高中数学直线的倾斜角和斜率教学设计学情分析教材分析课后反思Word下载.docx
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预设的答案:
直线都经过点P,但“倾斜程度”不同。
辅助问题1:
怎么描述直线的倾斜程度呢?
教师引导形成统一的认识:
以x轴或y轴为基准都可以,习惯上以x轴为基准。
辅助问题2:
在平面直角坐标系中,如何确定一条直线的位置?
(1)两点确定一条直线;
(2)一点及直线相对于x轴的“倾斜程度”。
辅助问题3:
两直线相交可以形成4个角,你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢?
教师引导形成统一的认识:
用图中的∠1。
这个角就叫做直线的倾斜角。
从学生的已有知识经验出发,引导学生逐步接受新的研究方法。
问题2:
在平面直角坐标系中,过一点的任意直线相对x轴的位置有哪些情形?
请画出这些直线的倾斜角,并用你自己的语言说说倾斜角的三要素。
[设计意图]:
在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。
通过给各种类型的直线标注倾斜角,使学生形成对倾斜角全面的认识,在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。
(学生活动:
标出各条直线的倾斜角,并用自己的语言描述倾斜角的特征。
)
预设的结果:
(1)标出各条直线的倾斜角(略);
(2)形成倾斜角的定义:
倾斜角的定义:
在直角坐标系下,以x轴为基准,当直线
与
轴相交时,
轴正向与直线
向上方向之间所成的角
,叫做直线
的倾斜角。
规定:
当直线
轴平行或重合时,它的倾斜角为0
。
问题3:
根据定义,倾斜角α的取值范围是什么呢?
答案:
180
(三)形成斜率的定义
问题4:
生活中,我们都有过爬山、爬坡的体验,你还知道表示倾斜程度的量吗?
请举例。
利用学生的已有知识经验将几何问题代数化。
预设的回答:
可以用坡角与坡度来表示。
坡度的定义是:
教师引导:
我们也可以用直线的倾斜角的正切来表示直线的倾斜程度即直线的斜率。
斜率的定义:
倾斜角不是90
的直线,其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。
即
问题5:
(1)完成下面的表格1,并分析直线的倾斜角不同时,直线的斜率取值是否也不同,在此基础上总结斜率的意义。
表1
30o
45o
60o
120o
135o
150o
k=tan
(2)根据三角函数的相关知识,思考当倾斜角
在[0
,180
)内变化时,斜率k如何变化?
并填写表2。
表2
的取值范围
=0o
0o<
90o
=90o
90o<
180o
K的取值范围
k关于
的单调性
体验斜率与倾斜程度的关系,并用函数的观点分析倾斜角与斜率的变化关系。
活动方式:
学生独立完成,并交流认识斜率的意义,及倾斜角与斜率的关系。
预设的结论:
倾斜角α是90o的直线没有斜率;
倾斜角α不是90o的直线都有斜率;
倾斜角不同,直线的斜率也不同。
斜率大于0的直线的倾斜角为锐角,并且斜率越大倾斜角越大;
斜率小于0的直线的倾斜角为钝角,并且斜率越小倾斜角越大。
因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。
(四)探究斜率公式,初步体会坐标法
问题6:
已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),用点P1、P2的坐标表示直线的斜率k?
将斜率坐标化,让学生初步体会坐标法思想。
学生活动:
学生在刚才所画的直线上标记上述条件,由于不同学生的标记方法不同,将他们标记的情况收集整理,得到所有的情况后再分类讨论,分组合作,分别求解。
通过这样的活动使得学生对要解决的问题有全面的认识,同时认识到分类讨论和合作学习的必要性。
思路分析:
根据斜率的定义解决问题,因此首先要构造直角三角形。
解决过程:
(略)。
交流完善:
辅助问题:
1.各种一般情形得出的结论一致吗?
与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗?
为什么?
2.当直线垂直于x轴或y轴时,上述结论还适用吗?
