初中数学知识点框架图.docx
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初中数学知识点框架图
第一部分《数与式》知识点
定义:
有理数和无理数统称实数.
有理数:
整数与分数
分类无理数:
常见类型(开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数)
实数
法则:
加、减、乘、除、乘方、开方
实数运算运算定律:
交换律、结合律、分配律
相关概念:
数轴(比较大小)、相反数、倒数(负倒数)科学记数法
有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子(a2,a,a)
单项式:
系数与次数
分类多项式:
次数与项数
加减法则:
(加减法、去括号(添括号)法则、合并同类项)
数与式
幂的运算:
mn
aa=a
m+n;aman=am-n;(am)n=amn,(ab)m=ambm;
整式
am1
bam;a0=1;a-p=a1
单项式单项式;单项式多项式;多项式多项式
单项式单项式;多项式单项式
混合运算:
先乘方开方,再乘除,最后算加减;同级运算自左至右顺序计算;括号优先
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式:
(ab)2=a22ab+b2
乘法运算:
分式
分式的定义:
分母中含可变字母
分式有意义的条件:
分母不为零分式值为零的条件:
分子为零,分母不为零
分式
分式的性质:
a=am;a=am(通分与约分的根据)bbmbbm
通分、约分,加、减、乘、除
先化简再求值(整式与分式的通分、符号变化)化简求值
整体代换求值
分式的运算
定义:
式子a(a≥0)叫二次根式.二次根式的意义即被开方数大于等于0.
二次根式的性质:
=a;a2=
a(a0)
-a(a0)
二次根式
二次根式的相关概念
二次根式的运算
最简二次根式(分解质因数法化简)
同类二次根式及合并同类二次根式
分母有理化(“单项式与多项式”型)
加减法:
先化最简,再合并同类二次根式
乘除法:
ab=ab;a=a;(结果化简)bb
分解因式
定义:
(与整式乘法过程相反,分解要彻底)提取公因式法:
(注意系数与相同字母,要提彻底)平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
方法
完全平方公式:
a22ab+b2=(ab)2
十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分组分解法:
(对称分组与不对称分组)
第二部分《方程与不等式》知识点
定义与解:
一元一次方程解法步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
应用:
确定类型、找出关键量、数量关系
定义与解:
解法:
代入消元法、加减消元法
简单的三元一次方程组:
简单的二元二次方程组:
定义与判别式(△=b2-4ac)
解法:
直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.
定义与根(增根):
分式方程解法:
去分母化为整式方程,解整式方程,验根.
1.行程问题:
2.工程(效)问题:
3.增长率问题:
(增长率与负增长率)
8.分配与方案问题:
1.线段图示法:
常用方法2.列表法:
3.直观模型法:
一元一次不等式
一般不等式解法
条件不等式解法
解法:
(借助数轴)
不等式(组)
一元一次不等式组
1.不等式与不等式
2.不等式与方程应用3.不等式与函数
4.最佳方案问题
5.最后一个分配问题
第三部分《函数与图象》知识点
函数
直角坐标系
一次函数
①各象限内点的特点:
x轴:
纵坐标y=0;
②坐标轴上点的特点
y轴:
横坐标x=0.
③平行于x轴,y轴的线段长度的求法(大坐标减小坐标)
④不共线的几点围成的多边形的面积求法(割补法)
关于x轴对称(x相同,y相反)
关于y轴对称(x相反,y相同)
y都相反)
⑤对称点的坐标
关于原点O对称(x,
函数表达式
增减性:
平移性:
垂直性:
求交点:
正负性:
反比例函数
二次函数
函数应用
正比例函数:
y=kx(k≠0)
一点求解析式)一二、、三四象象限限角角平平分分线线:
:
yy=-=xx
两点求解析式)
一次函数:
y=kx+b(k≠0)
y=kx与y=kx+b增减性一样,k>0时,x增大y增大;k<0,x增大y减小.
y=kx+b可由y=kx上下平移而来;若y=k1x+b1与y=k2x+b2平行,则k1=k2,b1≠b2.若y=k1x+b1与y=k2x+b2垂直,则k1gk2=-1.
(联立函数表达式解方程组)观察图像y>0与y<0时,x的取值范围(图像在x轴上方或下方时,x的取值范围)
表达式:
y=k(k≠0)(一点求解析式)
x
①区域性:
k>0时,图像在一、
②增减性k>0在每个象限内,
②增减性k<0在每个象限内,
③恒值性:
(图形面积与k值有关)④对称性:
既是轴对称图形,又是中心对称图形.
求交点:
(联立函数表达式解方程组求交点坐标,还可由图像比较函数的大小)
性质
三象限;k<0时,图像在二、四象限.
y随x的增大而减小;y随x的增大而减小.
