参考三角形中线等分面积的应用.docx
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参考三角形中线等分面积的应用
第5讲
例说三角形中线等分面积的应用
如图1,线段AD是△ABC的中线,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则S△ABD=BD·AE,S△ADC=DC·AE,因为BD=DC,所以S△ABD=S△ADC。
因此,三角形的中线把△ABC分成两个面积相等的三角形.利用这一性质,可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积
例1、如图2,长方形ABCD的长为a,宽为b,E、F分别是BC和CD的中点,DE、BF交于点G,求四边形ABGD的面积.
分析:
因为E、F分别是BC和CD的中点,则连接CG后,可知GF、GE分别是△DGC、△BGC的中线,而由S△BCF=S△DCE=,可得S△BEG=S△DFG,所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等,问题得解。
解:
连接CG,由E、F分别是BC和CD的中点,所以S△BCF=S△DCE=,从而得S△BEG=S△DFG,可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等且等于×=,因此S四边形ABGD=ab-4×=。
例2、在如图3至图5中,△ABC的面积为a.
(1)如图2,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连结DA.若△ACD的面积为S1,则S1=________(用含a的代数式表示);
(2)如图3,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连结DE.若△DEC的面积为S2,则S2=__________(用含a的代数式表示),并写出理由;
(3)在图4的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连结FD,FE,得到△DEF(如图6).若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示).
发现:
像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连结所得端点,得到△DEF(如图
6),此时,我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍.
应用:
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,把△ABC向外进行两次扩展,第一次由△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩展成△MGH(如图5).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少m2?
分析:
从第1个图可以发现AC就是△ABD的中线,第2个图通过连接DA,可得到△ECD的中线DA,后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线,从而求出扩展部分的面积,发现规律。
解:
(1)由CD=BC,可知AC就是△ABD的中线,中线AC将△ABD的分成两个三角形△ABC、△ACD,这两个三角形等底等高,所以它们的面积相等;所以S1=a;
(2)若连接DA,则DA就是△ECD的中线,中线AD将△ECD分成△CDA、△EDA,它们的面积相等;所以S2=2a;
(3)根据以上分析,可知△BFD、△CED、△EAF面积都为2a;所以S2=6a;
发现:
由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是S△DEF=S3+S△ABC=6a+a=7a;即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍。
应用:
由以上分析可知
扩展一次后S总1=7a,
扩展二次后S总2=S总1=72a,
扩展三次后S总3=S总2=73a,
拓展区域的面积:
(72-1)×10=480(m2)
说明:
本题是从一个简单的图形入手,逐步向复杂的图形演变,引导我们逐步进行探索,探索出有关复杂图形的相关结论,这是我们研究数学问题的一种思想方法:
从特殊到一般的思想。
所以我们在平时的学习中,要注意领会数学思想和方法,使自己的思维不断升华。
二、巧分三角形
例3、如图7,已知△ABC,请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:
2:
3的三个三角形.
分析:
可以把三角形先两等份,再把其中一个再两等份,所以联想到作三角形的中线。
解:
方法1:
取BC的中点E,然后在BE上取点D,使BDBE,则AD、AE把△ABC分成面积之比为1:
2:
3的三个三角形(如图8).
方法2:
在BC边上截取DCBC,连结AD,然后取AB的中点P,连结BP、CP,则△PAC、△PAB、△PBC的面积之比为1:
2:
3(如图9).
想一想:
方法2中,这三个三角形的面积之比为什么是1:
2:
3?
二、巧算式子的值
例2在数学活动中,小明为了求的值(结果用n表示),设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求的值.
分析:
由数据的特征:
后面的数为前面一个数的,联想到将三角形的面积不断的平分,所以可以构造如图10的图形进行求解。
解:
如图10,设大三角形的面积为1,然后不断的按顺序作出各个三角形的中线,根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知,图中三角形除了最后一个小三角形,其余部分的面积为,
因此.
说明:
此题运用“数形结合思想”,借助三角形的面积来求数的运算,简捷、巧妙.
三角形内角和定理及外角性质的应用
三角形三个内角的和等于180°,这是三角形内角和定理.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角,这是三角形外角性质.
三角形内角和定理及外角性质应用广泛,下面以例说明.
一、求三角形的内角
例2(08太原)在△ABC中,∠B=40°,∠C=80°,则∠A的度数为()
A.30°B.40°C.50°D.60°
解:
由三角形内角和定理,得∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°,答案选D.
例3(08东营)如图1,已知∠1=100°,∠2=140°,那么∠3=__.
解:
∠4=180°-∠1=180°-100°=80°,
∠5=180°-∠2=180°-140°=40°,
由三角形内角和定理,得
∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°,答案选D.图1
说明:
在求出∠4=80°后,也可根据三角形外角性质,得∠2=∠4+∠3,所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°.
