量子力学讲义第8、9、10章.doc
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量子力学讲义第8、9、10章.doc
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第三篇对称性与不变性
对称性的重要意义:
伽利略变换下的不变性→牛顿力学的基石之一。
洛仑兹变换下的不变性→相对论的基石之一。
对称性←→守恒律(量)
21世纪的重大问题之一:
理论越来越对称,实验越来越多地发现不对称
~“矛盾”?
!
(参见李政道《物理学的挑战》)
本篇主要内容:
1、转动对称性问题~自旋与角动量;
2、粒子交换对称性问题~全同粒子问题;
3、时空交换对称性问题~对称性与守恒律问题。
第八章自旋与角动量
8.1电子自旋
1925年实验提出→1928年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学。
自旋~描述微观粒子特征的基本物理量。
一、关于自旋的实验事实(原子物理已讨论)
①纳黄线的精细结构;②复杂(反常)塞曼效应;③斯特恩-盖拉赫实验。
→为了解释实验现象,引入新的自由度(在内禀空间中)。
二、乌伦贝克-哥德斯密特假设
1、每个电子具有自旋角动量,它在空间任何方向上(取作z轴)的投影只能取两个值。
2、每个电子的自旋磁矩与自旋角动量的关系为
。
自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率:
~朗德因子。
与轨道角动量的回转比率比较:
~朗德因子,知。
注意:
轨道角动量有经典对应~,自旋角动量没有经典对应。
如果设想为经典自转→违背相对论。
自旋是内禀自由度(对经典讲,是全新的概念)
8.2自旋算符与自旋波函数
问题:
自旋算符如何定义?
自旋如何描述?
基本思路~由对易关系定义算符。
(无经典对应)
已知“轨道”:
。
一、自旋算符的对易关系及自旋算符的本征值
定义:
实验表明:
。
类比:
~角量子数。
有~自旋量子数。
二、泡利算符的对易关系及泡利算符的本征值
令~泡利算符
。
反对易关系:
。
易知
三、自旋算符在表象的矩阵表示
表象中。
现在求:
令
①:
。
②:
。
③:
,
取最简形式,有。
④。
这样自旋算符的矩阵表示就全部求出:
相应的泡利矩阵为:
四、电子自旋波函数
取-表象:
有即
,
。
取有,
构成正交归一完备集。
任一自旋波函数可以展开成
。
其中,~电子自旋向上的几率;~电子自旋向下的几率。
归一化要求有
。
引导学生自学教材P290-293的例题1-3。
例:
教材P294例4。
(只讲思路,不讲计算细节)
求的本征函数和本征值。
求该本征态中的可能值、相应几率和平均值。
解:
。
本征值方程为。
由久期方程。
将代入方程求a,得
由归一化条件,得。
于是有
。
同理得
。
将用展开
,
的几率;的几率。
于是有
。
同理讨论的相关问题。
作业:
习题8.2、2,3,4,6。
8.3泡利方程磁共振
(重点讲清思路,不推导细节)
一、考虑自旋后的电子波函数
将用展开,系数为的函数:
。
二、考虑自旋后的力学量算符
一般形式:
。
三、泡利方程
将有电磁场的S-方程推广到包含自旋的情况。
自旋磁矩
~泡利方程。
四、用分离变量法求解泡利方程
令
。
设~定态。
(关于,前面已经讨论,本章注意力在自旋问题)
五、顺磁共振和核磁共振
1、自由电子在均匀恒定磁场中的运动:
~守恒,电子的自旋状态要发生变化(高能态低能态),必然要与外界交换能量。
2、再加上正弦场:
。
令,由
可得
。
3、电子自旋共振:
若t=0时,电子处于自旋向下态,即
。
当外场(称为拉莫频率)时,有
。
此式表明,当时,电子自旋向上的几率为1,自旋向下的几率为0。
比较:
→
→z轴反转,能级跃迁。
→
可见,在半周期,与外界交换能量。
这种在静磁场作用下,电子的磁能级分裂,并在弱交变磁场的作用下所引起的共振吸收和共振发射的现象,称为电子自旋共振。
可用类似的方法讨论核磁共振(自学教材或参考有关文献)。
8.4角动量算符的基本性质
(一般性讨论~代数法的实例)
一、角动量算符的定义式:
。
二、角动量算符的本征值谱
设
1、引入新算符
一系列对易关系~见教材P307(9)(10)(11)。
由此可得
2、的本征值为
①设m的上限为j,则。
②相邻的:
。
可见是的本征矢,本征值为,即有
。
同理有。
个。
3、的本征值为
①∵j为m的最大值,
将作用于,并利用,有
②j的取值范围:
设m有N个值,且已知,
可见,j取零、整数和半整数。
如轨道角动量j=l,电子自旋角动量。