①一般式:
y=ax2+bx+c,其中(a0),
表达式②顶点式:
y=a(x-k)2+h,其中(a0)(,k,h)为抛物线顶点坐标;
③交点式:
y=a(x-x1)(x-x2),其中(a0),x1、x2是函数图象与x轴交点的横坐标;①开口方向与大小:
a>0向上,a<0向下;a越大,开口越小;a越小,开口越小.②对称性:
对称轴直线x=-b
2a
③增减性a>0,在对称轴左侧,
a<0,在对称轴左侧,
④顶点坐标:
(-b,4ac-b)2a4a
⑤最值:
当a>0时,x=-b,
2a
性质
x增大y减小;在对称轴右侧,x增大y增大;x增大y增大;在对称轴右侧,x增大y减小;
4ac-b2b4ac-b2
最小值=4a;a<0时,x=-2a,y最大值=
4a
示意图:
画示意图五要素(开口方向、顶点、对称轴、与x、y交点坐标)
a与c:
开口方向确定a的符号,抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值;b的符号:
b的符号由a与对称轴位置有关:
左同右异.
Δ=b2-4ac:
Δ>0与x轴有两个交点;Δ=0与x轴有两个交点;Δ<0与x轴无交点.a+b+c:
当x=1时,y=a+b+c的值.
a-b+c:
当x=-1时,y=a-b+c的值.
①求函数表达式:
②求交点坐标:
③求围成的图形的面积(巧设坐标):
④比较函数的大小.
符号判断
第四部分《图形与几何》知识要点
直线:
两点确定一条直线线射线:
线段:
两点之间线段最短,(点到直线的距离,平行线间的距离)
角的分类:
锐角、直角、钝角、平角、周角.
角的度量与比较:
10=60”,1'=60”;
角余角与补角的性质:
同角的余角(补角)相等,等角的余角(补角)相等,
角的位置关系:
同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角
几何初步
对顶角:
对顶角相等.
相交线垂线:
定义,垂直的判定,垂线段最短.
定义:
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线
平行线性质:
两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;
同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行
判定:
平行于同一条直线的两条直线平行
平面内,垂直于同一条直线的两直线平行
应用:
要构造Rt△,才能使用三角函数.
一般三角形
三角形
等腰三角形
直角三角形
全等三角形
按边分类:
不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
按角分类:
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;1
面积与周长:
C=a+b=c,S=1底高.
î2
三角形的内角和等于180度,外角和等于360度;三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和;三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
中线:
一条中线平分三角形的面积
性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等;判定:
到角两边的距离相等的点在角的平分线上.内心:
三角形三条角平分线的交点,到三边距离相等.
高:
高的作法及高的位置(可以在三角形的内部、边上、外部)中位线:
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
性质:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;判定:
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.外心:
三角形三边垂直平分线的交点,到三个顶点的距离相等
分类
边
角
线段
角平分线
中垂线
等腰三角形的两腰相等、两底角相等,具有三线合一性质,是轴对称图形.等边三角形的三边上均有三线合一,三边相等,三角形等都为60度.有两边相等的三角形是等腰三角形;有两角相等的三角形是等腰三角形;有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形;有两个角是60度的三角形是等边三角形.
一个角是直角或两个锐角互余;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;直角三角形中,300的锐角所对的直角边等于斜边的一半;勾股定理:
两直角边的平方和等于斜边的平方.
证一个角是直角或两个角互余;有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形;勾股定理的逆定理:
若a2+b2=c2,则∠C=900.
全等三角形的对应边相等,对应角相等,周长、面积也相等;
全等三角形对应线段(角平分线、中线、高、中位线等)相等.判定:
ASA,SAS,AAS,SSS,HL.
性质
判定
性质
判定
性质
四边形
梯形
定义:
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
直角梯形
性质:
两腰相等、对角线相等,同一底上的两角相等.
两腰相等的梯形是等腰梯形;
对角线相等的梯形是等腰梯形;
同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形;
特殊梯形
等腰梯形
判定
平行四边形
判定:
两组对边分别平行且相等
性质:
平行四边形的两组对角分别相等
两条对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等对角线互相平分
共性:
具有平行四边形的所有性质.个性:
对角线相等,四个角都是直角.
矩形先证平行四边形,再证有一个直角;
判定先证平行四边形,再证对角线相等;
三个角是直角的四边形是矩形.
共性:
具有平行四边形的所有性质.
个性:
对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角,四条边相等.
菱形
先证平行四边形,再证对角线互相垂直;判定先证平行四边形,再证一组邻边相等;
四条边都相等的四边形是菱形.
性质:
具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
正方形
判定
证平行四边形→矩形→正方形证平行四边形→菱形→正方形
梯形:
S=2(上底+下底)高=中位线高
平行四边形:
S=底高
面积求法矩形:
S=长宽
菱形:
S=底高=对角线乘积的一半
正方形:
S=边长边长=对角线乘积的一半
点在圆外:
d>r
点与圆的三种位置关系点在圆上:
d=r
点在圆内:
d
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