通用版版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数8第8讲函数与方程教案理Word文件下载.docx
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(1)×
(2)×
(3)×
(4)√ (5)√
已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
-74
24.5
-36.7
-123.6
则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个
C.4个D.5个
解析:
选B.依题意,f
(2)>
0,f(3)<
0,f(4)>
0,f(5)<
0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
函数f(x)=x-的零点有________个.
函数f(x)=x-的零点个数是方程x-=0的解的个数,即方程x=的解的个数,也就是函数y=x与y=的图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为1.
已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是________.
依题意可得f(-1)·
f
(1)<
0,即(-2a-a+3)(2a-a+3)<
0,解得a<
-3或a>
1.
(-∞,-3)∪(1,+∞)
函数零点所在区间的判断
[典例引领]
函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.(1,e)和(3,4)D.(e,+∞)
【解析】 因为f′(x)=+>
0(x>
0),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(3)=ln3->
0,f
(2)=ln2-1<
0,所以f
(2)·
f(3)<
0,所以f(x)唯一的零点在区间(2,3)内.故选B.
【答案】 B
判断函数零点所在区间的方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法
画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象
[通关练习]
1.在下列区间中,函数f(x)=3x-x2有零点的区间是( )
A.[0,1] B.[1,2]
C.[-2,-1]D.[-1,0]
选D.因为f(0)=1,f
(1)=2,所以f(0)f
(1)>0,
因为f
(2)=5,f
(1)=2,
所以f
(2)f
(1)>0,
因为f(-2)=-4=-,f(-1)=-1=-,
所以f(-2)f(-1)>0,
因为f(0)=1,f(-1)=-1=-,
所以f(0)f(-1)<0,
易知[-1,0]符合条件,故选D.
2.若x0是方程=x的解,则x0属于区间( )
A.B.
C.D.
选C.令g(x)=,f(x)=x,
则g(0)=1>
f(0)=0,g=<
f=,
g=>
所以由图象关系可得<
x0<
.
函数零点个数的判断
(1)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A.,0 B.-2,0
C.D.0
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>
0时,f(x)=2x+x-3,则f(x)的零点个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
【解析】
(1)当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;
当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,
解得x=,
又因为x>1,
所以此时方程无解.
综上函数f(x)的零点只有0.
(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,所以0是函数f(x)的一个零点.当x>
0时,令f(x)=2x+x-3=0,则2x=-x+3.分别作出函数y=2x和y=-x+3的图象如图所示,可得这两个函数的图象有一个交点,所以函数f(x)在(0,+∞)内有一个零点.又根据图象的对称性知,当x<
0时函数f(x)也有一个零点.综上所述,f(x)的零点个数为3.故选C.
【答案】
(1)D
(2)C
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点;
(2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·
0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;
(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
[通关练习]
1.函数f(x)=的零点个数为( )
A.3B.2
C.7D.0
选B.法一:
由f(x)=0得或解得x=-2或x=e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二:
函数f(x)的图象如图所示,
由图象知函数f(x)共有2个零点.
2.函数f(x)=的零点个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
选C.当x<
0时,令f(x)=0,即x2+2x=0,解得x=-2,或x=0(舍去).所以当x<
0时,只有一个零点;
当x≥0时,f(x)=ex-x-2,而f′(x)=ex-1,显然f′(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,又f(0)=e0-0-2=-1<
0,f
(2)=e2-4>
0,所以当x≥0时,函数f(x)有且只有一个零点.综上,函数f(x)只有2个零点,故选C.
函数零点的应用[学生用书P33]
(1)(分离参数法)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是________.
(2)(数形结合思想)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.
【解析】
(1)因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,
所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,
即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.
方程a=4x-2x可变形为a=(2x-)2-,
因为x∈[-1,1],
所以2x∈,
所以-∈.
所以实数a的取值范围是.
(2)函
数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图象,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).
