<
2,x>
0,y>
0,0<
3;
fi
(m)I=JJJ(x3+y3+z3)dV,其中0是半球面x2+y2+z2=2z(z二1)与锥面z^x2+y2围成.
58、求下列曲线积分:
”2!
X=a(t-sint)“斗
(n)I二ry2ds,其中平面曲线L为旋轮线<
\,(0<
t<
2兀)的一拱;
L[y=a(1-cost)
(m)l=[(x+y)ds,其中L为双纽线r2二a2cos2日(极坐标方程)的右面一瓣.
59、求曲线积分I=*(x+y)dx+(3x+y)dy+zdz,其中C为闭曲线x=asin2t,y=2acostsint
z=acost(0兰t兰兀),C的方向安t从0到兀的方向.
60、求下列曲面积分:
(I)l=UydS,其中工是平面x+y+z=1被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分;
I
(n)l=JJzdS,其中II是锥面z^x2+y2在柱体x2+y2兰2x内的部分.
(I)I=JJxyzdxdy+xzdydz+zdzdx,其中工是x+y=a在x>
0的一半被y=0和
y=h(h>
0)所截下部分的外侧;
(n)l=JJxydzdx,其中S是由曲线x二ey2(0<
a)绕x轴旋转成的旋转面,取外侧
S
62、
求区域
Q的体积V,其中0:
由z=xy,x2+y2=a2,z=0围成.
63、
O的体积V,其中O是班球面Z二J3a2-x2-y2及旋转抛物面x2+y2=2az所围成.
64、
O的体积,其中O是由曲面z=y2(y>
0),z=4y2(y>
0),z二x.z=2x,z=4所围成.
65、
求下列曲面的面积:
(I)半球面z=J3a2-x2-y2及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面S;
(n)锥面z^x2+y2被柱面z2=2x所割下部分的曲面S.
66、
求八分之一球面x2+y2+z2=R2,x>
0,y>
0,z>
0的边界曲线的质心,设曲线线密度P=1.
67、
求密度为1的均匀圆柱体x2+y2<
a2,zWh对直线Iz:
x=y=z的转动惯量.
平面上质点M(x,y)在力F的作用下沿椭圆r:
2
xy
r+务=1(a>
b>
0)运动,力F指向b
点C(c,0)(c=Ja2-b2),F的大小与点M,C之间的距离
r的平方成反比,比例系数k》0
为常数,分别求下列情形力F所做的功(如图9.69).
设流速v=(x2+y2)j+(z-1)k,求下列情形流体穿过
69、
曲面工的体积流量Q(如图9.71):
-a
M
O
(a,b)
图9.69
(I)工为圆锥面x2+y2=z2(0WzW1),取下侧;
(n)H为圆锥体(z2>
x2+y2,0<
z<
1)的底面,法向量朝上.
设f(u琏续,f(0)=1,区域0:
Jx2+y2<
Jt2-x2-y2,
t>
0,又设F(tFJJJf(X2+y2+z2)dV,求lim+
求RmKf:
dy-yd:
2,其中l:
x2+y2=R2的正方向.(X+xy+y)
72、(i)记0(R尸{(x,yjx2+y2<
R2},求limJJ'
dxdyJp)
+处X2J—
(n)证明fedx=JF.
-3C
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