形成结论:
斜率公式:
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1
x2)的直线的斜率公式是:
(五)初步应用,巩固双基
例1.如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
巩固本课时所学的基本知识。
解:
例2.在平面直角坐标系中,画出经过点(-1,2)且斜率分别为1,-1,和2的直线。
通过逆向思维,进一步加深对本课时所学的基本知识的理解,渗透坐标法的逆用和数形结合思想。
(六)反思小结,提高认识
问题7.请同学们谈谈你在这节课中学到哪些知识、思想方法和解决问题的经验?
1.明确了确定直线位置的几何要素。
(两种)
2.理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率),知道了求斜率的两种方法(定义法、坐标法)。
3.经历了用代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与全面认识基础之上的分类讨论的数学思想。
(七)目标检测设计
1.P86练习
设计意图:
巩固本课时的基本知识。
2.P89习题3.1A组3,4,5
培养学生运用所学知识解决问题的能力。
结束语:
本节课是解析几何的第一课,“坐标法”是本课内容蕴含的核心思想方法,也是解析几何研究问题的核心思想方法,通过本节课的研究可见,直角坐标系使几何研究又一次腾飞,几何从此跨入了一个新的时代,让我们给直线插上方程的”翅膀”吧!
学情分析
平面几何中,“两点确定一条直线”是没有“参照系”的,如何使学生在这一知识的基础上,顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线,是比较困难的。
事实上,已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向,因此已知“两个点可以确定直线的方向”,这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。
在教学中应注意引导学生认识到这种联系。
函数是以图助数,利用图形使代数问题直观化,解析几何则是以数助形,用坐标法研究几何问题。
它们都体现了数形结合思想,但角度不同。
学生知道一次函数的图象是一条直线,这里研究的是直线的方程,学生容易将二者混淆,误认为方程就是一次函数。
因此在教学时要注意澄清二者的不同。
基于上述分析,确定本课时的教学难点为:
直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成;
用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。
效果分析
本课内容设计了三个探究和4个随堂练习及三道例题,学生都超额完成了任务,且发挥了自主创新的能力。
从课标出发,学生学会了直线的倾斜角及斜率,掌握了倾斜角和斜率的关系,掌握了求斜率的的两种方法,本节课运算量和知识含量不大,学生的反应能力和灵活力都比较不错,学生回答问题比较流畅,板演也比较规范,值得表扬。
课堂教学中师生情感交流融洽,合作和谐,配合默契,教与学的气氛达到最优化,课堂教学效果达到预期目标。
教师教得轻松,学生学得愉快。
《直线的倾斜角与斜率》反思
自我感觉这节课的亮点有以下几个方面:
⒈在新知识的引入及过渡语的设计方面:
⑴.由熟知的两点确定一条直线,去掉一个点后,提出问题:
“过一点能确定一条直线吗?
”通过与学生共同画图,借助于PPT的展示,直观的看出,过一点可以作出无数条直线,一点不能确定一条直线。
那么,紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪?
什么地方不同?
”,学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同,从而引入描述直线倾斜程度的概念——直线的倾斜角;
⑵.由初中学过的坡角、坡度的概念以及坡度与坡角之间的关系引入直线斜率的概念;
⑶.引导学生思考由两点既然可以确定一条直线,直线定了,这条直线的倾斜角就定了,如果直线斜率存在,那么直线的斜率就定了,那么是否
能通过直线上任意两点计算出这条直线的斜率呢?
并设置两道练习,已知给定直线上两点坐标求直线斜率,在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系而引入直线斜率的计算公式。
⒉在细节处理方面:
注重新知识与就知识的联系,注重概念的透彻理解,注重细节的强调。
如,对倾斜角为900的直线的斜率不存在性的本质理解,它不是规定的,而是由于900的正切值是不存的;
在斜率存在的情况下,斜率的正负可以推导出倾斜角的取值范围,概念的易错点,都做了细致的分析,并在课件上通过展示给了更直观的讲解;
在习题的设置方面,符合学生的认知规律,由特殊到一般,由浅入深。
⒊注重数形结合的思想:
数形结合,使概念更直观、易懂,能够更好的理解直线的倾斜角的概念,斜率的概念,以及倾斜角为?
