圆锥曲线与直线相切的条件教案Word文件下载.docx
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(答:
有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线;
无心的二次曲线是抛物线.)
(由教师启发下,让学生共同讨论.)
(1)当α>0,β>0且α=β时,方程表示为圆;
(2)当α>0,β>0且α≠β时,方程表示为椭圆;
(3)当α、β为异号时,方程表示为双曲线.
因此,这个方程可以统一表示有心的二次曲线.
3.圆锥曲线与直线的相切的条件是什么?
设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1),将直线l′绕点P旋转,使点Q逐渐靠近点P,当l′转到直线l的位置时,点Q与点P重合,这时,直线l叫做圆锥曲线在点P的切线.也就是圆锥曲线与直线l相切.根据这个定义,于是圆锥曲线方程
f(x,y)=0
与直线方程
y=kx+m
组成的方程组应有两个相同的实数解.实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ=0,根据条件转化为求Δ=0.
(启发学生回答,由教师归纳,然后板书课题.)
今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”.
二、讲述新课
根据上面分析,得
由②代入①,化简、整理得
(αk2+β)x2+2αkmβ+α(m2-β)=0.③
当αk2+β≠0时(二次项系数),
Δ=4α2k2m2-4α(αk2+β)(m2-β)
=4α2k2m2-4α2k2m2+4α2k2β-4αβm2+4αβ2
=4αβ(αk2+β-m2).
(启发学生讨论.)
由于α、β均不为零,因此当Δ=0时可知有心二次曲线与直线y=kx+m相切的充要条件为
m2=αk2+β,(αk2+β≠0)④
这里αk2+β恰是方程③的二次项系数.
(引导学生对结论④,在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论,教师边归纳,边板书.)
(1)对于圆x2+y2=γ2,可写成
即有α=β=γ2,于是相切条件为m2=γ2(k2+1).
(2)对于椭圆(焦点在x轴上)
即有α=a2,β=b2,于是相切条件为m2=a2k2+b2.
(3)对于椭圆(焦点在y轴上)
即有α=b2,β=a2,于是相切条件为m2=b2k2+a2.
(4)对于双曲线(焦点在x轴上)
即有α=a2,β=-b2,于是相切条件为m2=a2k2-b2.
(5)对于双曲线(焦点在y轴上)
即有α=-b2,β=a2,于是相切条件为m2=a2-b2k2.
[应用有心曲线统一公式,这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求,可避免一个一个冗长复杂的计算,使问题的解决变得简捷.]
2.无心的二次曲线y2=2px与直线y=kx+m相切的条件
根据上面的分析,得
由②代入①,化简整理,得
(kx+m)2=2px,
k2x2+(2mk-2p)x+m2=0.
当二次项系数k2≠0时,
Δ=(2mk-2p)2-4k2m2=4p2-8mkp
=4p(p-2mk)=0.
无心的二次曲线x2=2py与直线y=kx+m相切的条件,应为
(让学生独立完成.)
三、巩固新课
(让学生直接对照上述结论,设所求公切线的斜率为k,截距为m,再根据椭
解设所求的公切线斜率为k,截距为m,根据相切条件有
81k4+36k2-5=0,
(9k2-1)(9k2+5)=0,
∵9k2+5≠0,∴9k2-1=0,
代入②,得m=±
5.
因此,所求的公切线方程为
即
x+3y+15=0或x-3y+15=0.
求双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程.
(帮助学生分析解题的几个要点,然后由学生上黑板解,教师巡视指点.)
y=kx+m,
则由相切条件,可知m2=a2k2-b2.
(2)设两切线交点为P(x0,y0),则切线方程为
y-y0=k(x-x0),
y=kx+(y0-kx0).
(3)y=kx+m,y=kx+(y0-kx0)表示同一直线,就有
m=(y0-kx0),
∴(y0-kx0)2=a2k2-b2.
整理得
(4)k1k2=-1,用韦达定理从方程①求得k1k2,
因此,点P的轨迹方程为
x2+y2=a2-b2.
这里a>b,点P的轨迹是一个实圆;
a=b,点P的轨迹是一个点圆;
a<b,点P无轨迹(虚圆).
解略.
法,不难得出轨迹方程为圆方程
x2+y2=a2+b2;
这题若改为求抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程,方法也类似,不难得出轨迹方程为
即点P一定在准线上.
[这样改变一下题目,可让学生开拓思路,举一反三.]
四、练习
1.已知l为椭圆x2+4y2=4的切线并与坐标轴交于A、B两点,求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程.
解如图2,设切线方程为
根据相切条件有m2=4k2+1,即①
|OA|2=4k2+1.
在y=kx+m中,令y=0,得
于是得
代入m2=4k2+1,求得
因此,所求的切线共有四条(图3),它们的方程为
求四边形ABCD的最大面积.
则由相切条件,知
m2=a2k2+b2,
故两切线方程为
两切线间的距离
∴四边形ABCD的最大面积为
五、补充作业
轨迹方程.
2.求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程.
教案说明
这一节课的指导思想是:
根据现代教育理论,强调在教学的过程中培养能力,特别是思维能力.数学思维结构与科学结构十分相似,学习数学的过程,就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程,数学知识只是进行思维结构训练的材料.二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练,就是使学生形成完整的思维结构,使对数学的认识有新的突破.这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题.
这节课的整个教学过程中,着重于讲解——启导——探究,培养学生的分析能力.讲解时,突出重点:
“相切条件”,并以此为中心,达到举一反三、触类旁通.其中也穿插了自学讨论,而不是教师满堂灌.
在练习中,注意到了再现性练习、巩固性练习,同时也留有发现性练习,使学生以新带旧,巩固新知,发展智力,反过来从思维结构上形成完整体系,以认识数学本身.
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- 关 键 词:
- 圆锥曲线 直线 相切 条件 教案
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