专题复习二次函数图象与abc的关系训练Word文档格式.docx
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4、(2011•山西)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是( )
A、ac>0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3
C、2a-b=0
D、当x>0时,y随x的增大而减小
5、(2011•泸州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①abc>0,②b2-4ac<0,③a-b+c>0,④4a-2b+c<0,其中正确结论的个数是( )
6、(2011•兰州)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1)b2-4ac>0;
(2)c>1;
(3)2a-b<0;
(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( )
A、2个B、3个C、4个D、1个
7、(2011•昆明)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A、b2-4ac<0B、abc<0C、-b/2a<-1D、a-b+c<0
8、(2011•鸡西)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:
①b2-4ac>0②a>0③b>0④c>0⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的个数是( )A、2个B、3个C、4个D、5个
9、(2011•防城港)已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的象限是( )
A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限
10、(2010•昭通)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0
B、a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0
C、a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0
D、a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0
11、(2010•梧州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断不正确的是( )
A、ac<0B、a-b+c>0
C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5
12、(2010•文山州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a,b,c满足( )
B、a<0,b<0,c<0,b2-4ac>0
C、a<0,b>0,c>0,b2-4ac<0
D、a>0,b<0,c>0,b2-4ac>0
13、(2010•铁岭)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论,其中正确的结论是( )
A、abc>0B、b>a+cC、2a-b=0D、b2-4ac<0
14、(2010•钦州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:
①ac>0;
②a-b+c<0;
③当x<0时,y<0;
④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于-1的实数根.
其中错误的结论有( )
A、②③B、②④C、①③D、①④
15、(2010•黔南州)如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,在下列选项中错误的是( )
A、ac<0
B、x>1时,y随x的增大而增大
C、a+b+c>0
D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3
16、(2010•荆门)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论错误的是( )
A、ab<0B、ac<0
C、当x<2时,函数值随x增大而增大;
当x>2时,函数值随x增大而减小
D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根
17、(2010•福州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A、a>0B、c<0C、b2-4ac<0D、a+b+c>0
18、(2010•鄂州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①a,b异号;
②当x=1和x=3时,函数值相等;
③4a+b=0;
④当y=4时,x的取值只能为0,结论正确的个数有( )个.
19、(2010•百色)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论:
①对称轴为x=2;
②当y≤0时,x<0或x>4;
③函数解析式为y=-x(x-4);
④当x≤0时,y随x的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A、①②③④B、①②③C、①③④D、①③
三、能力练习
1.(2010•广安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:
①abc>0;
②b<a+c;
④a+b>m(am+b)(m≠1的实数).
A、1个B、2个C、3个D、4个
2.如图,抛物线y=ax
+bx+c的对称轴是x=1,下列结论:
①b<0;
②(a+c)
>b
;
③2a+b-c>0;
④3b<2c.其中正确的结论有①③④(填上正确结论的序号).
解:
∵抛物线的开口方向向上,∴a>0,∵对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$=1,得2a+b=0,2a=-b,
∴a、b异号,即b<0,∴①正确;
∵抛物线与轴的交点在y轴负半轴,∴c<0,∴2a+b-c=-c>0,∴③正确;
∵当x=1时,y=a+b+c<0,∵当x=-1时,y=a-b+c>0,∴2a-2b+2c>0,∴-b-2b+2c>0,∴3b<2c,∴④正确;
∵a+b+c<0,a-b+c>>0,∴(a+b+c)(a-b+c)<0,即(a+c)2-b2<0,②错误.正确答案:
①③④.
3.(2011•广西)已知:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:
②2a+b<0;
③a+b<m(am+b)(m≠1的实数);
④(a+c)2<b2;
⑤a>1.其中正确的项是( )
A、①⑤B、①②⑤C、②⑤D、①③④
①∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,
∵对称轴为x=
>0,∴a、b异号,即b<0,又∵c<0,∴abc>0,故本选项正确;
②∵对称轴为x=
>0,a>0,-
<1,∴-b<2a,∴2a+b>0;
故本选项错误;
③当x=1时,y1=a+b+c;
当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;
当m<1,y2<y1,所以不能确定;
④当x=1时,a+b+c=0;
当x=-1时,a-b+c>0;
∴(a+b+c)(a-b+c)=0,即(a+c)2-b2=0,∴(a+c)2=b2故本选项错误
⑤当x=-1时,a-b+c=2;
当x=1时,a+b+c=0,∴a+c=1,∴a=1+(-c)>1,即a>1;
故本选项正确;
综上所述,正确的是①⑤.故选A.
