高中数学专题微积分基本定理与应用.doc
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22、定积分
22.2微积分基本定理与应用
一.知识结构
1、定积分
⑴定积分的定义:
(注意整体思想)
⑵定积分的性质:
①(常数);
②;
③(其中。
(分步累加)
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):
(熟记(),,,,,)
2定积分的应用:
①求曲边梯形的面积:
(两曲线所围面积);
注意:
若是单曲线与x轴所围面积,位于x轴下方的需在定积分式子前加“—”
②求变速直线运动的路程:
;
③求变力做功:
。
二,典型例题
【典型例题】
[例1]
(1)由抛物线和直线x=1所围成的图形的面积等于()
A.1 B. C. D.
例1
(2)
(2)如图,阴影部分的面积是 ( )
A. B.
C. D.
(3)= ( )
A. B.
C. D.
(4)=.
(5)按万有引力定律,两质点间的吸引力,k为常数,为两质点的质量,r为两点间距离,若两质点起始距离为a,质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处,试求所作之功(b>a).
y
x
o
1
2
2
-
-1
-1
A
B
C
D
例2图
[例2]如图,求由两条曲线,及直线y=-1所围成图形的面积.
[例3]如图,抛物线C1:
y=-x2与抛物线C2:
y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点.若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为,求直线l的方程.
例3图
A
[例4]已知A(-1,2)为抛物线C:
y=2x2上的点.直线l1过点A,且与抛物线C相切.直线l2:
x=a(a≠-1)交抛物线C于点B,交直线l1于点D.
(1)求直线l1的方程;
(2)设ABD的面积为S1,求及S1的值;
(3)设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2,求证:
S1∶S2的值为与a无关的常数.
【课内练习】
1. = ( )
A.5 B。
4 C。
3 D。
2
2. = ( )
A. B。
C。
D。
3. 若,且a>1,则a的值为 ( )
A.6 B。
4 C。
3 D。
2
4. 已知自由落体运动的速率v=gt,则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为 ( )
A. B. C. D.
5. 曲线与直线所围成的图形(阴影部分)的面积等于.
6. 。
7. =。
8. 计算下列定积分的值
(1);
(2);(3)。
9. 平地上有一条小沟,沟沿是两条长100m的平行线段,沟宽AB为2m,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直,沟深1.5m,沟中水深1m.
(Ⅰ)求水面宽;
(Ⅱ)如图所示形状的几何体称为柱体,已知柱体的体积为底面积乘以高,沟中的水有多少立方米?
10.设是二次函数,方程有两个相等的实根,且.
(1)求的表达式.
(2)若直线把的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分,求t的值.
22、定积分
22.2微积分基本定理与应用
A组
1. 下列有定义的定积分为 ( )
A. B。
C。
D。
2. = ( )
A. B.2e C. D.
3. 曲线与坐标轴围成的面积 ( )
A.4 B.2 C. D.3
4. 若=a3-2(a>1),则a=。
5. =。
6. 求定积分:
。
7. 求曲线与轴所围成的图形的面积.
8. 如图,抛物线与直线y=3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。
(1)求使的面积为最大时P点的坐标;
(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形,被直线x=a分为面积相等的两部分.
22、定积分
22.2微积分基本定理与应用
B组
1. = ( )
A. B。
C。
D。
2. = ( )
A.21 B。
22 C。
23 D。
24
3. 下列命题:
①若f(x)是定义在R上的奇函数,则为R上的偶函数;
②若f(x)是周期为T(>0)的周期函数,则;
③。
其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B。
1 C。
2 D。
3
4. 由曲线与直线所围成的平面图形的面积为。
5. 已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N的力,则把弹簧拉长0.1米所作的功为.
6. 求由曲线与x轴所围的封闭区域的面积。
7. 设某物体一天的温度T是时间t的函数,T(t)=at3+bt2+ct+d(a≠0),其中温度的单位是,时间的单位是小时,t=0表示12∶00,t取正值表示12∶00以后.若测得该物体在8∶00的温度为8,12∶00的温度为60,13∶00的温度为58,且已知该物体的温度在8∶00和16∶00有相同的变化率.
(1)写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式;
(2)该物体在10∶00到14∶00这段时间中(包括10∶00和14∶00),何时温度最高?
并求出最高温度;
(3)如果规定一个函数在上函数值的平均为
,求该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度.
8. 一物体按规律x=bt3作直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时,阻力所作的功.
8. 物体的速度.媒质阻力,其中k为比例常数,k>0.
当x=0时,t=0;当x=a时,,又ds=vdt,故阻力所作的功为
。
参考答案
22.2微积分基本定理与应用
【典型例题】
[例1]
(1)B.
(2)C.
(3)C.
(4)。
(5)。
[例2]由图形的对称性知,所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍.
由得C(1,-1).同理得D(2,-1).
∴所求图形的面积
y
x
o
1
2
2
-
-1
-1
A
B
C
D
例2图
S=
.
[例3]设过原点的直线方程为y=kx,解方程组,得x1=0,x2=k+2a.
当k+2a≥0时,
.
于是(k+2a)3=27a3,解得k=a.
所以,直线l的方程为y=ax.
当k+2a<0时,.
于是-(k+2a)3=27a3,解得k=-5a.
所以,直线l的方程为y=-5ax.
综上所述,所求直线l的方程为y=ax或y=-5ax.
[例4]
(1)由y=2x2,得.当x=-1时,.
∴l1的方程为y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0.
(2)由y=2x2及x=a,解得点B的坐标为(a,2a2).
由4x+y+2=0及x=a,解得点D的坐标为(a,-4a-2).
又可求得点A到直线BD的距离为,=2a2+4a+2=2(a+1)2.
∴S1=.
(3)由题意,当a>-1时,
,
当a<-1时,,
∴S1∶S2=3∶2.即S1∶S2的值为与a无关的常数.
【课内练习】
1. A。
2. A。
3. D。
4. C。
5. 。
6. F(x)-F(0)。
7. 4a。
8.
(1);
(2);(3)。
9. (Ⅰ)如图建立直角坐标系xoy,设抛物线方程为.
则由抛物线过点,可得.
于是抛物线方程为.
当y=1时,,由此知水面宽为(m).
(Ⅱ)柱体的底面积
.
∴柱体体积为,即水沟中有水.
10.
(1);
(2).
22.2微积分基本定理与应用
A组
1. B。
2. D。
3. D。
4. 2。
5. 。
图
6. 。
7. 首先求出函数的零点:
,,.又易判断出在内,图形在轴下方,在内,图形在轴上方,所以所求面积为
。
8.
(1);
(2)面积均为。
B组
1. D。
2. 23。
3. D。
4. 。
x
F
x
0
5. 如图所示,在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力F与弹簧的伸长量(或压缩量)x成正比,即F=kx.在上式中k为比例系数.
根据题意,当x=0.02时,F=9.8,故由F=kx得k=490.这样得到的变力函数为F=490x.于是所求的功为
(J).
6.
7.
(1)根据条件可得T(0)=60,T(-4)=8,T
(1)=58,,则d=60,b=0,a=1,c=-3,因此,温度函数T(t)=t3-3t+60.
(2),当时,;当时,.因此,函数T(t)在(-2,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上递增,即t=-1是极大值点.
由于T(-1)=T
(2)=62,所以10∶00到14∶00这段时间中,该物体在11∶00和14∶00的温度最高,最高温度为62.
(3)根据定义,平均温度为,即该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度60.
8. 物体的速度.媒质阻力,其中k为比例常数,k>0.
当x=0时,t=0;当x=a时,,又ds=vdt,故阻力所作的功为
。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
-11-
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