第五章线性方程组习题解答.doc
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习题五
A组
1.填空题
(1)当方程的个数等于未知数的个数时,有惟一解的充分必要条件是.
解因为是有惟一解的充要条件.故由可得.
(2)线性方程组
有解的充分必要条件是.
解对方程组的增广矩阵施行初等行变换
.
所以方程组有解的充要条件是,即
.
(3)设阶方阵的各行元素之和均为零,且,则线性方程组的通解为.
解令
显然满足方程组,又因为,所以,即方程组的基础解系中有一个向量,通解为
,k为任意常数.
(4)设为阶方阵,,且的代数余子式(其中,;),则的通解.
解因为,又,所以,并且有
所以是方程组的解,又因为,可知方程组的通解为
,
其中c为任意常数.
(5)设
,
其中,,则非齐次线性方程组的解是.
解 .
(6)设方程有无穷多个解,则.
解 .
2.单项选择题
(1)齐次线性方程组解的情况是.
(A)无解;(B)仅有零解;
(C)必有非零解;(D)可能有非零解,也可能没有非零解.
答(C).
(2)设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩,且为此方程组的三个线性无关的解,则此方程组的基础解系是.
(A);(B);
(C);(D).
答(A).
(3)要使,都是线性方程组的解,只要为.
(A);(B);
(C);(D).
答(A).
(4)已知是的两个不同的解,是相应的齐次方程组的基础解系,为任意常数,则的通解是.
(A);(B);
(C);(D).
答(B).
(5)设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组的基础解系是.
(A)不存在;(B)仅含一个非零解向量;
(C)含有两个线性无关的解向量;(D)含有三个线性无关的解向量.
答(B).
(6)设有齐次线性方程组和,其中,均为矩阵,现有4个命题:
①若的解均是的解,则;
②若,则的解均是的解;
③若与同解,则;
④若,则与同解.
以上命题正确的是.
(A)①,②;(B)①,③;(C)②,④;(D)③,④.
答(B).
(7)设是矩阵,是矩阵,则线性方程组.
(A)当时仅有零解;(B)当时必有非零解;
(C)当时仅有零解;(D)当时必有非零解.
答(D).
(8)设是阶矩阵,是维列向量.若秩秩,则线性方程组.
(A)必有无穷多解;(B)必有惟一解;
(C)仅有零解;(D)必有非零解.
答(D).
3.求下列齐次线性方程组的一个基础解系
(1)
解对系数矩阵施行初等行变换,有
.
与原方程组同解的方程组为
或写为
,
其中为任意常数.所以,基础解系为
.
(2)
解
,
与原方程组同解的方程组为
或写为
其中,可取任意常数,故
.
所以,基础解系为
.
(3)
解
,
,方程组组只有零解.
(4)
解
,
与原方程组同解的方程组为
或写为
故
.
所以基础解系为
.
4.求解下列非齐次线性方程组.
(1)
解对增广矩阵施行初等行变换
,
所以.无解.
(2)
解
,所以原方程组有解.与原方程组同解的方程组为
故
.
(3)
解
,
,原方程组有解.与原方程组同解的方程组为
所以原方程组的通解为
.
(4)
解
,
,原方程组有解.与原方程组同解的方程组为
故通解为
.
5.问取何值时,非齐次线性方程组
(1)有惟一解;
(2)无解;(3)有无穷个解?
解系数行列式
.
当且时,方程组有惟一解.
当时,对增广矩阵施行初等行变换
,
则,故原方程组有解且有无穷多解.
当时,对增广矩阵施行初等行变换
.所以方程组无解.
6.非齐次线性方程组
当取何值时有解?
并求出它的全部解.
解对增广矩阵施行初等行变换,得
,
当且时,方程组无解.
当时,有
,方程组有解,且与原方程组同解的方程组为
故原方程组的解为
.
当时,有
与原方程组同解的方程组为
故方程组的解为
.
7.设问为何值时,此方程组有惟一解、无解或有无穷多解?
并在有无穷多解时求出其通解.
解系数行列式
.
当且时,方程组有惟一解.
当时,有
,方程组有无穷多解,此时
通解为
.
当时,有
,
,故方程组无解.
8.问为何值时,非齐次线性方程组
(1)有惟一解,求出惟一解;
(2)无解;(3)有无穷多解,并写出通解.
解方程组的增广矩阵
当时,,方程组有惟一解.此时
所以,.
当时,有
,
所以,当且时,,,方程组无解.
而当且时,有
,
,方程组有解,且与原方程组同解的方程组为
或写为
故原方程组的通解为
,
其中为任意实数.
9.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,已知是它的三个解向量,且
,
求该方程组的通解.
解,所以,令
,
则为基础解系,故方程组的通解为
,
其中可取任意常数.
10.设都是阶方阵,且.证明
.
证明设,则有
.
