高数复习知识点Word下载.docx
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XX
当时,
<
£
A
第1页共12页
2、
1)yn
左极限:
f(x0)=limf(x)
xx
T0
xrx
极限存在准则
夹逼准则:
<
XnZn
存在
no)
右极限:
lim
y
单调有界准则:
3、
单调有界数列必有极限
a=
无穷小(大)量
0则称为无穷小量;
若
Th1
Th2
4、
+T
定义:
若lim
aBB=a+a
无穷小的阶:
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小
则称为无穷大量.
p*
o();
a
、、
P•
k阶无穷小
lim存在,则
(无穷小代换)
求极限的方法
单调有界准则;
夹逼准则;
极限运算准则及函数连续性;
两个重要极限:
(重点)
sinx
a)lim
b)
5)无穷小代换:
0)(重点)
x0
lim(
(1
a)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx第2页共12页
1cos
112345
x
2
(a
1〜xIna)
c)
d)
ln(1
x)〜
(log
a
e)
x)
Ina
导数与微分
导数
函数f(x)在Xo点可导
()
X0
第3页共12页
与x无关.
(xo)dx
f(b)
7)对数求导法.(重点)
5、高阶导数
dyddy1)定义:
dxdxdx
()(n)二三k(k)(n-k)
2)Leibniz公式:
uvCnuv
k一0
(二)微分
1)定义:
yf(xox)f(xo)Axo(x),其中A
—_F\
2)可微与可导的关系:
可微可导,且dyf(X。
)xf
三、微分中值定理与导数的应用
(一)中值定理
1、Rolle定理:
(重点)若函数f(x)满足:
1)f(x)C[a,b];
2)f(x)D(a,b);
3)f(a)
贝U(a,b),使f()0.
2、Lagrange中值定理:
若函数f(x)满足:
1)f(x)C[a,b];
2)f(x)D(a,b);
贝9(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).
3、Cauchy中值定理:
若函数f(x),F(x)满足:
1)f(x),F(x)C[a,b];
2)f(x),F(x)D(a,b);
3)F(x)
f(b)f(a)
F(b)F(a)
(二)洛必达法则(重点)
Taylor公式(不考)
(四)
单调性及极值
1、
单调性判别法:
(重点)f(x)C[a,b],
f(X)D(a,b),
则若f(x)0,
a)
则f(x)单调增加;
则若f(X)o,则
极值及其判定定理:
必要条件:
第一充分条件:
■%.
则①若当X
点;
②若当X
值点;
③若在
第二充分条
则①若f
占
八、、・
f(x)单调减少
f(X)在Xo可导,若Xo为
f(X)的极值点,
(重点)f(x)在Xo的邻域内可导,且
Xo时,f(x)
Xo时,f(X)
孑
o,当XXo时,f(x)
,则Xo为极大值
则Xo为极小
Xo的两侧f(X)不变号,
件:
(重点)f(X)在
(Xo)o,则Xo为极大值点;
凹凸性及其判断,拐点
f(x)在区间I上连续,
Xo
Xo不是极值点
处二阶可导,
②若
,则
Xo为极小值
则称f(X)在
X/€
区间I上的图形是凹的;
则称f(X)在
区间I上的图形是凸的.
2)判定定理(重点):
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有一阶、二阶导数,则
a)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
第5页共12页
b)若x(a,b),f(x)o,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
yf(x)经
3)拐点:
设yf(x)在区间I上连续,xo是f(x)的内点,如果曲线
过点(xo,f(xo))时,曲线的凹凸性改变了,则称点(xo,f(xo))为曲线的拐点.
(五)
不等式证明
利用微分中值定理;
利用函数单调性;
利用极值(最值)•
(六)
方程根的讨论
连续函数的介值定理;
Rolle定理;
函数的单调性;
极值、最值;
5、
凹凸性•
(七)
渐近线
铅直渐近线:
limf(x)=辺,
xTa
则x=a为一条铅直渐近线;
水平渐近线:
limf(x)=b,
xT远
则y=b为一条水平渐近线;
f(x)
)c
斜渐近线:
limk
fxkxb
渐近线.
