第学期北京航空航天大学概率统计期末考试卷A卷及答案A和B卷.doc
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北京航空航天大学
BEIHANGUNIVERSITY
2008-2009学年第一学期期末
考试统一用答题册
考试课程概率统计(09J70040)
概率统计与随机过程A(09J70050)
概率论与数理统计
班级_____________学号_____________
姓名______________成绩_________
考场教室_________任课教师_________
题号
一
二
三
四
五
六
七[七]
八[八]
总分
分数
阅卷人
校对人
A
2009年1月16日10:
30—12:
30
一、单项选择题(每小题3分,满分18分)
1、设是来自正态总体的样本,设,
当()时,概率最大。
(A),(B),(C),(D)。
2、设总体的密度函数为,其中,是来自总体的样本,则参数的矩估计量为()。
(A),(B),(C),(D)。
3、设是来自正态总体的样本,当()时,是
的无偏估计,其中,。
(A),(B),(C),(D)。
4、设随机变量,则[].
(A)0,(B),(C),(D).
5、两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在中午12时
到下午1时之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为[].
(A),(B),(C),(D).
6、设是总体的样本,已知,下列几个作为的估计量中,
较优的是[].
(A),(B),
(C),(D).
二、填空题(每小题3分,满分18分)
1、有个白球与个黑球任意地放入两个袋中,每袋装个球.现从两袋中各取一
球,则所取两球颜色相同的概率为。
2、在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清
和1的概率分别为0.7,0.2,0.1;当发出信号为1时,收到信号为1、不清和0
的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中发出0和1的概率分别是0.4和
0.6。
当收到信号为不清时,原发信号是1的概率为。
3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率
分别为0.6、0.5、0.3,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、
0.6、0.9.则敌舰被击沉的概率为。
4、设随机变量的分布函数为,随机变量服从两点分布:
,并且与相互独立,
则随机变量的分布函数。
5、设是来自正态总体的样本,未知,已知。
对给定置信水平(),满足,
即满足的实数有无穷多组,
当,时,就可使得的置信水平为的置信区间的长度最短。
(用标准正态分布的分位点表示出所求的即可。
)
6、设总体,为的样本.
记,这里规定,.
在未知方差,检验假设:
时,
选取检验用的统计量是。
三、(满分12分)对同一目标进行三次独立射击,第一、二、三次射击的命中概率分别为0.4,0.5,0.7,试求:
(1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率;
(2)至少有一次击中目标的概率.
四、(满分12分)已知随机变量的概率密度为,
试求的分布函数和概率密度.
五、(满分8分)设随机变量的二阶矩存在,
证明:
当时,的值最小,最小值为.
六、(满分12分)设总体,从此总体中取一容量为4的样本,设,
(1)求服从的分布;
(2)求服从的分布;
(3)试决定常数,使随机变量服从分布.
七、(满分8分)(此题学过1-9章和11-13章的学生做,仅学过1至9章的学生不做)
设,其中是常数,与是相互独立的随机变量,
且,,试求:
(1),;
(2),,;
(3)问是否为广义平稳过程?
[七]、(满分8分)(此题仅学过1至9章的学生做;学过1至9章和11-13章的学生不做)
有甲、乙两炮向同一目标轮流射击,直至有一炮击中目标为止.甲、乙两炮击中的概率分别为0.3和0.7,规定甲炮先射.以和分别表示甲、乙两炮所用炮弹数.
(1)试写出的分布律,求的分布律;
(2)求。
八、(满分12分)(此题学过1至9章和11-13章的学生作,仅学过1至9章的学生不做)
四个位置:
1,2,3,4在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一个位置,以概率逆时针游动到相邻位置;以概率顺时针游动到相邻位置;以表示时刻粒子处在位置,
试作:
(1)写出齐次马尔可夫链的状态空间;
(2)求齐次马尔可夫链的一步转移概率矩阵;
(3)求两步转移概率矩阵;(4)求该齐次马尔可夫链的平稳分布.
[八]、(满分12分)(此题仅学过1至9章学生做,学过1-9章和11-13章学生不做)
设是相互独立的随机变量序列,且其分布律为
;
记,。
(1)求,,;
(2)求,;
(3)证明:
对任给,成立。
概率统计(09J70040)、概率统计与随机过程A(09J70050)
概率论与数理统计考试卷
A、B卷答案及评分细则(2009-1-16)
A卷:
一、单项选择题(每小题3分,满分18分)
1、B;2、D;3、A;4、C;5、A;6、C。
二、填空题(每小题3分,满分18分)
1、,或.
2、;3、;
4、;
5、,;
6、。
B卷:
一、单项选择题(每小题3分,满分18分)
1、C;2、A;3、C;4、B;5、D;6、A;
二、填空题(每小题3分,满分18分)
1、;
2、,;
3、;
4、,或.
5、;6、;
三、(满分12分)
解设第次射击时击中目标,,相互独立,
;
(1)设恰好有一次击中目标,则,
于是
;……………….6分
(2)设至少有一次击中目标,则,
故
.……………………………………………………..6分
四、(满分12分)
解,
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,;
(4)当时,
;………………………………………………………8分
(2)所以.………………………………………………4分
五、(满分8分)
证明由
………………………………………………6分
知当时,的值最小,最小值为.……………………………………2分
(用,
或利用导数求极值也可.)
六、(满分12分)
解因为,,且相互独立,
,;
(1)因为,,
所以,……………………………………………………………4分
(2)由,,
得;……………………………………………………………4分
(3),
故,
由分布的可加性,得,
由所给的表达式,即知;……………………………………4分
七、(满分8分)(此题学过1-9章和11-13章的学生做,仅学过1至9章的学生不做)
解.
(1)由题设条件得;
;
;………………………………………………………………2分
(2),…………………………………………1分
………………………………2分
……………………………………………………………………………1分
(3)因为,,,(不依赖于),
所以是广义平稳过程.………………………………………………………………2分
八、(满分12分)(此题学过1至9章和11-13章的学生作,仅学过1至9章的学生不做)
解.
(1)依题意,状态空间,………………………………………3分
(2)转移概率矩阵,……………………3分
(3)
;…………………………………3分
(4),
,
,
。
解之得.
故平稳分布为.…………………………………3分
[七]、(满分8分)(此题仅学过1至9章的学生做;学过1至9章和11-13章的学生不做)
解
(1)以和分别表示甲乙在第轮射击中击中目标.显然是离散型随机变量.
根据题意知
;
;…
于是,的分布律为,.………………………2分
的可能取值为:
,;
;
…
,
于是,
的分布律为
,.………………………2分
(2)
;…………………………………………………2分
。
…………………………………2分
[八]、(满分12分)(此题仅学过1至9章学生做,学过1-9章和11-13章学生不做)
证明
(1)由数学期望和方差的性质及条件,有
,
,
,…………………………………………………………………3分
(2),
…………………………………………4分
(3);
对任意,由契比雪夫不等式,得
于是成立。
…………………………………………………………………5分
A6-13
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