90的直线的斜率不存在等,数形结合的思想贯穿整个教学过程。
⒋注重归纳小结,注重和学生互动,关注学生学习状态,
⒌善于运用多媒体辅助教学,普通话标准,教态自然大方。
尽管准备的很充分,但并没有达到很好的效果,主要存在以下几个方面的不足,需要我认真反思,并在今后不断努力改进:
⒈缺乏经验。
第一次上公开课,上课之前也没有在任何班级中进行试讲,在加上上课过于紧张,以至于对知识点的重复次数过多,对实际教学环节,及实际教学时间的安排准备不到位。
在“斜率存在性的探讨和在斜率存在的情况下,斜率的正负可以推导出倾斜角的取值范围的探讨”过程中时间过长,以至于不仅后面讲解直线的斜率公式的推导和例题讲解的时间严重不足,难点没有突出、突破。
以后一定要加强锻炼,多加积累。
⒉在重点知识的强调上的太,重复次数太多,给学生的思考和发挥的空间不足。
如对倾斜角为90的直线的斜率不存在性的探讨和在斜率存在的情况下,斜率的正负可以推导出倾斜角的取值范围的探讨上重复次数太多。
⒊对学生的个别关注度还不够,还需加强。
如上课还是有学生说话,打瞌睡,关注到
的点名提问,以致暗示了,但还有个别没关注到的,所以还需加强。
⒋时间安排不当。
在“斜率存在性的探讨和在斜率存在的情况下,斜率的正负可以推导出倾斜角的取值范围的探讨”过程中时间过长,以至于后面讲解直线的斜率公式的推导和例题讲解的时间严重不足.
⒌教学语言还需要不断锤炼。
数学这一门严谨的学科决定了老师的语言必须精确到位,不能含糊其辞,因为它对学生的逻辑思维起着潜移默化的影响。
由于紧张,课堂中出现了说反了的现象。
这些细节方面都需要严格把关,平时要反复琢磨。
因为说到底,教师是要靠语言艺术去感染学生的。
⒍板书需要提高。
教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来,摆在学生面前的板书也是重要的一环。
优秀的教师,粉笔字潇洒大方,作图时一气呵成,让学生赏心悦目,叹为观止。
这堂课提供给了我非常好的打磨和锻炼自我的平台,我会以此为契机,在平日的教学实践中不断思考和创新,吸取教训,多积累经验,日日反思,争取早日脱胎换骨,成为一名成熟并且优秀的数学教师!
教材分析
“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课,担负着开启全章的重任,因此在本课时的教学中不但要落实显性知识,更重要的是要揭示隐性知识:
研究解析几何的基本方法——坐标法。
本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度,而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。
二者联系的桥梁是正切函数值,进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。
倾斜角是一个桥梁,利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。
而在建立直线方程,研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。
因此,坐标法和斜率是本课时的核心概念。
据此确定本课时的教学重点是:
一个值得我们思考的问题是新教材为什么改变了旧教材的授课顺序,换以本节课作为解析几何的入门课?
我个人认为,教材是为了更突出解析几何的本质――几何问题代数化。
而最简单的几何图形就是直线。
教材正是想通过让学生首先经历把直线的几何特征代数化这一过程,初步体会用解析法研究几何问题的思想。
因此在本课时的教学中不但要落实显性知识――倾斜角与斜率,更要落实隐性知识――几何问题代数化。
使学生经历几何问题代数化的过程,并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法,体会坐标法。
评测练习
1、下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗?
2、判断正误
(1)因为所有直线都有倾斜角,故所有直线都有斜率。
(2)平行于y轴的直线斜率不存在,平行于y轴的直线的倾斜角也不存在。
(3)平行于x轴的直线的倾斜角是0或π。
(4)直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tanα。
(5)直线斜率为tanβ,则直线的倾斜角为β。
课程标准
(1)直线与方程
①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线的斜率计算公式。
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