4.(2010•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①b2-4ac>0;
③8a+c>0;
④9a+3b+c<0
其中,正确结论的个数是( )A、1B、2C、3D、4
①根据图示知,二次函数与x轴有两个交点,所以△=b2-4ac>0;
②根据图示知,该函数图象的开口向上,∴a>0;
又对称轴x=-
=1,∴
<0,∴b<0;
又该函数图象交于y轴的负半轴,∴c<0;
∴abc>0;
③∵对称轴x=-
=1,∴b=-2a,可将抛物线的解析式化为:
y=ax2-2ax+c(a≠0);
由函数的图象知:
当x=-2时,y>0;
即4a-(-4a)+c=8a+c>0,故本选项正确;
也可以:
当x=4时,从图像上看y>0,此时16a+4b+c>0,而从对称性看出-
=1,解得b=-2a,代入上式得8a+c>0;
④根据抛物线的对称轴方程可知:
(-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0);
当x=-1时,y<0,所以当x=3时,也有y<0,即9a+3b+c<0;
所以这四个结论都正确.故答案为:
4.
5.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确序号是①②③④
(只填序号).①abc>0,②c=-3a,③b2-4ac>0,④a+b<m(am+b)(m≠1的实数).
①正确,∵与y轴交于负半轴,所以c<0,∵开口向上,∴a>0,
又∵对称轴在y轴右侧,∴-
>0,∴b<0,∴abc>0.
②正确,∵ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-1,x2=3,根据根与系数的关系,
=3×
(-1)=-3,即c=-3a.
③正确,∵函数图象与x轴有两个点,∴b2-4ac>0;
④正确,由函数图象可知,对称轴为x=1,此时y取最小值为:
a+b+c;
∵当x=m时,y值为:
am2+bm+c;
∴am2+bm+c>a+b+c,(m≠1的实数),∴a+b<m(am+b).故结论正确序号是①②③④.
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:
①a+b+c=0;
②4a+b=0;
③abc<0;
④4ac-b2<0;
⑤当x≠2时,总有4a+2b>ax2+bx其中正确的有①②④⑤
(填写正确结论的序号).
①由图象可知:
当x=1时y<0,∴a+b+c<0.
②由图象可知:
对称轴x=-
=2,∴4a+b=0,∴正确;
由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac>0,正确;
③由抛物线的开口方向向下可推出a<0因为对称轴在y轴右侧,对称轴为x=-
>0,又因为a<0,b>0;
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c<0,故abc>0,错误;
④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac>0∴4ac-b2<0正确;
⑤∵对称轴为x=2,∴当x=2时,总有y=ax2+bx+c=4a+2b+c>0,∴4a+2b>ax2+bx正确.故答案为:
①②④⑤.
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,有下列5个结论:
①abc<0;
②a-b+c>0;
④b2-4ac>0⑤a+b+c>m(am+b)+c,(m>1的实数),其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
由图象可知:
开口向下,与Y轴交点在X轴的上方,对称轴是x=1,∴c>0,a<0,-
=1,
∴2a+b=0,b>0,∴
(1)abc<0(正确),(3)2a+b=0(正确),
(2)当x=-1时,y=ax2+bx+c=a-b+c,由图象可知当x=-1时y<0,即a-b+c<0,∴
(2)a-b+c>0(不正确),
(4)由图象知与X轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即(4)b2-4ac>0(正确),∵m>1,
当x=1时,y1=ax2+bx+c=a+b+c,
当x=m时,y2=ax2+bx+c=am2+bm+c=m(am+b)+c,由图象知y1>y2,即(5)a+b+c>m(am+b)+c(正确),
综合上述:
(1)(3)(4)(5)正确有4个正确.
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(x1,0),-3<x1<-2,对称轴为x=-1.给出四个结论:
②2a+b=0;
③b2>4ac;
④a-b>m(ma+b)(m≠-1的实数);
⑤3b+2c>0.其中正确的结论有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
①由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上,
∴c>0,对称轴为x=
=-1,得2a=b,∴a、b同号,即b<0,∴abc>0;
=-1,得2a=b,∴2a+b=4a,且a≠0,∴2a+b≠0;
③从图象知,该函数与x轴有两个不同的交点,所以根的判别式△=b2-4ac>0,即b2>4ac;
④图象开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴为x=-1,能得到:
a<0,c>0,-
=-1,∴b=2a,∴a-b=a-2a=-a,m(ma+b)=m(m+2)a,假设a-b>m(am+b),(m≠1的实数)即-a>m(m+2)a,所以(m+1)2>0,满足题意,所以假设成立,故本选项正确;
⑤∵-3<x1<-2,∴根据二次函数图象的对称性,知当x=1时,y<0;
又由①知,2a=b,∴a+b+c<0;
∴
b+b+c<0,
即3b+2c<0;
故本选项错误.综上所述,①③④共有3个正确的.故选B.
9.已知:
如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,交y轴于点C,且OB=OC,则下列结论正确的个数是( )①b=2a
②a-b+c>-1
③0<b2-4ac<4
④ac+1=b.A.1个B.2个C.3个D.4个
①∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1,∴-
=-1,整理得b=2a,故①正确;
④由抛物线与y轴相交于点C,就可知道C点的坐标为(0,c),又因OC=OB,所以B(-c,0),把它代入y=ax2+bx+c,即ac2-bc+c=0,两边同时除以c,即得到ac-b+1=0,所以ac+1=b.