三、表象中角动量的矩阵表示
已知。
问题:
由
(1)
(2)
的非零矩阵元为
对
(1)式两边取共轭:
,
两边同乘以
(1)式:
,
取实部
。
非零矩阵元
,
取共轭
。
再利用与的关系,得到非零矩阵元:
,
。
作业:
习题8.3、1,2,4;习题8.4、3。
8.5两个角动量的相加
一、总角动量算符及其对易关系
。
。
二、总角动量的本征值与本征矢
1、无耦合表象与耦合表象
无耦合表象:
以的共同本征态为基矢,记,有
耦合表象:
以的共同本征态为基矢,记,有
2、两种表象基矢之间的关系~C-G系数
将用{}展开~给定:
~称为C-G系数,它是由“无耦合表象”到“耦合表象”的么正矩阵元。
只要知道了C-G系数,就可以建立起两种基矢的关系。
*三、C-G系数的求法及应用
1、C-G系数不为零的条件(我们只给出结果,证明见教材)
①;②。
2、C-G系数的计算,C-G系数表(计算非常复杂,实用中可直接查表~略)。
*8.6光谱的精细结构
耦合:
能级分裂~精细结构(同样的n,l,能级有两个)。
*8.7复杂(反常)塞曼效应
弱磁场中:
分裂数不是三个,间隔也不尽相同。
~复杂(反常)塞曼效应
8.8自旋单态与三重态
一、总自旋角动量及其对易关系
。
。
对于电子,。
二、的共同本征态
取{}为力学量完全集:
,
。
的共同本征态有4个:
,
。
取{}为力学量完全集,显然,都是的本征态,本征值分别为。
问题是,它们是否是的本征矢?
①是的本征矢。
证:
。
而,
,
。
。
同理可证明。
由,记的共同本征态为,则
。
②不是的本征矢(自证)。
但可以把的这两个本征态叠加,构成的本征态:
令,要求,可得。
由归一化条件→
小结列表
的共同本征态S
11
10三重态(对称)
1-1
00单态(反对称)
作业:
习题8.5、4,5;习题8.8、1,2,3。
第九章全同粒子
9.1全同性原理全同粒子体系的波函数
一、全同粒子与全同性原理
全同粒子:
固有(内禀)性质(质量,电荷,自旋,……)完全相同的粒子。
量子力学中,全同粒子不可区分(经典~可用轨道区分)→全同性原理:
在全同粒子中,两全同粒子相互交换不改变体系的状态
“全同性”不只是一个抽象的概念,它是一个可观测量~见后面的讨论。
(在量子力学中的粒子,要么“全同”,要么“很不同”。
)
二、的交换对称性
交换算符。
对两粒子体系,如氦原子中的两个电子:
,
显然,具有交换不变性~交换对称性。
推广到一般情况~N个全同粒子组成的体系,具有交换不变性~交换对称性→是一个守恒算符。
三、波函数的交换性
设描述N个全同粒子组成的体系
。
由全同性原理知与描述同一状态,即
。
即交换对称性→全同粒子体系的波函数对粒子交换具有一定对称性:
~对称波函数;反对称波函数。
守恒→这种对称性不随时间而变化。
四、波函数的交换对称性决定于粒子的自旋
实验表明:
自旋为的半整数倍~费米子→波函数是反对称的;
自旋为的整数倍~玻色子→波函数是对称的。
五、全同费米体系的波函数泡利不相容原理
先以两粒子为例~忽略相互作用,如何由单粒子波函数构成体系的波函数?
~有交换简并。
问题:
能用作为体系波函数吗?
否!
不满足反对称要求,必须反对称化:
若两粒子处于同一状态,即~泡利不相容原理(1925)。
可推广到N个粒子组成的体系~见教材:
繁而不难,这种表述不便。
实际应用将采用“二次量子化”处理~用“粒子数表象”。
因全同粒子体系~只数“数”,不标粒子坐标(不可区分)。
六、全同玻色子体系的波函数
以两粒子为例~波函数要对称化。
1、当时:
。
2、当时:
。
推广到N个粒子体系的波函数请自学教材(略讲)~数学的排列组合问题。
七、全同粒子体系的总波函数
忽略自旋-轨道耦合:
。
波函数的交换对称性
总波函数空间波函数自旋波函数
费米子反对称对称反对称
反对称对称
玻色子对称对称对称
反对称反对称
对二电子体系,总波函数的四种形式见教材P345。
引导同学们自学教材中的例题~重点是P349例2~如何构成总波函数。
例:
教材习题9.1、5~说明“全同性”是可以“观测”的。
解:
①没有交换对称性。
两粒子的波函数可表为:
。
令
,
上式可化成~,略去与本题无关的质心运动部分,相对运动部分的波函数为→在的球壳中找到另一个粒子的几率为
~几率密度。
②交换反对称波函数。
,
这样,反对称的相对运动波函数可表为。
由此可算出。
③交换对称波函数。
类似可以求得
。
作业:
习题9.1、1,2,4。
9.2氦原子仲氦和正氦(应用实例)*分子的形成
一、:
。
二
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- 量子力学 讲义 10