微积分教案.docx
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微积分教案.docx
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微积分教案
授课时间
2016年3月28日星期一第7-8节
课次
章(节)
第六章第一节
教学目的
1、掌握定积分的概念;2、掌握定积分的几何意义
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
重点难点:
定积分的概念;定积分的几何意义
教学方法:
理论讲授
主要内容:
第一节定积分的概念
一、实际问题举例:
利用“分割—近似—求和—取极限”的思想求解三个实际问题
1、曲边梯形的面积问题
2、变速直线运动的路程
3、收益问题
二、定积分的定义
设函数在上有界.
1、在中任意插入个分点
把区间分成个小区间
每个小区间的长度依次为
;
2、在每个小区间上任取一点,作乘积
;
3、作和式
;
4、记,作极限
如果对的任意分法,对在小区间上的任意取法,极限总趋近于同一个定数,那么我们就称在上可积,称这个极限值为在区间上的定积分,记作
其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,叫做积分区间。
定理1设在上连续,则在上可积。
定理2设在上有界,且只有有限个间断点,则在上可积。
定积分的几何意义:
当时,定积分表示由,以及围成的图像的面积。
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
授课时间
2016年3月28日星期一第7-8节
课次
章(节)
第六章第二节
教学目的
掌握定积分的性质
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
重点难点:
定积分的性质
教学方法:
理论讲授
主要内容:
第二节定积分的性质
性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差),即
性质2被积函数的常数因子可以提到积分号的外,即
性质3(积分区间的可分性)设,则
性质4如果在区间上,则
性质5如果在区间上,则
,
推论1如果在区间上,,则
推论2
,
性质6设分别是函数在区间上的最大值和最小值,则
,
性质7(定积分中值定理)如果函数在区间上连续,则在积分区间上至少存在一个点,使下式成立
这个公式叫做积分中值公式。
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
授课时间
2016年3月28日星期一第7-8节
课次
章(节)
第六章第三节
教学目的
1、掌握积分上限的函数及其导数的概念
2、掌握微积分的基本公式(牛顿-莱布尼兹公式)
3、能利用基本公式计算简单的定积分
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
重点难点:
积分上限的函数及其导数的概念;牛顿-莱布尼兹公式
教学方法:
理论讲授
主要内容:
第三节微积分的基本公式
一、积分上限的函数及其导数
设函数在上连续,并且设为上的一点,则
,
称为积分上限的函数,这个函数有下面重要性质:
在上可导,并且它的导数是
,
定理2如果在上连续,则函数就是在上的一个原函数。
二、牛顿-莱布尼兹公式
定理3如果函数是连续函数在上的一个原函数,则
此公式称为微积分基本公式。
例1~例6
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
授课时间
2016年3月28日星期一第7-8节
课次
章(节)
第六章第四节
教学目的
熟练掌握定积分的换元积分法
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
重点难点:
定积分的换元积分法
教学方法:
理论讲授
主要内容:
第四节定积分的换元积分法
定理设函数在上连续,函数满足
(1),;
(2)在或上具有连续导数且值域为,则有
此公式成为定积分的换元公式。
与不定积分的换元公式不同的是:
我们只要计算在新的积分变量下,新的被积函数在新的积分区间内的积分值,从而避免了积分后新变量要代回原变量的麻烦。
例1计算
解:
令,则,且当时,,当时,,所以
==
=
例2~~例6
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
授课时间
2016年3月28日星期一第7-8节
课次
章(节)
第六章第五节
教学目的
熟练掌握定积分的分部积分法
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
重点难点:
定积分的分部积分法
教学方法:
理论讲授
主要内容:
第五节定积分的分部积分法
设函数与在上有连续导数,则,即
等式两端取由到的积分,即得
这就是定积分的分部积分公式。
例1计算
解:
=
=
例2计算
解:
令,,,
==
==
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
授课时间
2016年3月28日星期一第7-8节
课次
章(节)
第六章第七节
教学目的
熟练掌握定积分的几何应用
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
重点难点:
定积分的几何应用—平面图形的面积
教学方法:
理论讲授
主要内容:
第七节定积分的几何应用
一、定积分的元素法
二、平面图形的面积
1.由所围成图形的面积。
此即为平面图形的面积计算公式.
2.由所围成图形的面积。
或
例6求由与所围成平面图形的面积。
解:
有解得两条曲线的交点纵坐标为.
=
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
授课时间
2016年3月31日星期四第1-2节
课次
7
章(节)
第八章第一节
教学目的
1、掌握区域及其相关概念
2、掌握多元函数的概念
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
教学重点:
区域及其相关概念.
教学难点:
多元函数的概念.
教学方法:
讲授法
主要内容:
一、区域
1.邻域
设,为某一正数,在中与点的距离小于的点的全体,称为点的邻域,记作,即
.
在几何上,就是平面上以点为中心,以为半径的圆盘(不包括圆周).
中除去点后所剩部分,成为点的去心邻域,记作.
2.内点、边界点和聚点
设集合,点,如果存在,使得,则称是的内点.
