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910
942
980
1010
1032
的电阻值。
要求用递推最小二乘求解:
(a)设观测模型为7
yi=a+bt+vi
利用头两个数据给岀
JP(O)=P(厶)=(矶%尸[6(o)=p(o)h凤
(b)写出最小二乘的递推公式;
(c)利用Matlab计算
Q(k)=[b伙),a伙)]7
并画岀相应的图形。
解:
首先写成z(k)=h'
(k)0=btk+a=[h2%(:
]=[_1.:
的形式。
利用头两个数据给岀最小二乘的初值:
"
20.5r
765_
261
,ZL0=
这样可以算得
p(o)=p(4)=(h^h^)-
6(o)=p(o)h:
s
求得
P(O)=P(厶)二
0.0661-1.5372
e(o)=p(o)H賦
-1.537236.2397
「4.54551'
671.8182
注意对于手工计算,可以直接用2阶矩阵求逆公式
ab
-1
1
~d-b
cd
ad-be
-cCi
有了初值,可以写出递推公式:
Z/=[82685087391094298010101032]T
32.7000
1.0000
40.0000
51.0000
61.0000
73.0000
80.0000
88.0000
95.7000
这样可以根据公式进行计算。
&
伙)=&
伙一1)+K伙)[z伙)一『伙)6伙一1)]
--1-1
K伙)=P伙一l)h伙)h「伙)P伙一l)h伙)+—A伙).
P伙)=P伙一1)一K伙)K0)h「伙)P伙一l)h伙)+—A伙)
算得:
P(l)=
P
(2)=
P(3)=
P(4)=
P(5)二
P(6)=
P(7)二
P(8)=
6伙)=
5.01344.44703.58783.44433.27783.36683.42923.4344~
661.3131675.2295698.6728702.9463708.4127705.3110702.9683702.7620
进而可以画出相应的图形
800
700・口
(I-D
600-
500-
□□口□4】
T^b的变化回蛾—e-a的变化冋址・
400
300、
200-
编程:
H_L0=[1;
261];
z丄0=[765;
790];
P_L0=inv(H_L0,*H_L0);
Theta_0=P_L0*H_L0,*z_L0;
vv=[405161738088];
HL=[vv;
ones(1,8)],;
z_L=[82685087391094298010101032]:
L=8;
N=2;
P二zeros(N,N,L);
KK=zeros(N,L);
P_k=P_LO;
Theta二zeros(N,L)
alpha_k=0;
h二zeros(1,N);
h=HL(k,:
),;
alpha_k=h,*P_k*h+l;
KK(:
k)=P_k*h/alpha_k;
Theta(:
k)=Theta0+KK(:
k)*(zL(k)-h'
*Theta0)
P(:
:
k)=P_k-KK(:
k)*KK(:
k)'
*alpha_k;
第三章补充习题
4:
叙述并推导递推最小二乘递推公示(pp64-66)。
在加阶“持续激励”输入信号的作用下,加权最小二乘法的解
e^=(HrALHLylH[ALzL
-r=l
(力⑴_i=l
记&
时刻的参数估计值为
_k
令斤伙)=工皿)〃(训"
),并利用
f-i
ak-\
斤伙一1)8伙-1)=工/l(/)"
(i)z(j),
则有
<
6(k)=0(k一1)+斤t(k)h(k)A(k)[z(k)^hT(k)0伙一1)]R(k)=R(k一1)+A(k)h(k)h'
(k)
又设R(k)=-R(k)f可导出如下的加权最小二乘估计递推算法,记k
