浅谈用放缩法证明不等式.doc
- 文档编号:1703710
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:17
- 大小:560.94KB
浅谈用放缩法证明不等式.doc
《浅谈用放缩法证明不等式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《浅谈用放缩法证明不等式.doc(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
17
淮南师范学院2012届本科毕业论文
目录
引言………………………………………………………………………………………
(2)
1.放缩法的常用技巧……………………………………………………………………(3)
1.1增减放缩法………………………………………………………………………(3)
1.2公式放缩法………………………………………………………………………(5)
1.3利用函数的性质…………………………………………………………………(6)
1.4综合法……………………………………………………………………………(9)
1.5数列不等式的证明………………………………………………………………(11)
2.放缩法要放缩得恰到好处……………………………………………………………(12)
2.1调整放缩量的大小………………………………………………………………(12)
2.2限制放缩的项和次数……………………………………………………………(13)
2.3将不等式的一边分组进行放缩…………………………………………………(14)
总结………………………………………………………………………………………(16)
致谢………………………………………………………………………………………(17)
参考文献…………………………………………………………………………………(18)
浅谈用放缩法证明不等式
学生:
指导老师:
淮南师范学院数学与计算科学系
摘要:
本文介绍了放缩法的基本概念,在此基础上总结出增减放缩法、公式放缩法、利用函数的性质放缩和综合法等用放缩法证明不等式的常用技巧,以及数列不等式证明中放缩法的应用,并进而从三个方面阐述使用放缩法过程中如何使放缩适当的问题.这对证明不等式很有帮助。
关键词:
不等式;放缩法;技巧;适当
ProvingtheInequitybyAmplificationandMinification
Student:
Guideteacher:
HuainanNormalUniversityDepartmentofMathematics
Abstract:
Thispaperintroducesthefundamentalconceptionoftheamplificationandminificationmethod.Andonthebasisofthis,itsumsupsomecommonlyusedskills:
increasingorreducingsometerms,usingimportantinequalityformula,usingfunctionproperties,synthesismethod,andtheamplificationmethodtodemonstratethesequenceinequality.Inaddition,itdescribeshowtomakeitappropriateinprovingtheinequalitybytheamplificationandminificationmethodfromthreeaspects.Theydomuchhelptodemonstratinginequality.
Keywords:
inequality;amplificationandminification;skill;appropriate
引言
在证明不等式的过程中,我们的基本解题思路就是将不等式的一边通过若干次适当的恒等变形或不等变形(放大或缩小),根据等式的传递性①和不等式的传递性②逐步转化出另外一边.
与等式的证明相比较,不等式的证明最大特色就是在变形过程中它有“不等的”变形,即对原式进行了“放大”或“缩小”.而这种对不等式进行不等变形,从而使不等式按同一方向变换,达到证明目的的特有技巧我们称之为放缩法.因其技巧性强,方法灵活多变,同学们一直较难掌握.
想要很好的在不等式证明中运用放缩法,应当注意以下两点:
掌握放缩法的一些常用策略和技巧;放缩法要放缩得恰到好处,才能达到证题的目的.本文着重就这两点举例加以说明.
1放缩法的常用技巧
1.1增减放缩法
1.1.1增加(减去)不等式中的一些正(负)项
在不等式的证明中常常用增加(减去)一些正(负)项,从而使不等式一边的各项之和变大(小),从而达到证明的目的.
例1设都是正数,,求证:
.
证明:
当且仅当时取等号.
1.1.2增大(减小)不等式一边的所有项
将不等式一边的各项都增大或减小,从而达到放缩的目的.
例2[1](02年全国卷理科第21题)设数列满足,且,求证:
证明:
由,得:
,,
于是有:
……,
1.1.3增大(减小)不等式一边的部分项
在不等式的证明中,有时候增大或减小不等式一边的所有项会造成放缩过度,因此,在考虑这些问题时要根据题目的具体情况进行部分项的放缩.
例3求证.
证明:
.