【答案】
(1)
(2)(0,1)
已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法
1.(2018·
河南新乡模拟)若函数f(x)=log2(x+a)与g(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)存在相同的零点,则a的值为( )
A.4或-B.4或-2
C.5或-2D.6或-
选C.g(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)=(x+4)[x-(a+5)],令g(x)=0,得x=-4或x=a+5,则f(-4)=log2(-4+a)=0或f(a+5)=log2(2a+5)=0,解得a=5或a=-2.
2.(2018·
四川绵阳模拟)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3)B.(1,2)
C.(0,3)D.(0,2)
选C.由题意,知函数f(x)在(1,2)上单调递增,又函数一个零点在区间(1,2)内,
所以即
解得0<
a<
3,故选C.
3.(2018·
福建漳州八校联考)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是________.
令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m,则函数g(x)=f(x)-m有三个零点等价于函数f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象如图:
当x≤0时,f(x)=x2+x=-≥-,若函数f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,则-<
m≤0,即实数m的取值范围是.
明确三个等价关系(三者相互转化)
函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个数,亦即该函数的图象与x轴交点的个数.
如:
二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从根的判别式、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件.
函数的对称性与函数零点之和
已知x0为函数f(x)的零点.
(1)若函数f(x)为奇函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故奇函数的所有零点之和为0.
(2)若函数f(x)为偶函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故偶函数的所有零点之和为0.
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=b对称,则2b-x0也为函数f(x)的零点,若该函数有2n个零点,则该函数所有零点之和为2nb.
易误防范
(1)函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件.
湖北襄阳四校联考)函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1
选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<
0,f
(1)=3+1-2=2>
0,即f(0)·
0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.
2.已知实数a>
1,0<
b<
1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
选B.因为a>
1,f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=-1-b<
0,f(0)=1-b>
0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.
辽宁大连模拟)已知偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=x2-3x(x≥0),若函数g(x)=则y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.1B.3
C.2D.4
选B.作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图象可知两个函数有3个不同的交点,所以函数y=f(x)-g(x)有3个零点,故选B.
4.(2018·
云南省第一次统一检测)已知a,b,c,d都是常数,a>
b,c>
d.若f(x)=2017-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )
A.a>
c>
b>
dB.a>
d
C.c>
d>
a>
bD.c>
选D.
f(x)=2017-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2017,又f(a)=f(b)=2017,c,d为函数f(x)的零点,且a>
d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知c>
d,故选D.
5.(2018·
河北承德模拟)若函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.(-∞,0)∪
D.(-∞,0)∪
选B.由题意知,当x≤0时,函数f(x)有1个零点,即2x-2a=0在x≤0上有根,所以0<
2a≤1解得0<
a≤;
当x>
0时函数f(x)有2个零点,只需解得a>
,综上可得实数a的取值范围是<
a≤.
6.(2018·
河北石家庄模拟)若函数f(x)=m+的零点是-2,则实数m=________.
依题意有f(-2)=m+=0,解得m=-9.
-9
7.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.
设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y=
的图象如图所示.
因为f
(1)=1-=-1<
0,f
(2)=8-=7>
0,所以f
(1)f
(2)<
0,所以x0∈(1,2).
(1,2)
8.已知函数f(x)=有两个零点,则实数a的取值范围是________.
当x<
1时,显然函数f(x)存在唯一零点x=0,所以当x≥1时,函数f(x)存在唯一零点,又因为y=2x在[1,+∞)上单调递增且值域为[2,+∞),所以a的取值范围为[2,+∞).
[2,+∞)
9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
解:
(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.
所以函数f(x)的零点为3或-1.
(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>
0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>
0恒成立,所以有(-4a)2-4×
(4a)<
0⇒a2-a<
0,解得0<
1,因此实数a的取值范围是(0,1).
10.设函数f(x)=(x>
0).
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)当0<
b,且f(a)=f(b)时,求+的值;
(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.
(1)如图所示.
(2)因为f(x)=
=
故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,
由0<
b且f(a)=f(b),得0<
1<
b,且-1=1-,所以+=2.
(3)由函数f(x)的图象可知,当0<
m<
1时,方程f(x)=m有两个不相等的正根.