若在点的任一邻域内,都既有集合的点,又有余集的点,则称是的边界点,的边界点的全体成为的边界,记作.如果对任意给定的,的去心邻域中总有中的点,则称是的聚点.
3.开集与闭集
设集合,如果中每一点都是的内点,则称是中的开集;如果的余集是中的开集,则称是中的闭集.
4.有界集与无界集;5.区域、闭区域
二、多元函数的概念
定义1设是的一个非空子集,从到实数集的任一映射称为定义在上的一个元(实值)函数,记作:
或
其中称为自变量,称为因变量,称为函数的定义域,称为函数的值域,并且称中的子集
为函数的图形.
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
作业P3021
(1)
(2)
下次课预习:
多元函数的极限与连续性
授课时间
2016年3月31日星期四第1-2节
课次
7
章(节)
第八章第一节
教学目的
1、掌握多元函数的极限
2、掌握多元函数的连续性
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
教学重点:
多元函数的极限.
教学难点:
元函数的连续性.
教学方法:
讲授法
主要内容:
三.多元函数的极限
定义2设二元函数的定义域为,是的聚点,如果存在常数,使得对于任意给定的正数,总存在正数,只要点,就有
则称为函数当趋于时的极限,记作:
我们把二元函数的极限叫做二重极限.
例1——例3
四.多元函数的连续性
定义3设二元函数的定义域为,是的聚点,且,如果
则称在点处连续.如果在的每一点处都连续,则称函数在上连续,或称是上的连续函数.
如果在点不连续,则称为函数的间断点.
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
作业P3021
(1)
(2)
下次课预习:
偏导数
授课时间
2016年3月31日星期四第1-2节
课次
7
章(节)
第八章第二节
教学目的
1、掌握偏导数的定义及其计算方法
2、掌握偏导数的几何意义
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
教学重点:
偏导数的定义及其计算方法;偏导数的几何意义.
教学难点:
偏导数的定义及其计算方法.
教学方法:
讲授法
主要内容:
一.偏导数的定义及其计算方法
定义设函数的在点的某邻域内有定义,当固定在,而在处取得增量时,函数相应地取得增量,如果
存在,则称此极限为函数在点对的偏导数,记作
,,,
类似地,如果
存在,则称此极限为函数在点对的偏导数,记作
,,,
当函数的在点同时存在对与对的偏导数时,简称在点可偏导.
例1求函数在点处的偏导数.
解:
将视为常数,对求导得
将视为常数,对求导得
所以
,.
例2——例3见P304
二.偏导数的几何意义
表示曲线在点处的切线对轴的斜率;同样表示曲线在点处的切线对轴的斜率.
例4设,求的偏导数并讨论在的连续性.
解:
当时,
,
.
当时,
,
由例2可知,不存在,故在处不连续.
此例说明,函数在一点偏导数存在时不一定连续.
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
作业P3111
(1)
(2)(3)(4)
下次课预习:
高阶偏导数和全微分
授课时间
2016年3月31日星期四第1-2节
课次
7
章(节)
第八章第二节、第三节
教学目的
1、掌握高阶偏导数的概念
2、熟练掌握全微分的概念,并会计算多元函数的全微分
教学设计包括主要内容、重点难点、教学方法、教学手段及互动环节等
教学重点:
1.高阶偏导数的概念;2.全微分的概念.
教学难点:
1.高阶偏导数的计算;2.全微分的概念与计算.
教学方法:
讲授法
主要内容:
三.高阶偏导数
设函数在平面区域内处处存在偏导数与,如果这两个偏导函数仍可求偏导,则称它们的偏导数为函数的二阶偏导数,按照次序的不同,我们有下列四种不同的二阶偏导数.
函数关于的二阶偏导数,记作,,等.由下式定义:
类似地,可以定义其他三种形式的二阶偏导数,其记号与定义分别为;
;;.
例5.求函数的四个二阶偏导数及三阶偏导数.
解:
因为
,,
所以
,,,,.
定理如果函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续,那么在该区域内
.
第三节全微分及其应用
一、全微分
定义设函数在点的某邻域内有定义.如果函数在点的全增量
可以表示为
其中不依赖于,而仅与有关,,则称函数在点可微分,而称为函数在点的全微分,记作,即
习惯上,自变量的增量与常写成与,并分别为称自变量的微分.于是,函数的全微分也可写为
当函数在区域内各点处都可微时,那么称在区域内可微分.
下面给出函数在点可微分的条件.
定理(必要条件)若函数在点可微分,则
(1)在点处连续;
(2)在点处可偏导,且有,即在点的全微分为
由此可知偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.
若三元函数可微分,则有
.
例1求函数的全微分.
解:
因为
,,
所以
.
例2求函数在点处的全微分.
解:
因为
,,
所以
.
二、全微分在近似计算中的应用
当二元函数在点的两个偏导数,连续,并且,都较小时,就有近似等式
.
上式也可以写成
.
例4计算的近似值.
解:
设函数
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