四、不定积分
(1)概念和性质
第6页共12页
1、原函数:
在区间I上,若函数F(x)可导,且F(x)f(x),贝9F(x)称为
f(x)的一个原函数.(重点)
2、不定积分:
在区间I上,函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在
区间I上的不定积分.
3、基本积分表(P188,13个公式);
4、性质(线性性)
(二)换元积分法(重点)
1、第一类换元法(凑微分):
f[(x)](x)dx=(f(u)duu攻(x)
f(x)dxf[(t)](t)dt2、第二类换元法(变量代换):
t(x)
■iB
(三)分部积分法:
udvuvvdu(重点)
(四)有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等)
五、定积分
(一)概念与性质:
=F-A入T_
b
f(x)dxlimf(i)x
a0i
i1
2、性质:
(7条)
性质7(积分中值定理)
函数f(x)在区间[a,b]上连续,则
[a,b],使
f(x)dxf()(ba)
(平均值:
f(x)dx
)
微积分基本公式(
N—L公式)(重点)
C>
r
变上限积分:
设
P
(x)
ftdt
f(x)
推广:
f(t)dt
(x)]
dx
N—L公式:
F(x)为
换元法和分部积分
*a
换元法:
(
xdx
)]
udv
vdu2、
分部积分法:
(四)反常积分
无穷积分:
a€
ta
t
1
『(x)
t皿
f(x)dx
-be
f(x)dx
瑕积分:
(x)](x)
的一个原函数,
Q*
uv
F(b)F(a)
tt
)da
(x)dx
af(
(x)dx
(a为瑕点)
ft
)dx
()(
b为瑕点)
u
fxdx
tb
第8页共12
页
两个重要的反常积分:
—■■ip
p
J
aX
PP1
平面图形的面积y=
直角坐标:
(X):
f(X)]dx
/i
/■1
y=j\\x)
—r*
bx
cp
)]d
2、极坐标:
第9页共12页
(二)体积
1、旋转体体积:
a)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴,绕x轴旋转而成的旋转体的体积:
3、极坐标:
s
七、微分方程
(一)概念
第10页共12页
1、微分方程:
表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程
阶:
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数
2、解:
使微分方程成为恒等式的函数
通解:
方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同
特解:
确定了通解中的任意常数后得到的解
(二)变量可分离的方程(重点)
(),
两边积分
g(y)dy
ydyf
齐次型方程
dy
du
(),设
u,
则
——=@
=
•
dv
或
v,
v
(4)一阶线性微分方程(重点)
P(x)yQ(x)-J-f
P(X)dxP(x)dx用常数变易法或用公式:
ye
QxedxC
(5)可降阶的高阶微分方程I"
口'
(n)
f(x),
两边积分n
次;
f(x,y)
(不显含有
y)
,令y
p,则y
p;
f(y,y)
p,则y
dpp
(6)线性微分方程解的结构
第11页共12页
1、yi,y是齐次线性方程的解,则CiyiC2目2也是;
2、yi,y2是齐次线性方程的线性无关的特解,则CiyiC2y2是方程的通解;
—
、y为非齐次方程的通解,其中yi,y2为对应齐次方程的
CiyCyy
i22
线性无关的解,y非齐次方程的特解.
(七)常系数齐次线性微分方程(重点)
fft
++=
二阶常系数齐次线性方程:
ypyqy0
2prq
r=
,特征根:
ri,「2
=+
征方程:
=
0l+
特征根0
=a通+解p
rxrx
实根
ri
r
Cei
i
C
e
rx
r2
(CC
x)e
xr
■i
e(Ci
x)
cosxC2sin
2
(八)常系数非齐次线性微分方程
ypy
qy
i、f(x)
x(重点)
P(x)
m
■
0)
+
入
不是特征根
*
设特解y
k
eQx其中
k1,
是一个单根
2,
入是重根
x()cos
()sin
2、fx
Pxx
Px
CO
(1)
(2)
kx()cos
()sin
设特解y
xeRx
Rxx
k其中
mmax{l,n},
1,
是特征根
l
1)导数定义;
2)基本公式;
3)四则运算;
4)复合函数求导(链式法则);
5)隐函数求导数;
6)参数方程求导;
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