高中导数经典知识点及例题讲解Word下载.docx
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Δx表示自变量x的改变量,即Δx=x2-x1;
Δy表示函数值的改变量,即Δy=f(x2)-f(x1).
2.求平均变化率的步骤
求函数y=f(x)在[x1,x2]内的平均变化率.
(1)先计算函数的增量Δy=f(x2)-f(x1).
(2)计算自变量的增量Δx=x2-x1.
Δyfx2-fx1
(3)得平均变化率=.
Δxx2-x1
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势,且区间长度越小,表现得越精确.如函数y=sinx在区间[0,π]上的平均变化率为0,而在
π
sin-sin0
2π2
[0,]上的平均变化率为=.
2ππ
-02
在平均变化率的意义中,f(x2)-f(x1)的值可正、可负,也可以为零.但Δx=x2-x1≠0.
1
典例剖析
题型一求函数的平均变化率
例1一物体做直线运动,其路程与时间t的关系是S=3t-t2.
(1)求此物体的初速度;
(2)求t=0到t=1的平均速度.
分析t=0时的速度即为初速度,求平均速度先求路程的改变量ΔS=S
(1)
ΔS-S(0),再求时间改变量Δt=1-0=1.求商就可以得到平均速度.
ΔtS3t-t2
解
(1)于v===3-t.
tt∴当t=0时,v0=3,即为初速度.
(2)ΔS=S
(1)-S(0)=3×
1-12-0=2Δt=1-0=1
ΔS2
∴v===2.
Δt1
∴从t=0到t=1的平均速度为2.
误区警示本题1不要认为t=0时,S=0.所以初速度是零.
变式训练1已知函数f(x)=-x2+x的图像上一点(-1,-2)及邻近一点
Δy(-1+Δx,-2+Δy),则=()
ΔxA.3 B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2 D.3-Δx
解析Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-(-2)=-(Δx)2+3Δx.
Δy-Δx2+3Δx∴==-Δx+3ΔxΔx答案D
题型二平均变化率的快慢比较
πππ
例2求正弦函数y=sinx在0到之间及到之间的平均变化率.并比
632
较大小.
分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率,再比较大小.
解设y=sinx在0到之间的变化率为k1,则
6
2
-sin063
k1==.ππ-06
ππ
y=sinx在到之间的平均变化率为k2。
32
sinsin
则k2=
ππ3-sin1-23232-3
==.ππππ-236
332-333-1
∵k1-k2=-=>
0。
∴k1>
k2.
π3ππ
答:
函数y=sinx在0到之间的平均变化率为,在到之间的平均变6π3232-3332-3
化率为,且>
.πππ
变式训练2试比较余弦函数y=cosx在0到化率的大小.
cos3-cos0
解设函数y=cosx在0到3之间的平均变化率是k1,则k1=π=-3-032π.
函数y=cosx在3到2之间的平均变化率是k2,
ππ-cos233
则k2==-.
πππ-23333
∵k1-k2=--(-)=>
2ππ2π
∴函数y=cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化
332
率.
题型三平均变化率的应用
例3已知一物体的运动方程为s(t)=t2+2t+3,求物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度.
cos
之间和到之间的平均变332
3
Δs分析物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→Δt解物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的位移增量Δs=s(1+Δt)-s
(1)
=[(1+Δt)2+2(1+Δt)+3]-(12+2×
1+3)=(Δt)2+4Δt.
物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为
ΔsΔt+4Δt
=4+Δt.
Δt=Δt
变式训练3一质点作匀速直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在[2,2+Δt](Δt>
0)上的平均速度不大于5,求Δt的取值范围.
解质点在[2,2+Δt]上的平均速度为
s2+Δt-s2-v=
Δt[2+Δt2+1]-22+1=
Δt4Δt+Δt2==4+Δt.
Δt又-v≤5,∴4+Δt≤5.
∴Δt≤1,又Δt>
∴Δt的取值范围为(0,1]. §
函数的单调性与极值导数的概念
1.经历平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念建立的一些实际背景.
2.了解瞬时变化率的含义,知道瞬时变化率就是导数.
3.掌握函数f(x)在某一点x0处的导数定义,并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.
4
课前热身
1.瞬时速度.
设物体的运动方程为S=S(t),如果一个物体在时刻t0时位于S(t0),在时刻t0+Δt这段时间内,物体的位置增量是ΔS=S(t0+Δt)-S(t0).那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比,就是这段时间内物体的________,即v=
St0+Δt-St0
.
Δt 当这段时间很短,即Δt很小时,这个平均速度就接近时刻t0的速度.Δ
t越小,v就越接近于时刻t0的速度,当Δt→0时,这个平均速度的极限v=lim
Δt→0
ΔSSt0+Δt-St0=lim就是物体在时刻t0的速度即为________.ΔtΔtΔt→0
2.导数的概念.
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当Δx无限趋近0时,Δyfx0+Δx-fx0比值=无限趋近于一个常数A,这个常数A就是函数
ΔxΔxf(x)在点x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0.用符号语言表达为f′(x0)
Δy=lim=________
ΔxΔx→0
答案1.平均速度瞬时速度fx0+Δx-fx0ΔxΔx→0
1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量ΔS=S(t+Δt)-S(t);
ΔS
(2)求平均速度v=;
ΔtΔSSt+Δt-St
(3)求极限lim=lim;
ΔtΔtΔt→0
5
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