1.已知a是函数f(x)=2x-logx的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)=0B.f(x0)>0
C.f(x0)<0D.f(x0)的符号不确定
选C.在同一坐标系中作出函数y=2x,y=logx的图象(图略),由图象可知,当0<x0<a时,有2x0<logx0,即f(x0)<0.
贵州省适应性考试)已知函数f(x)=,函数g(x)=f(2-x)-b,其中b∈R.若函数y=f(x)+g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
A.(7,8)B.(8,+∞)
C.(-7,0)D.(-∞,8)
选A.由已知可得f(x)==将f(x)+g(x)=0转化为f(x)+f(2-x)=b,令函数F(x)=f(x)+f(2-x),则F(x)=,作出函数F(x)的图象,如图,要使F(x)的图象与直线y=b有四个交点,则有<
2,解得7<
8.
江苏镇江模拟)函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围为________.
当x≤0时,令|x2+2x-1|=0,解得x=-1-(x=-1+舍去),所以函数f(x)在(-∞,0]上有一个零点,因此f(x)在(0,+∞)上有一个零点.又因为y=2x-1+a在x∈(0,+∞)上单调递增,所以只需2-1+a<
-.
4.函数f(x)=+2cosπx(-4≤x≤6)的所有零点之和为________.
原问题可转化为求y=与y=-2cosπx的图象在[-4,6]内的交点的横坐标的和,因为上述两个函数图象均关于x=1对称,所以x=1两侧的交点关于x=1对称,那么两对应交点的横坐标的和为2,分别画出两个函数在[-4,6]上的图象(图略),可知在x=1两侧分别有5个交点,所以所求和为5×
2=10.
10
5.已知函数f(x)=-x2-2x,
g(x)=
(1)求g[f
(1)]的值;
(2)若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.
(1)利用解析式直接求解得g[f
(1)]=g(-3)=-3+1=-2.
(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)内有2个不同的解,
则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<
1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<
1)的图象(图略),由图象可知,当1≤a<
时,函数y=g(t)(t<
1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.
6.已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=-4lnx的零点个数.
(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},
所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>
0.
所以f(x)min=f
(1)=-4a=-4,a=1.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
(2)因为g(x)=-4lnx=x--4lnx-2(x>
0),
所以g′(x)=1+-=.
令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.
当x变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:
(0,1)
(1,3)
(3,+∞)
g′(x)
+
-
g(x)
极大值
极小值
当0<
x≤3时,g(x)≤g
(1)=-4<
又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.
故g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.
第9讲 函数模型及其应用
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,
0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blogax+c
(a,b,c为常数,a>
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y=ax(a>
1)
y=logax(a>
y=xn(n>
0)
在(0,+∞)
上的单调性
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大,图象与y轴接近平行
随x值增大,图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
(1)幂函数增长比一次函数增长更快.( )
(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>
1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>
0)的增长速度.( )
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( )
(4)不存在x0,使ax0<
x<
logax0.( )
(2)√ (3)√ (4)×
(教材习题改编)一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )
B
生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( )
A.36万件 B.18万件
C.22万件D.9万件
选B.设利润为L(x),则利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.
某城市客运公司确定客票价格的方法是:
如果行程不超过100km,票价是0.5元/km,如果超过100km,超过100km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________.
由题意可得
y=
(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为________万元.
依题意得,
即解得a=2,b=-2.
所以y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8.
x=1024(万元).
1024
一次函数与二次函数模型(高频考点)
高考对函数应用的考查,常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇,以解答题为主要形式出现.高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度:
(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题;
(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.
[典例引领]
角度一 单一考查一次函数或二次函数模型的
建立及最值问题
某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:
万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:
万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:
辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元D.43.025万元
【解析】 该公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16-x)辆,
所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-)2+0.1×
+32.
因为x∈[0,16]且x∈N,
所以当x=10或11时,总利润取得最大值43万元,故选C.
【答案】 C
角度二 以分
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- 关 键 词:
- 通用版 高考 数学 一轮 复习 函数 概念 基本 初等 方程 教案
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