TOLS(WeightedRecursiveLeastSquaresalgorithm),
'
八AA
伙)=e(k-1)+-R'
(k)h(k)A(k)[z伙)一X伙)0伙一I)]k
R(k)=R(k—1)+1[A(k)h(k”厂伙)—R(k一1)]
k
置p伙)=1R-*伙)=£
A(i)h(讪(J
kr=i
=pT伙一1)+A伙)h伙)h「伙)『,并
利用矩阵反演公式
(A+CBCr)}=A“}+CrA^[C)CrA^,
令增益矩阵为:
K伙)=P伙)h伙)A伙)
那么算法将演变成下面所示的另一种递推算法形式
八八入
0(k)=eik-1)+K(k)[z(k)一hT(k)0(k一1)]
K(灯=P{k-\)h{k)hT(k)P伙一1)〃伙)+」一
4伙)
P(k)=[I-K(k)hT{k)]P伙—1)
第四章
叙述课本定理并推导之(pp92-94);
确定性问题的梯度校正参数辨识方法的参数估计递推公式为:
$(k+1)=$伙)+斤伙)h伙)[),伙)一h「伙方伙)]
并且权矩阵斤伙)选取如下形式:
R(k)=c⑹d沏g[A«
),\伙)'
…,A”伙)]
如果权矩阵满足以下条件:
1.0<
Al<
A,(^)<
(j=l,2,…N)
2.“个4伙)中存在一个4“伙),使得
盘伙)—4”伙+1)、4伙)一4伙+1)
或者
4”伙+1)二4伙+1)
盘伙)一4伙)
c2
3.0vc伙)<—
±
4⑹斤⑹
J-1
4./伙)=久-Z伙)与h伙)不正交
则不管参数估计值的初始值如何选择,参数估计值总是全局一致
渐近收敛的,即有:
lim0(k)=久
定理的证明:
①建立关于参数估计偏差e伙)的离散时间运动方程。
由
于:
勿£
+1)=5⑹+斤伙)h(灯[y伙)—h「伙方伙)]=/伙)+*(約!
1伙)[11'
伙)久—1】「伙)5伙)]=力伙)+水伙)h伙)h「伙)[仇—Z伙)]
令:
Q伙)=久—Z伙),由:
久-处+1)=伙)h伙)h「伙)[必一Z伙)]
我们有:
沁+1)=/伙)一斤伙)h伙)h「伙)2伙)
即
(**)
沁+1)=[Z-j?
伙)h伙)h「伙)]方伙)
②建立方程(**)的Lyapunov能量函数。
定义Lyapunov能•量函数如下:
其中A加满足定理中的条件2、@伙)=目-&
伙)。
由Lyapunov稳定性定理,只要V[^k\k]满足以下条件,则离散时间运动方程(**)具有全局一致渐近稳定的零点。
(a)I心伙),幻>0,对于所有的沁“0;
(b)V®
伙),幻=0,对于所有的沁)=0;
(c)当0伙)|ts时,有伙),幻TS;
(d)[反幻2V0伙+i)*+i]—v矽伙),幻<0,对妙f有的/伙)工0。
由定理给定的条件可知(a),(b)和(c)一定满足。
③条件(d)满足的证明
记:
歹伙+1)术+1]V®
伙),幻
心伙+1)九(k)
则由Lyapunov能量函数的定义,有:
其中:
入伙)
「字伙+1)—玄2伙)]=£
恆伙+1)—瓦伙)]恆伙+1)+&
伙)一20]
将/伙+1)=厶伙)+斤伙)h伙)[y伙)-h「伙莎伙)]及斤伙)的定义式代入,由
伙)=y伙)一力「⑹/伙)=2/伙)禺一力「伙卩伙)=2/伙)/伙)我们有:
0=C伙)£
伙)£
/7“)[c伙)A"
)%伙)£
伙)一2@伙)]
=c(k)s2(k)C伙)£
A,伙)叶伙)—2
由定理给的条件2,有
二C宀,伙)f+1)导歹伙+1)
-九伙)自入伙+1)
=Q+第仁入;
丫¥
)啡伙+1)*+1]A,”(叽伙+1)
门\/[3伙+1)*+1]伙+1)*+1]
伙)
=Q+
利用△匕[孙|和厶切乳幻的定义,由
W伙+1)*+1]
九伙+1)
vi£
mi
心伙)
上而的不等式可得:
()二小"
3⑹'
幻“歹伙+1)*+11
-A"