二、判断三角形的形状
例1(08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:
3:
7,这个三角形一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
解:
设三个内角分别为2k,3k,5k,由三角形内角和定理,得
2k+3k+5k=180°.解得k=15°,所以2k=30°,3k=45°,7k=105°,所以这个三角形是钝角三角形,答案选C.
三、求角平分线的夹角
例4(08沈阳)已知△ABC中,∠A=60°,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC的度数为__.
解:
如图2,由BO平分∠ABC,得∠1=∠ABC;
由CO平分∠ACB,得∠2=∠ACB.
所以∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)图2
=(180°-60°)=60°.
四、求三角形的外角
例5(08贵州)如图5,直线l1∥l2,AB⊥l1,垂足为D,BC与直线l2相交于点C,若∠1=30°,则∠2=___.
解:
如图6,延长AB交l2于点E.
因为l1∥l2,由两直线平行,内错角相等,得∠BEC=∠3.
由AB⊥l1,得∠3=90°.所以∠BEC=90°.
由三角形外角性质,得∠2=∠BEC+∠1=90°+30°=120°.
图5图6
说明:
本题也可延长CB交l1于点F,构造△FBD进行求解,完成请同学们完成.
五、比较角的大小
例5(08凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是()
ABCD
解:
A选项中,利用两直线平行,内错角相等及对顶角相等,可得∠1=∠2;B选项,根据三角形的外角性质,可得∠2大于∠1.C选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定;D选项中,由对顶角相等,可得∠1=∠2.答案选B.
全等三角形水平测试
(1)
湖北 薛建辉
一、试试你的身手
1.如图所示,沿直线AC对折,△ABC与△ADC重合,则△ABC≌__________,AB的对应边是________,AC的对应边是____________,∠BCA的对应角是__________.
2.如图所示,△ACB≌△DEF,其中A与D,C与E是对应顶点,则CB的对应边是________,∠ABC的对应角是__________.
3.△ABC和中,若,,则需要补充条件________可得到
4.如图所示,AB,CD相交于O,且AO=OB,观察图形,图中已具备的另一相等的条件是________,联想到SAS,只需补充条件________,则有△AOC≌△________.
5.如图所示,有一块三角形镜子,小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块,现需配成同样大小的一块.为了方便起见,需带上________块,其理由是__________.
6.如图所示,若只有AD⊥BD于点D这个条件,要证△ABD≌△ACD,则需补充的条件是________或__________或__________.
7.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE,则∠BAE的度数为__________.
二、相信你的选择
1.下列说法:
①全等三角形的形状相同;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长.面积分别相等,其中正确的说法为( )
A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④
2.下列结论错误的是( )
A.全等三角形对应角所对的边是对应边
B.全等三角形两条对应边所夹的角是对应角
C.全等三角形是一个特殊三角形
D.如果两个三角形都与另一个三角形全等,那么这两个三角形也全等
3.下面各条件中,能使△ABC≌△DEF的条件的是( )
A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B.AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
0.AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
4.在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,若证△ABC≌△DEF,还要补充一个条件,错误的补充方法是( )
A.∠B=∠E B.∠C=∠F C.BC=EF D.AC=DF
5.下列说法正确的是( )
A.两边一角对应相等的两个三角形全等 B.两角一边对应相等的两个三角形等
C.两个等边三角形一定全等 D.两个等腰直角三角形一定全等
6.如图所示,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E.F,若BE=CF,则图中全等三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
7.如图,AB=DB,BC=BE,欲证△ABC≌△DBC,则需补充的条件是( )
A.∠A=∠D B.∠E=∠C C.∠A=∠C D.∠1=∠2
三、挑战你的技能
1.如图,若∠DAB=∠CBA,请你再添加一对相等的条件,使△ABD≌△CAB,并说明三角形全等的理由.
2.
(1)完成下面的证明:
如图,AB=AC,E,F分别是AC,AB的中点,那么△ABE≌△ACF.
证明:
分别是,的中点,
,( )
,
在和中
.
(2)根据
(1)的证明,若连结BC.请证明:
△EBC≌△FCB.
3.如图,已知:
BE=DF,AE=CF,AE∥CF,求证:
AD∥BC.
4.如图,已知:
CE⊥AD于E,BF⊥AD于F,
(1)你能说明△BDF和△CDE全等吗?
(2)若能,请你说明理由,若不能,在不用增加辅助线的情况下,请添加其中一个适当的条件,这个条件是__________,来说明这两个三角形全等,并写出证明过程.
四、拓广探索
飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时,在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘,经分析判断很可能是一座王储陵墓,由于条件限制,无法
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- 参考 三角形 中线 等分 面积 应用