北京市东城区示范校届高中三年级上学期综合能力测试数学文试题文档格式.docx
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x-y1_0,
9.不等式组<
x+yK1,表示的平面区域的面积为。
_
x<
1
10.设平面向量a=(1,2),b=(—2,y),若a丄b,则|2a—b|=。
11.在等差数列£
>
中,印=3,a"
2,则+…七3.卅=。
12.直线x-J3y-4=0被圆(x-2f+y2=4截得的弦长为。
7f兀)
13.已知0£
x£
71,且sin2x=-——,则sin—一x[的值为。
25<
4丿
14.已知数集A=2“a2,a3,a4,a5}0乞a_j:
:
a2:
:
a3:
a4:
a5具有性质P:
对任意
i,j€Z,其中1兰i^j兰5,均有a」—a属于a,若a^60,则。
三、解答题。
(本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
15.(本小题共13分)
设数列乳'
的前n项和为Sn,且Sn=2an-1n=1,2,…。
(I)求数列Qn'
的通项公式;
(II)若数列h{满足bnd=an■bnn=1,2,■-,0=2,求数列b匚的通项公式。
16.(本小题共13分)
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,满足c=1,且
cosBsinC-a-sinBcosC二0。
(I)求c的大小;
(II)求a2b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值。
17.(本小题共14分)
如图,将矩形ABCD沿对角线BD把厶ABD折起,使A点移到A点,且A在平面BCD
上的射影0恰好在CD上。
(I)求证:
BC丄AD;
(II)求证:
平面ACD丄平面ABC;
(III)若AB=10,BC=6,求三棱锥A-BCD的体积。
18.(本小题共13分)
设aR,已知函数fx二ax3-3x2。
(I)当a=1时,求函数fx的单调区间;
(II)若对任意的x1,31有fxfx-0恒成立,求实数a的取值范围。
19.(本小题共13分)
x2y2
已知椭圆W:
21的左焦点为Fm,0,过点M(-3,0)作一条斜率
2m+10m-2
大于0的直线I与W交于不同的两点A、B,延长BF交W于点C。
(I)求椭圆W的离心率;
点A与点C关于x轴对称。
20.(本小题共14分)
已知定义在1,上的函数fx=x-Inx-2,gx=xlnx■x
fx存在唯一的零点,且零点属于(3,4);
(II)若k,Z,且gxkx-1对任意的x-1恒成立,求k的最大值。
参考答案:
15.(共13分)
则Sn1-2anj-1n=2,3,…,
所以当n亠2时,an=Sn-Sn4=2an-2an4,
整理得an=2an」,
由Sn-2anT,令n=1,得-2a1-1,解得a<
i=1。
.-n_1
(II)因为an=2,
由累加得b^b1b2-bi-b3-b2
n-4
=2口2n41,n一2,
1-2
当n=1时也满足,所以bn=2n_1°
(13分)
16.(共13分)
解:
(I)由cosBsinC「[a-sinBcosC^O,得
sinA=acosC,
又c=1,所以csinA二acosC
由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC。
因为0:
A二,所以sinA0,从而sinC=cosC,即C=—。
(6分)
4
(ll)由余弦定理a2+b2—2abcosC=c2,得a2+b2—j2ab=1,
a22(0、
又ab兰,所以1|(a2+b2)兰1,于是a2+b2兰2+J2。
2l2丿
当a二B=?
二时,a2b2取得最大值22(13分)
8
17.(共14分)
(I)因为A在平面BCD上的射影O在CD上,
所以AO丄平面BCD。
又BC平面BCD,
所以BC丄AO。
又BC丄CO,CO「AO=O,
CO平面ACD,AO平面ACD,
所以BC丄平面ACD。
又AD平面ACD,
所以BC—AD。
(5分)
(II)因为矩形ABCD,
所以A,D丄A1B。
由(I)知BC丄AD。
又BC「AB二B,BC平面ABC,A1B平面ABC,
所以AD_平面ABC。
又a(d平面acd,
所以平面ABC_平面ACD。
(10分)
(III)因为AD_平面ABC,
所以ad_ac。
因为CD=10,ad=6,所以AC=8。
11
所以VapcdhVd^bc686=48。
(14分)
18.(共13分)
(I)当a=1时,fx=x3-3x2,
贝Ufx=3x2-6x,
由fx•0,得x:
0,或x2,
由厂x<
0,得0:
x:
2,
所以fx的单调递增区间为-二,0,2,•,单调递减区间为(0,2)。
(6分)
(II)依题意,对一x1,3】,ax3-3x23ax2-6x乞0,
2
3x2+6x3x+6ri
这等价于,不等式a乞-t=丁一对x•1,3】恒成立。
所以hx的最小值为h3=5
6
19.
(共13分)
(I)由题意2m10]im2-2m2m:
0,
解得m--2。
22
所以椭圆W:
xy1。
.6
62
ty
V
'
丿
o
3
(5分)
(II)设直线l的方程为y二kx•3。
y=kx3,联立k2y2
—1
.62
得13k2x218k2x-27k2-6=0。
由直线l与椭圆W交于A、B两点,可知
△=(18k22—41+3k2【27k2—6)a0,解得k2<
2。
设点A,B的坐标分别为(yj,x2,y2,
nt丄—18k27k-6
则x「X22,人X2厂,
1+3k1+3k
y^i=kXj3,y2=kx23。
因为F(-2,0),设点A关于x轴的对称点为C'
则C'
%,-yi),
所以FC:
=%2,-%,FB=x22,y2。
又因为x12y^x221-y1
二x12kx2'
x22kx13
=k2x1x25%x2〕亠121
=k严―严+竺+初
[1+3k1+3k一
k54k2-12-90k21236k2n
13k
所以B,F,C共线,从而C与C重合,故点A与点C关于x轴对称。
(13分)
20.(共14分)
1x_1
(I)由fx=x-lnx-2,可得「X】=10,
Xx
故fX在1,•:
上单调递增,
而f3=1-1n3:
0,f4=2-1n40,
所以fx存在唯一的零点X。
•3,4。
(7分)
(II)由(I)fx存在唯一的零点x°
显然满足:
x°
-1nx0-2=0,且当1,x°
时,
fx:
fx0=0;
当xx0,亠]时,fx]>
fx0=0。
当x1时,gxkx-1等价于仝虫仝xk。
x—1
设hx二沁」,
贝yhx=-—=fx2,故hx与fx同号,
(X-12(X-1)2
因此当X•1,X0时,hx:
0;
当X•x°
•:
时,hx0。
所以hx在1,x0上单调递减,在x°
*上单调递增,
故h(xL=h(x)=X0(ln"
「。
仪。
-门
FJXmin0q。
X°
-1X。
-1
由题意有k<
hXmin=Xq,又kZ,而Xq•3,4,故k的最大值是3。
(14分)
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