流体力学习题0001文档格式.docx
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V(1,1)
v(0,0)
v(1,1)%)
z(1,1)
202
(-)2
(上)2(8)2
P(1,1)1
400
260
1R1’1)
70,
F?
1,1)
10.97(N/
2、
21
P1,1)
m)
(2)
5-3
直径为2m
四点的绝对压力驻点的位置以及
19.17(N/m2)
14(m/s)
—(m/s)
的圆柱体在水下深度为H=10m以平移速度u0运动,
(2)若圆柱体运动的同时还受到本身轴线以角速度B、D两点的速度和压力。
试求
(1)A、B、C、D
60r/min转动,试决定
此时若水深增至100m,求产生空泡时的速度(注:
..32
温度为15c时,水的饱和蒸汽压力为2.33210N/m。
)
—=一一
亠A⑴
I
H
u0弋尸
D
(1)等效于:
均匀流+偶极
偶极强度:
M2v0a2
a1m,v0u010m/s,M2v0a20
代入r=a的圆柱表面的速度分布为:
PqP0
53
hg1.01310109.8110
1.994
105(帕)
注:
Po取1标准大气压
若取P0为一个工程大气压:
P00.981105Pa
均匀流与偶极叠加的速度势:
v0rcos
M
cos
r
VrV0
v0cos(12)
2r
sin(1
2a
V-——
V0
2)
PAFBghFBPAgR(静止状态,液体静力学方程)
A、B两点列伯努力方程
gZAPa1vAPB1VB
22
gzB
Za0,zBR,Va0,vB
2v0
PaPb1(2Vo)2gR
Pb
Pa1
4v;
gR
246.2
103
1103
4102
3
109.811
20010
9.81
36.4103(N/m2)
A、D列伯努力方程
gRPaPd-(2Vo)2
PdgRPa(2Vo)2
246.21031039.811-1034102
56.1103(N/m2)
PAPC246.2103(N/m2)
(2)等效于绕圆柱有环量流动
2a2
60r/min
60
/602
(rad/s)
1m,
(2)2
Vr
v0cos
速度分布:
圆柱表面
(1
v°
sin
r=a上速度分布为:
寺)
vr0
2v0sin
假设无穷远处
PP0,vv0由定常运动的伯努力方程的圆柱表面压力分布为:
(质量力忽略不计)
P0扌
Po
105
A:
1039.81
va
101.962105(N/m2)
色丄6.28m/s
B:
Vb
2v°
2V0
1
(2)2
26.28m/s
C:
Vc
6.28m/s
D:
2v°
(1)
13.72m/s
列A、B两点伯努力方程
PbP02
1v2
vb
1.962105
102
32
10326.282
11036.282
驻点位置:
v2v0sin
210sin
sin
2-…
0.314
arcsin(0.314)
当H增加到100米,Vb速度〉Vd,应Vb先产生气泡,其速为
2—
PBPA
VagR
PB2.332
10(N/m
-八3
,1
212
2.332
gH—
Vo
VaVa
gRVb
981
0.5Vo
0.54Vo
0.5
V9.81
2vS
1.5v212.57v0(2.3329819.8122)0
1.5v012.57v09490
(2)强度为m,位于(a,0)点
5-4写出下列流动的复势
(1)uU0cos,vU0sin
的平面点源;
(3)强度为位于原点的点涡;
(3)强度为M,方向为,合于原点的平面
偶极
Uo
>
XVo
yUo
cosX
U0sin
y
U
0cos
sinx
uyv
X
w(z)
i
U0cosX
U0sin
yi(U0cos
yU0sin
X)
cos(x
iy)
(yix)
cosz
(i)
(Xiy)
iUo
sinz
z(cos
isin
ize
(2)
虽度为m,
位于
(a,0)点源的复势,只需求强度为
m,位于(0,
0)点的复势
则合于(a,0)的点源复势为
Inr
(4)强度为M,方向为,位于原点的平面偶极
源的速度势:
mInr(源位于原点)
汇的速度势:
mInr(汇位于原点)
点源现在位于(Xo,y。
),点汇位于(X。
xo,yoyo)
则源和汇叠加流场的速度势为:
令f(x,xo,y,y°
)In(xx°
)(yy°
它等于:
—cossin
Xo
yo
则:
f
(-
—cos-
—sin
4
2(xXo)(
1)
2(y
yo)(
(x
xo)(y
yo)
Xo)
(y
同样:
源的流函数为:
yarctan-
则源和汇叠加的流场的速度势为:
lim空arctan—)arctany(y。
比
°
2XXoX(XoXo)
arctany(%y°
)arctan(「)
mx(XoXo)xXo
lim-
arctany(yoy°
)arctan—)
MX(XoXo)XXo
lim一
o2
令g(x,xo,y,yo)在方向上的方向导数(注对xo,yo求导)
Mg
2Xo
g
arctanYYo
Y
Yo
(X
Xo)2
Yosin
1YYo
xXo
(xXo)2
(YYo)2
Xo)2r
arctan―Yo
XXo
Xo)21
1Y
YoxXo
(YYo)2xXo
则方向为
—cos—sin
XoYo
的平面偶极的复势为:
Msincos
cossin
2rr
Mcos
Msin
w(z)i
-cos
;
Mcos宀
0111
sini
i)e
e
-(
ie
Mei
cosi
ire
2z
5-5设在A(a,o)点放置一强度为2的平面点源,
x=o是一固壁面,试求(
1)固壁上流体
的速度分布及速度达到最大值的位置,
(2)固壁上的压力分布,设无穷远处压力为P;
(3)
若点源源强m=m(t),其中t为时间变量,求壁面上的压力分布
A(-a,O)
A(a,0)对应的复势为:
A(a,O)
工1门(乙a)ln(za)
据奇点映像法:
平壁面
Wi(z)
映像
W(z)f(z)f(
z)
工1门(乙a)巴1门(乙a)
2一
ln(za)
ln(z
a)
Vdw(z)dz
壁面处:
z
iy
iya
aiy~~22
ay
aiy
2iy
2y
当V达最大值—
2(ay)2y2y
222
(ay)
0,V
a代入V,则Vmax
2a2
(a2y
2a
2y2
2、2
固壁上流体速度分布
a即速度达到最大值对立
点为(0,a),(0,a)
(2)固壁上压力分布
w(z)ln(za)ln(z
dw
dz
a
—,uo,zy
v2
二2
(—)2
4y2p
(a2y2)2P
2P
222(ay)
壁面所受的合力为下:
变化
R(x)dx
据普拉休斯合力公式:
P-(dw)2dz,c为x0的壁面,z从
2c'
1/dw2.i/2z.2.