把以上(n-2)个不等式相加,得
故原不等式成立.
1.1.4增大(减小)分子或分母的值
增大或减小不等式一边分数中分子或分母的值,从而达到放缩目的.
例4求证.
证明:
即
1.2公式放缩法
即利用已有的大家熟悉的不等式来进行放缩,这里我们主要利用的是均值不等式均值不等式:
.
以及,下面分别举例说明.
1.2.1均值不等式
例5若求证:
证明:
而
故
即
例6已知:
求证:
.
证明:
又
1.2.2
例7[4]若正数满足求证:
证明:
即原不等式成立.
1.3利用函数的性质
主要指利用函数的单调性和有界性来进行放缩.
1.3.1利用特殊函数的单调性
这里的特殊函数主要指一些已知单调性的函数,如指数函数和对数函数等.
例8求证:
证明:
我们先给出常规解法;
另外,还有更简便的方法.
1.3.2利用特殊函数的有界性
这里的特殊函数主要指一些大家熟知有界性的函数,如等.
例9[5]已知为整数,并且求证:
证明:
(当且仅当时取等号).
1.3.3利用一般函数的性质
利用一般函数的单调性和有界性进行放缩.
例10求证时,
证明:
令
是增函数,其最小值为
故对一切自然数,;
再由,知比较得:
当时,
例11设定义在上的函数,求证:
对任意的,的充要条件是
证明:
利用求导数、均值不等式或判别式法均可求得:
根据
得
即
故对
例12已知是的前项和
求证:
.
证明:
令,则:
令,得.
当时,;当时,;
从而可知在上递减,在上递增,故:
即
1.4综合法
对于比较复杂的不等式证明,有时需要综合以上两种放缩手法进行不止一次的放缩.
例13[7](1985年高考题)
证明:
①
而
②
在①中运用了增减放缩法,②运用了公式放缩法和增减放缩法.
例14数列满足且
(Ⅰ)用数学归纳法证明;
(Ⅱ)已知不等式对成立.
证明:
(Ⅰ)用数学归纳法证明,略;
(Ⅱ)用递推公式及(Ⅰ)的结论有
两边取对数并利用已知不等式得:
上式从1到求和可得:
证明过程中分别运用了增减放缩法和利用特殊函数性质的放缩法.
1.5数列不等式的证明
在数列不等式的证明中,我们大量采用放缩法,在这里我们把它单独提出来说明.而这里的数列主要指“叠加”模型的数列不等式,可以利用放缩法对叠加的数列进行化简,从而达到证明的目的.
这里“叠加”模型指的是形如:
这里的也可以是、或.
例15已知,证明
证明:
;
;
……
;
各式相加,得:
例16若
求证:
证明:
又
当时,
……
将上式相加,得到:
.
在数列不等式的放缩中,放缩的主要目的是使不等式裂项相消,也可以组成等差、等比数列,利用公式求和,或者运用根式有理化后的放缩,探索项相加的递推式,然后逐项相消.
2放缩法要放缩得恰到好处
2.1调整放缩量的大小
放缩量的大小,即放缩的“精确度”,直接影响到是否能达到欲证明的目标.放大多少,缩小多少,把握“度”的火候,要因题适宜.
例17已知,求证:
(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ).
证明:
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,为此需调整放缩幅度,
(Ⅲ)改变放缩方向,故
例18求证(Ⅰ);(Ⅱ)
证明:
(Ⅰ)
左边
(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,将放缩间距调整小些,得到:
则左边
2.2限制放缩的项和次数
若对不等式中的每一项都进行放缩,很可能造成放得过大或缩得太小,若限制放缩的项,保留一些特定项不变,可以通过这样来调整放缩的“度”,逼近欲证明的目标,这与第一部分的1.1.3也是相通的.
例19求证
证明:
这是一个常见问题的改编题,我们先给出一般算法:
由,显然放得过大,要减少放大的项;
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 浅谈 用放缩法 证明 不等式
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)