伙)心灯
伙+1)术+1]—V0伙),幻△"
[//]
A”,伙)A,”⑹
即有:
AV\^.k]<
QAm(k)
由于A”"
)>
0,所以为了使M反幻V0,必须QvO,即要求:
N'
c伙)只伙)€伙)工A:
伙)/『伙)一2<
.r=l-
由定理的条件4,有8(k)=hT伙)歹伙)H0,因此上面的不等式为:
0<
c(k)<
二
乞入•伙)斤伙)
i-i
至此证明了只要定理的条件满足,必有小/|反幻<
0,定理证毕。
设X和Y是两个随机变量(向量),且X取值所形成的空
间为S,试解释r=h((X)=E{Y\X}的几何含义;
用X的某一函数〃(X)来作为Y的预测,记作y=//(x),使得£
{[丫-汗}达到最小。
随机逼近原理的内容为:
给定设方程:
h{x)=E{Y\X=x]=a
(C)
有唯一的解。
可以取X的样木值心吃,…,以及对应丫的样木值,记为yg),yg),…,通过迭代,逐步逼近上述方程的解。
是叙述随机逼近R-M算法的内容。
x(k+1)=x伙)+p(k)[a一y(x伙))]
其中:
。
伙)称为收敛因子。
如果Q伙)满足:
(D)
p(k)>
0,limp(k)=0
工。
(灯=S;
力°
’伙)<
S
X:
=l/r=i
则由(C)确定的X伙)在均方意义下收敛于方程(B)的解。
一般。
伙)取:
Q伙)=i;
Q伙)=—^―
ka+k
另外:
当满足以下条件时
匸卜一/心)]「/“(),卜)VS
|/心)|<
C+J|x|,-cO<
X<
oO
h{x)<
a.(x<
x0);
h(x)>
a,(x>
x0)
VQ,久,0v§
v久vs,inf|/i(x)-<
zI>
0."
-JjSlx-XolSJ:
由(C)确定的x伙)满足:
P{limx伙)=Xq}=1
第五章
1:
什么是极大似然估计;
设z是随机变量,己知条件概率密度函数观测序列为&
伙);
k=1,2,…,厶},记为向量形式丢=[?
(l),z
(2),…,z(D],则Z]的联合条
件概率密度函数为〃(勾0),那么参数&
的极大化似然估计就是使
=max的参数估计值。
竺0=0或弹。
切纠'
=0
b夕
1-"
mi.一
给定一组数据习=[z(l),z
(2),…,亦)],此时〃(可0)只是0的函数,
我们称为0的似然函数,记为L(zl^)o因此极大似然原理可表示为:
其中log厶②|夕)称为对数似然函数。
九称作极大似然参数估计值。
运用极大似然估计给岀参数估计,所得的统计量一般是什么
统计量其物理含义是什么
对数似然函数统计量,对一组确定的随机序列勺,设法找到参数估计值几「使得随机变量z在久°
条件下的概率密度函数最大可能地逼近随机变量z在仇(真值)条件下的概率密度函数,即有:
p(z|况)
可以证明:
(A)或(B)式是实现上式的条件。
设对某电阻进行测量,其观测值服从正态分布N(“&
),现获取的iid样本为&
,…,X”,试求(〃。
)的极大似然估计。
将模型写成最小二乘格式:
可=孩⑴忆⑵,…
=[e⑴,e
(2),…,
夕=[5,5…4上1厶’…也F
(0)
“⑴
m(L-1)•…u(L-n)
_-Z(O)…-2(1-/?
)
__Z
(1)…-z(2-n)
hL=
_z(厶一1)…-z(L-h)
记噪声心)的协方差阵为=E{eLe[},则由咻)的正态性,可知:
因此,有:
卩(勺0)=(2”戸(血运戸
exp|-£
(可-丹/0)「工;
匕厶
对应的对数似然函数为:
/(z』0)=log/心』夕)=
=————log(detSr)———Hl^)Y.~l(zL—H
厶厶乙
由极大似然原理可得:
并且
因此(D)式
给出了参数夕的极大似然估计值。
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