可见每个都是的解向量.因,可知的解空间的维数是,所以向量组的秩小于等于,从而,于是.
11.已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
(1)证明方程组的系数矩阵的秩;
(2)求的值及方程组的通解.
解
(1)设是方程组的3个线性无关的解,其中
.
则有,即是对应齐次线性方程组的解,且线性无关.(否则,易推出线性相关,矛盾).
所以,即.又矩阵中有一个2阶子式,所以.因此.
(2)因为
又,则
对原方程组的增广矩阵施行初等行变换,
,
故原方程组与下面的方程组同解
.
选为自由变量,则
.
故所求通解为
,为任意常数.
12.已知三阶矩阵的第一行是,不全为零,矩阵(为常数),且,求线性方程组的通解.
解由于,故,又由不全为零,可知.
当时,,于是;
当时,,于是或.
①对于,由可得
和.
由于线性无关,故为的一个基础解系,于是的通解为,其中为任意常数.
②对于,分别就和进行讨论.
如果,则的基础解系由一个向量构成.又因为,所以的通解为,其中为任意常数.
如果,则的基础解系由两个向量构成.又因为的第行是,且不全为零,所以等价于.不妨设,是的两个线性无关的解,故的通解为,其中为任意常数.
13.确定常数,使向量组可由向量组,,线性表示,但向量组不能由向量组线性表示.
解对矩阵作初等行变换,有
=
,
当时,
,
显然不能由线性表示,因此;
当时,
,
显然均不能由线性表示,因此.
而当且时,秩,此时向量组可由向量组线性表示.又
,
由题设向量组不能由向量组线性表示,必有或,即或.
综上所述,满足题设条件的只能是.
14.已知齐次线性方程组
(Ⅰ)(Ⅱ)
同解,求的值.
解方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程个数,故方程组(Ⅱ)有无穷多解.因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3.
对方程组(Ⅰ)的系数矩阵施以初等行变换
,
从而.此时,方程组(Ⅰ)的系数矩阵可化为
,
故是方程组(Ⅰ)的一个基础解系.
将代入方程组(Ⅱ)可得
或
当时,对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换,有
,
显然此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解.
当时,对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换,有
,
显然此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同.
综上所述,当时,方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解.
15.设有齐次线性方程组
试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
解对方程组的系数矩阵作初等行变换,有
当时,,故方程组有非零解,其同解方程组为
由此得基础解系为
于是方程组的通解为
其中为任意常数.
当时,对矩阵作初等行变换,有
可知时,,故方程组也有非零解,其同解方程组为
由此得基础解系为
,
于是方程组的通解为
,其中为任意常数.
16.设,,,,试讨论当为何值时,
(1)不能由线性表示;
(2)可由惟一地线性表示,并求出表示式;
(3)可由线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.
解设有数使得
.
记.对矩阵施以初等行变换,有
.
(1)当时,有
.
可知. 故方程组无解,不能由线性表示.
(2)当,且时,有
方程组有惟一解:
,.
此时可由惟一地线性表示,其表示式为
.
(3)当时,对矩阵施以初等行变换,有
,
,方程组有无穷多解,其全部解为
,,其中为任意常数.
可由线性表示,但表示式不惟一,其表示式为
.
17.设线性方程组
已知是该方程组的一个解,试求
(1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;
(2)该方程组满足的全部解.
解将代入方程组,得.对方程组的增广矩阵施以初等行变换,得
,
(1) 当时,有
,
,故方程组有无穷多解,且为其一个特解,对应的齐次线性方程组的基础解系为,故方程组的全部解为
(为任意常数).
当时,有
,
,故方程组有无穷多解,且为其一个特解,对应的齐次线性方程组的基础解系为,,故方程组的全部解为
(为任意常数).
(2)当时,由于,即
,
解得,故方程组的解为
.
当时,由于,即,解得
,
故方程组的全部解为
其中为任意常数.
18.已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.
解必要性.设三条直线交于一点,则线性方程组
有惟一解,故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,于是.由于
=,
但根据题设,故
充分性.由,则从必要性的证明可知,,故秩.由于
=,
故秩.于是,秩秩.因此方程组有惟一解,即三直线交于一点.
*19.求方程组
的最小二乘解.
解方程组的系数矩阵和常数项矩阵为
,,
记
,
则方程组的正规方程为
,
解之得
,
因此,方程组的最小二乘解为
*20.当外加电压(单位:
)分别为5,8,10,12时,测得电源中对应的电流(单位:
)分别为4,6,8,9,试根据公式确定电源内阻与电源的端电势.
解根据公式,把测得的数据代入方程,得
该方程组的系数矩阵和常数项矩阵为
,,
记
,
则方程组的正规方程为
,
解之得
,
即
。
B 组
1.设是阶方阵,是阶单位矩阵,证明
(1)若
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- 第五 线性方程组 习题 解答