小升初数学几何五大几何模型Word下载.docx
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S△ADE(ABAC):
(ADAE)
(1)
(2)(3)(4)
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①S1:
S2S4:
S3或者S1S3S2S4②AO:
OCS1S2:
S4S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可
以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;
另一方面,也可以得到与面积对
应的对角线的比例关系.
D
A
S1
S2
S4
O
S3
B
C
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
①S1:
S3a2:
b2
22
②S1:
S3:
S2:
S4a:
b:
ab:
ab;
③S的对应份数为ab2.
a
④b
四、相似模型
(一)金字塔模型
DFE
BGC
①ADAEDEAF;
ABACBCAG
②S△ADE:
S△ABCAF2:
AG2.
(二)沙漏模型
EFD
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改
变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
五、共边定理(燕尾定理)
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理:
设直线AB与PQ交于点M,则SPABPM
SQABQM
特殊情况:
当PQ∥AB时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB
例题精讲
一、三角形相似模型
【例1】图30-10是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米.问:
阴影部分的面积是多少
平方厘米?
10
1010
【巩固】
如图,四边形
ABCD
和
EFGH
都是平行四边形,四边形
的面积是
,
3:
1
16BG:
GC
则四边形EFGH的面积________.
AED
FH
【例2】
已知三角形
ABC
的面积为
AF:
FC
2:
,E是BD的中点,且EF∥
,交
CD
于
G
BC
求阴影部分的面积.
E
F
【巩固】图中ABCD是边长为12cm的正方形,从G到正方形顶点C、D连成一个三角形,已知
这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少?
AEFB
DC
【例3】如图,O是矩形一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么
阴影部分的一块直角三角形的面积是多少?
DA
4
OE3
CFB
【巩固】ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E、F分别为AB、BC的中点,则图中
阴影部分的面积为平方厘米.
AD
M
BFC
二、蝴蝶模型
【例4】如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为
70,AB=8,AD=15
四边形EFGO
的面积为______.
15
8
【巩固】如图5所示,矩形ABCD的面积是24平方厘米,、三角形
ADM与三角形BCN的
面积之和是7.8平方厘米,则四边形PMON的面积是
平方厘米。
P
N
【例5】如图,ABC是等腰直角三角形,DEFG是正方形,线段AB与CD相交于K点.已知
正方形DEFG的面积48,AK:
KB1:
3,则BKD的面积是多少?
DAG
K
BEFC
【巩固】如图所示,ABCD是梯形,ADE面积是1.8,ABF的面积是9,BCF的面积是27.那
么阴影AEC面积是多少?
BC
【例6】如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形
的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中
的阴影图形,那么阴影部分的面积为.
【巩固】下图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是AB,BC,CD,
DA的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m,那么,
n
(mn)的值等于.
AHDAHD
EGEG
BFCBFC
三、共角定理(燕尾定理)
【例7】如图所示,在四边形ABCD中,AB3BE,AD3AF,四边形AEOF的面积是12,那
么平行四边形BODC的面积为________.
EOD
【巩固】正六边形A1,A2,A3,A4,A5,A6的面积是2009平方厘米,B1,B2,B3,B4,B5,B6
分别是正六边形各边的中点;
那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
A1
B1
A2
B6
B2
A6
A3
B5
B3
A5
B4
A4
【例8】已知四边形ABCD,CHFG为正方形,S甲:
S乙1:
8,a与b是两个正方形的边长,求
a:
b?
甲
DCG
乙
HbF
【巩固】如图,三角形ABC的面积是1,BDDEEC,CFFGGA,三角形ABC被分成9部
分,请写出这9部分的面积各是多少?
BDEC
【例
9】如右图,
AH:
HI:
IB
面积为1的△ABC中,
1:
1,求阴影部分面积.
BD:
DE:
EC1:
2,:
CF:
FG:
GA
H
IF
【巩固】如图,ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点,点F、G是AC边的三等分
点,那么四边形JKIH的面积是多少?
J
I
【例10】如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三
等分点,求阴影部分面积.
DI
EH
BFGC
【巩固】如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三
等分点,求中心六边形面积.
FG
课堂检测
【随练1】如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE
2BE,CF
2DF,连
接BF、DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形
MGQA和PCNG,设正
方形MGQA的面积为S1,正方形PCNG的面积为S2,则S1:
___________.
Q
BEP
【随练2】如图所示,三角形AEF,三角形BDF,三角形BCD,都是正三角形,其中AE:
BD=1:
3,
三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。
家庭作业
【作业1】如图,正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少?
【作业2】
如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点.三角形ABC由①~⑥这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?
③F
①②
⑤
④⑥
【作业3】
如下图,在梯形
中,AB与CD平行,且
2AB
,点E、F
分别是
AD和
的中点,已知阴影四边形
EMFN
54平方厘米,则梯形
平方厘米.
【作业4】
一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,①、②、③这三块的面积比依次为1:
4:
41.那么,④、⑤这两块的面积比是______.
②
①
③⑤
④
【作业5】下图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的重点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数
m,那么,m+n的值等于__________。
AHDAD
(A)5(B)7(C)8(D)12
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