P()dzG2)dz
2cdz2cz2a2
其中-^^^)2dz(/^「dz属于
cza-za
的积分,参考复变函数的留级中无穷积分公式
,(复变函数P164)
R(x)dx2i
ResR(z),Zk,Zk为奇
ResR(z),zk
/V
ma
4Z
(z
4a4a
则P
i/2z、2只i
2c(z2a2)dz22i
ResR(z),Zk分2
因戸
为实部,无虚部
P
罗ln(za)
dwm(t)11
dz2zaza
m(t)2iy
2a2y2
(3)u0,v血兀
2ay
V2m2(t)4y2
V,2(22、2
4(ay)
PP-V2P-
m2(t)
(a2
5-6已知复势为w(z)
2z83il门乙,求
(1)流场的速度分布及绕圆周
x2y210的环
量;
(2)验证有一条流线与x2
y24的圆柱表面重合,并用卜拉休斯公式求圆柱体的作
用力
8
w(z)2z-
Vdw(z)z
xiy
z(xiy)2
8(x2y2)
3ilnz
3i
16xyi
(x2y2)2
2(x2
2\2
y)
3i(xiy)
xy
3y
22,V
8
2xyi
8(x2
辽
16xy
z22^2
(xy
2z8
为均匀流,偶极,均匀流复势:
点涡叠加后的复势
偶极复势:
W(z)voz2z
M8
2zz
W2(Z)
V。
2m/s
点涡复势:
W3(z)
则绕圆周x
ilnz
10的环量为
3iInz
Vocos(r
将速度势代入物面条件
y2)
2)2
2严
3x
16
8(x2y2)2xyi
2、22
y)4x
16xyi
(x2
y)
3xi
贝y—v0cos(1葺)
rr
r2物面为半径为2的圆周x2y24
a,又因为M2
a2,M
i,dw、2’iP()dz—
83i因:
c(2
Czz
2dz
%(4
64
~~4
)dzz
9
32
~2
12i
ic1
i12i
24
尸24
12i
12
iY
0,Y
5-7如题5-3图所示,设直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m的水平面上以速度
uo10m/s做匀速直线运动,
(1)试写出流动的绝对速度势,牵连速度势,相对速度势及
对立的单位速度势;
(2)求出圆柱体表面上
A、B、C、D及=45、135六点的绝对速度
相对速度势:
M2v0a2
牵连速度势:
圆柱直航相当于均匀流与偶极叠加
Mcosu0rcos
2cosu°
rcosv°
u0rcos
绝对速度势:
单位速度势:
0e
rcos
2cosev°
ar
2cos0rcosa
2cos
0a
(2)v°
vr
a2
a—,v
v0a
2sin
r1
V0,V
0,r1
V0,V
D:
r
1V
r0,V
•、2
45vr
V°
V
.2
135vr
5-8若一半径为r。
的圆球在静水中从速度为零加速到U。
试求需对其做多少功
mv,
11
r。
Tu
To
-(m
ii)uo
r0球
1/43
-(4r。
1(水2球)
水)Uo
roUo
5-9无限深液体中有一长为L,半径为R的垂直圆柱体,设其轴心被长度为I的绳子系住,它一方面以角速度在水平面内绕绳子固定端公转,另一方面又以另一角速度w绕自身轴线
自转,已知圆柱体重量为G,假定IR,试求绳子的拉力
w
公转:
单位圆柱体的附L长圆柱体的附加质量:
公转向心力:
F(m
(物水)R2I2
绳子受到反向力,离心自转:
由于IR则公转切向加速度
此时圆柱相当于有环量流动
水)
加质量:
iiR2L
ii)2I(物R2
L
力F'
与F方向相反
R2
L水R2L)2I
l可以认为均匀流作用于自转圆柱
F环Vo0LI0LF环
0w2R2
F总F公F环(物水)R2I2与w同向时为负,反向为正
w2R2
R2IL
5-10设有一半径为R的二元圆柱体在液体中以水平分速度
uU0t(m/s)运动,设t=0时,
它静止于坐标原点,液体密度为
,试求出流体作用于圆柱体上的推力
及t=2s时圆柱体的位置
卓y
x
uUot
F
(m
)i(t)(
)RUo
T
—V
X1dI
dv
2..
X1
aUo
dt
t
2s时,
vtUo
2Uo
dvH
dI
v
dIUo
—(2U。
)2
dIUo
dI2Uo
,圆柱体密度为
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