高一数学必修一期末复习资料整理13章Word文档下载推荐.docx
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高一数学必修一期末复习资料整理13章Word文档下载推荐.docx
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)语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
)Venn图:
集合的分类:
有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含任何元素的集合
例:
{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
“包含”关系—子集
注意:
有两种可能A是B的一部分,;
A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
.“相等”关系:
A=B
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
AÍ
A
②真子集:
如果AÍ
B,且A¹
B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB
③如果AÍ
B,BÍ
c,那么AÍ
c
④如果AÍ
B同时BÍ
A那么A=B
不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
u有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB,即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
AB,即AB={x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集
S
A
记作,即
cSA=
韦
恩
图
示S
性质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AΦ=A
ABA
=cu
A=U
A=Φ.
例题:
下列四组对象,能构成集合的是
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家c一切很大的书D倒数等于它自身的实数
集合{a,b,c}的真子集共有个
若集合={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则与N的关系是.
设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是
50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合=.
已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},c={x|x2-x+2-19=0},若B∩c≠Φ,A∩c=Φ,求的值二、函数的有关概念
.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f|x∈A}叫做函数的值域.
.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
分式的分母不等于零;
偶次方根的被开方数不小于零;
对数式的真数必须大于零;
指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
指数为零底不可以等于零,
实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
u相同函数的判断方法:
①表达式相同;
②定义域一致
.值域:
先考虑其定义域
观察法
配方法
代换法
函数图象知识归纳
定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f,中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P的集合c,叫做函数y=f,的图象.c上每一点的坐标均满足函数关系y=f,反过来,以满足y=f的每一组有序实数对x、y为坐标的点,均在c上.
画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
)平移变换
)伸缩变换
)对称变换
.区间的概念
区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
无穷区间
区间的数轴表示.
.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:
AB”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
各部分的自变量的取值情况.
分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:
复合函数
如果y=f,u=g,则y=f[g]=F称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
函数的单调性
增函数
设函数y=f的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x12时,都有f2),那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x12时,都有f>f,那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
图象的特点
如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f在这一区间上具有单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
函数单调区间与单调性的判定方法
定义法:
任取x1,x2∈D,且x12;
作差f-f;
变形;
定号;
下结论.
图象法
复合函数的单调性
复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g,y=f的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
.函数的奇偶性
偶函数
一般地,对于函数f的定义域内的任意一个x,都有f=f,那么f就叫做偶函数.
.奇函数
一般地,对于函数f的定义域内的任意一个x,都有f=—f,那么f就叫做奇函数.
具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
确定f与f的关系;
作出相应结论:
若f=f或f-f=0,则f是偶函数;
若f=-f或f+f=0,则f是奇函数.
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定;
由f±
f=0或f/f=±
1来判定;
利用定理,或借助函数的图象判定.
函数的解析表达式
函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式的主要方法有:
)凑配法
)待定系数法
)换元法
)消参法
0.函数最大值
利用二次函数的性质求函数的最大值
利用图象求函数的最大值
利用函数单调性的判断函数的最大值:
如果函数y=f在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f;
如果函数y=f在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f;
求下列函数的定义域:
⑴⑵
设函数的定义域为,则函数的定义域为__
若函数的定义域为,则函数的定义域是
函数,若,则=
求下列函数的值域:
已知函数,求函数,的解析式
已知函数满足,则=。
设是R上的奇函数,且当时,,则当时=
在R上的解析式为
求下列函数的单调区间:
⑴⑵⑶
0.判断函数的单调性并证明你的结论.
1.设函数判断它的奇偶性并且求证:
.第二章基本初等函数
一、指数函数
指数与指数幂的运算
.根式的概念:
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>
1,且∈*.
u负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,
.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
u0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
.实数指数幂的运算性质
·
;
;
.
指数函数及其性质
指数函数的概念:
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
指数函数的图象和性质
a>
1
0
定义域R
值域y>0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定点
函数图象都过定点注意:
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
在[a,b]上,值域是或;
若,则;
取遍所有正数当且仅当;
对于指数函数,总有;
二、对数函数
对数
.对数的概念:
一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:
说明:
1注意底数的限制,且;
注意对数的书写格式.
两个重要对数:
常用对数:
以10为底的对数;
自然对数:
以无理数为底的对数的对数.
u指数式与对数式的互化
幂值真数
=N=b
底数
指数对数
对数的运算性质
如果,且,,,那么:
+;
-;
换底公式
利用换底公式推导下面的结论
.
对数函数
对数函数的概念:
函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是.
1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
对数函数对底数的限制:
,且.
对数函数的性质:
定义域x>0
值域为R
在R上递增
在R上递减
幂函数
幂函数定义:
一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
幂函数性质归纳.
所有的幂函数在都有定义并且图象都过点;
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;
当时,幂函数的图象上凸;
时,幂函数的图象在区间上是减函数.在象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
已知a>
0,a0,函数y=ax与y=loga的图象只能是
计算:
①;
②=;
=;
③=
函数y=log的递减区间为
若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=
已知,求的定义域求使的的取值范围
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
函数零点的概念:
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
函数零点的求法:
求方程的实数根;
对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
二次函数的零点:
二次函数.
△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
函数的模型
检验
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
用函数模型解释实际问题
符合实际
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