第三章 31 313 第二课时 函数奇偶性的应用Word格式.docx
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f(-4)D.f(4)<
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在(0,+∞)上是增函数,0<3<π<
4,
∴f(3)<
f(π)<
f(4),即f(3)<
f(-4).
答案 C
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<
0时,f(x)=x-x2,则当x>
0时,f(x)=________
解析 设x>
0,则-x<
0,
∴f(-x)=-x-(-x)2=-x-x2.
又f(-x)=-f(x),故f(x)=x+x2.
答案 x+x2
[微思考]
1.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于y轴对称,则f(x),g(x)是偶函数吗?
提示 不是偶函数,因为只有自身的图像关于y轴对称的函数才是偶函数.
2.函数y=
的图像有对称中心吗?
若有,指出对称中心.
提示 y=
=1+
,对称中心为(1,1).
题型一 利用奇偶性求函数解析式
【例1】
(1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<
0时,f(x)=x(x-1),则当x>
0时,f(x)=________.
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>
0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=________.
解析
(1)设x>
0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因为函数f(x)为R上的偶函数,故当x>
0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),即x>
0时,f(x)=x(x+1).
(2)设x<
0,则-x>
0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是R上的奇函数,故f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1,
即当x<
0时,f(x)=2x2+3x-1.
因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.
综上,f(x)的解析式为f(x)=
答案
(1)x(x+1)
(2)
规律方法 利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应设在哪个区间上.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
提醒:
若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
【训练1】
(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<
0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.
解
(1)设x>
∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.
又f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2-x.
又∵函数定义域为R,∴f(0)=0,
综上可知f(x)=
∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,
又f(x)在R上为偶函数,∴当x<
0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.
题型二 利用奇偶性研究函数的性质
【例2】 研究函数f(x)=x2-2|x|+1的单调性,并求出f(x)的最值.
解 f(x)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数,且f(x)=
当x≥0时,f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质易得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=f
(1)=0,f(x)max不存在.
规律方法 在研究奇偶函数的性质,可先研究y轴一侧函数的性质,然后根据奇偶性推断y轴另一侧函数的性质.
【训练2】 研究函数f(x)=x+
的单调性,并写出函数的值域.
解 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-
=-
=-f(x),f(x)为奇函数.
当x∈(0,+∞)时,由均值不等式可知f(x)=x+
≥
2
=2,当且仅当x=1时等号成立,即f(x)∈[2,+∞),
同理可知当x∈(-∞,0)时,f(x)∈(-∞,-2].
下面证明当x∈(0,1]时,f(x)单调递减.
任取x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
则
=
=1-
.
∵x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
∴0<x1x2<1,∴
>1,1-
<
0,即
∴f(x)在(0,1]上单调递减.
类似地,可以证明f(x)在[1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为奇函数,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
综上,f(x)在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增,在[-1,0),(0,1]上单调递减,f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
题型三 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
【例3-1】 若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f
f(-1)<
f
(2)B.f
(2)<
f
f(-1)
C.f
(2)<
D.f(-1)<
f
(2)
解析 ∵对任意实数x总有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,∴f
(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,-2<
-
-1.
∴f
(2)<
f(-1),故选B.
答案 B
规律方法 比较大小的方法:
①自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
②自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
方向2 利用奇偶性、单调性解不等式
自变量需在定义域内,若f(x)为偶函数,可利用f(x)=f(|x|),避免讨论
【例3-2】
(1)设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)<
f(m),求实数m的取值范围;
(2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)<
g(m)成立,求m的取值范围.
解
(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)<
f(m)等价于
解得-2≤m<
,即m的取值范围为
(2)∵g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
∴g(1-m)≤g(m)⇔g(|1-m|)<
g(|m|)⇔
⇒
⇒-1≤m<
即m的取值范围为
规律方法 利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>
f(x2)或f(x1)<
f(x2)的形式,再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,列出不等式(组),同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.
方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
【例3-3】
(1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.
(2)已知函数f(x)=
为奇函数,则a+b=________.
解析
(1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4),
整理得,2a=8,∴a=4.
(2)由题意知
所以
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,故a+b=0.
答案
(1)4
(2)0
规律方法 利用函数奇偶性求参数值的方法
(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义,构造函数,从而使问题得到快速解决.
(2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项,则函数为奇函数;
若解析式中仅含有x的偶次项,则函数为偶函数,常利用此结论构造函数.
(3)利用奇偶性求参数值时,应根据x∈R等式恒成立的特征求参数.
【训练3】
(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f
(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.[0,4]D.[1,3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图像如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<
0的解集是________.
解析
(1)∵f(x)为奇函数,f
(1)=-1,∴f(-1)=1.
∵-1≤f(x-2)≤1,
∴f
(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数,
补全f(x),g(x)的图像(图略),由图像可知:
当-4<
x<
-2时,f(x)>
0,g(x)<
0,此时h(x)<
0;
当0<
2时,f(x)<
0,g(x)>
∴h(x)<
0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
故答案为(-4,-2)∪(0,2).
答案
(1)D
(2)(-4,-2)∪(0,2)
题型四 证明函数图像的对称性
【例4】 求证:
二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.
证明 任取x∈R,
∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,
f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,
∴f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)的图像关于x=-1对称.
规律方法
(1)要证明函数f(x)的图像关于x=h对称,只需证明对定义域内的任意x,满足f(h-x)=f(h+x).
(2)要证明函数f(x)的图像关于点(a,b)对称,只需证明对定义域内的任意x,满足f(a+x)+f(a-x)=2b.
【训练4】 证明函数f(x)=
的图像关于点(-1,1)对称.
证明 函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∵f(-1+x)+f(-1-x)=
+
=2,
即f(-1+x)+f(-1-x)=2×
1,
∴f(x)的图像关于点(-1,1)对称.
一、素养落地
1.通过本节课的学习,提升直观想象和逻辑推理素养.
2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0;
如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
4.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程,利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心问题是转化.
5.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.
二、素养训练
1.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<
0时,f(x)的解析式是( )
A.f(x)=-x(x+2)B.f(x)=x(x-2)
C.f(x)=-x(x-2)D.f(x)=x(x+2)
解析 设x<
0,所以f(-x)=x2+2x,
又f(x)为R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2),故选A.
答案 A
2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析 f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
3.设函数y=f(x)是偶函数,若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f
(1)+a,则a=________.
解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-1)=f
(1),故由题意知a=-5.
答案 -5
4.若f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为________.
解析 根据题意画出f(x)的大致图像:
由图像可知-2<x<0或0<x<2时,xf(x)<0.
答案 (-2,0)∪(0,2)
5.证明函数f(x)=
的图像关于(-1,0)对称.
证明 要证f(x)的图像关于(-1,0)对称,只需证明f(x)对任意的x∈(-∞,
-1)∪(-1,+∞),f(-1+x)=-f(-1-x).
∵f(-1+x)=
,
f(-1-x)=
∴f(-1+x)=-f(-1-x),
故y=
基础达标
一、选择题
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f
(2)的值是( )
A.0B.1
C.2D.4
解析 由题意得f(0+2)=f
(2)=f(0)=0.
2.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是( )
A.增函数B.减函数
C.有增有减D.增减性不确定
解析 由f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,画出函数f(x)=-x2+3的图像(略)知,在区间(2,5)上为减函数.
3.若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(-
),b=f
,c=f
的大小关系是( )
A.b<a<cB.b<c<a
C.a<c<bD.c<a<b
解析 由f(x)为偶函数,得a=f(-
)=f(
).
又∵
<
,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(
)<f
<f
,即a<c<b.
4.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则f
(2)等于( )
A.-26B.-18
C.-10D.10
解析 设g(x)=x5+ax3+bx,函数定义域为R.
∵g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-x5-ax3-bx=-g(x),
∴g(x)为奇函数.
∵f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,
∴g
(2)=-g(-2)=-18,
∴f
(2)=g
(2)-8=-18-8=-26.
5.奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有( )
A.最大值-
B.最大值
C.最小值-
D.最小值
解析 法一 当x<
0时,f(x)=x2+x=
所以f(x)有最小值-
因为f(x)是奇函数,
所以当x>
0时,f(x)有最大值
法二 当x>
0时,-x<
0,所以f(-x)=-x(1-x).
又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-
.故选B.
二、填空题
6.如果函数F(x)=
是奇函数,则f(x)=________.
0,∴-x>
∴F(-x)=2(-x)-3=-2x-3.
又∵F(x)为奇函数,
∴F(x)=-F(-x)=2x+3,即f(x)=2x+3.
答案 2x+3
7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且f
(2)=0,则使得f(x)<
0的x的取值范围是________.
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为f
(2)=0,所以f(x)<
0⇔f(|x|)<
0=f
(2),即|x|>
2,所以x>
2或x<
-2.
答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)
8.若函数f(x)=x2-2ax+3图像的对称轴为x=1,则当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为________.
解析 由对称轴为x=1得a=1.∴f(x)=x2-2x+3,
∴f(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
∴f(x)min=f
(1)=2,f(x)max=f(-1)=6,
∴f(x)∈[2,6].
答案 [2,6]
三、解答题
9.已知函数f(x)=x+
(a>
0).
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明.
(2)若a=4,证明:
函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.
解
(1)函数f(x)为奇函数,证明如下:
函数f(x)=x+
0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且关于原点对称.
又因为f(-x)=-x+
=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)a=4时f(x)=x+
设x1,x2是区间(2,+∞)上的任意两个实数且x1≠x2.
因为x1,x2∈(2,+∞),所以x1x2>
所以x1x2-4>
0,所以
>
所以函数f(x)在(2,+∞)上为增函数.
10.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.
(1)求b值;
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>
0,求实数m的取值范围.
解
(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以f(0)=0,解得b=0(经检验符合题意).
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,又f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数.
因为f(m)+f(m-1)>
所以f(m-1)>
-f(m)=f(-m),
所以m-1>
-m,①
又需要不等式f(m)+f(m-1)>
0在函数f(x)定义域内有意义,
②
解①②得
m≤2,
所以m的取值范围为
能力提升
11.已知函数f(x)=x3+bx2+ax是定义在[-3,a+1]上的奇函数,求:
(1)实数a,b的值;
(2)求f(x)的值域.
解
(1)因为函数f(x)=x3+bx2+ax是定义在[-3,a+1]上的奇函数,所以-3+a+1=0,得a=2,
又f(-x)=-f(x)对任意x∈[-3,3]恒成立,
即(-x)3+b(-x)2+2(-x)=-x3-bx2-2x,
得2bx2=0对任意x∈[-3,3]恒成立,所以b=0.
综上所述,a=2,b=0.
(2)由
(1)知f(x)=x3+2x,x∈[-3,3],
易得函数为增函数,所以f(x)min=f(-3)=-33,
f(x)max=f(3)=-f(-3)=33,
所以f(x)的值域为[-33,33].
12.已知函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式:
f(t-1)+f(t)<
0.
解
(1)由题意,得
∴
故f(x)=
(经检验符合题意).
(2)任取x1,x2∈(-1,1)且x1≠x2,
∵x1,x2∈(-1,1),∴-1<
x1x2<
∴1-x1x2>
0,又1+x
0,1+x
0,∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)由f(x)为奇函数及f(t-1)+f(t)<
0得f(t-1)<
-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
解得0<
t<
∴不等式的解集为
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