②∵b=2a,ac+1=b,∴a=
,∵0<c<1,∴0<a<1,∴0<b<2,∴a-b+c>-1∴当x=-1时,y=ax2+bx+c=a-b+c>-1,
故②正确;
③∵函数图象与x轴有两个交点,∴得到b2-4ac>0,∵0<b2<4,4ac>0,∴b2-4ac<4故③正确;
故选D.
10.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标为x1、x2,其中-2<x1<-1,0<x2<1,下列结论:
②4a-2b+c<0;
③2a-b>0;
④b2+8a>4ac,正确的结论是①②④
①②④
.
由图知:
抛物线的开口向下,则a<0;
抛物线的对称轴x=-
>-1,且c>0;
①∵对称轴x=-
<0,a<0,∴b<0;
又∵c>0,∴abc>0,故本选项正确;
②由图可得:
当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,故本选项正确;
③已知x=-
>-1,且a<0,所以2a-b<0,故本选项错误;
④由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:
>2,由于a<0,所以4ac-b2<8a,即b2+8a>4ac,故本选项正确;
因此正确的结论是②④;
故答案是:
①②④.
11.(2006•武汉)(人教版)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(x1,0),且0<x1<1,下列结论:
①9a-3b+c>0;
②b<a;
③3a+c>0.其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3
∵y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(x1,0),且0<x1<1,∴x=-3时,y=9a-3b+c>0;
∵对称轴是x=-1,则
=-1,∴b=2a.∵a>0,∴b>a;
再取x=1时,y=a+b+c=a+2a+c=3a+c>0.∴①、③正确.故选C.
12.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A、B、C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,AB>AO,下列几个结论:
(1)abc<0;
(2)b>2a;
(3)a-b=-1;
(4)4a-2b+1<0.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.1
:
(1)∵该抛物线的开口向上,∴a>0;
又∵该抛物线的对称轴x=-
<0,∴b>0;
而该抛物线与y轴交于正半轴,故c>0,∴abc>0;
(2)由
(1)知,a>0,-
<0,∴b>-2a;
(3)∵OA=OC=1,∴由图象知:
C(0,1),A(-1,0),把C(0,1)代入y=ax2+bx+c得:
c=1,把A(-1,0)代入y=ax2+bx+c得:
a-b=-1,故本选项正确;
(4)由(3)知,点A的坐标是(-1,0).又∵AB>AO,∴当x=-2时,y<0,即4a-2b+1<0;
故本选项正确.
综上所述,正确的个数是2个.故选C.
13.如图所示,二次函数y=ax
+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标为x1、x2,其中-2<x1<-1、0<x2<1.下列结论:
①4a-2b+c<0,②2a-b<0,③a<-1,④b
+8a>4ac中,正确的结论是
抛物线的对称轴x=->-1,且c>0;
①由图可得:
当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,故①正确;
②已知x=->-1,且a<0,所以2a-b<0,故②正确;
③已知抛物线经过(-1,2),即a-b+c=2
(1),由图知:
当x=1时,y<0,即a+b+c<0
(2),
由①知:
4a-2b+c<0(3);
联立
(1)
(2),得:
a+c<1;
联立
(1)(3)得:
2a-c<-4;
故3a<-3,即a<-1;
所以③正确;
>2,由于a<0,所以4ac-b2<8a,即b2+8a>4ac,故④正确;
因此正确的结论是①②③④.
14.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:
②a+b+c=2;
③a<
④b>1.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.③④D.②④
<0,∴a、b同号,即b>0,∴abc<0,故本选项错误;
②当x=1时,函数值为2,∴a+b+c=2;
③∵对称轴x=
>-1,解得:
<a,∵b>1,∴a>
,故本选项错误;
④当x=-1时,函数值<0,即a-b+c<0,
(1)又a+b+c=2,将a+c=2-b代入
(1),2-2b<0,∴b>1故本选项正确;
综上所述,其中正确的结论是②④;
15.(2003•武汉)已知:
抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0,以下结论:
①a+b>0;
②a+c>0;
③-a+b+c>0;
④b2-2ac>5a2,其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),所以原式可化为a-b+c=0----①,
又因为4a+2b+c>0----②,所以②-①得:
3a+3b>0,即a+b>0;
(2)②+①×
2得,6a+3c>0,即2a+c>0,
∴a+c>-a,∵a<0,∴-a>0,故a+c>0;
(3)因为4a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a<0)当x=2时的值大于0,草图为:
可见c>0,∵a-b+c=0,∴-a+b-c=0,两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c,整理得-a+b+c=2c>0,即-a+b+c>0;
(4)∵过(-1,0),代入得a-b+c=0,∴c=b-a,再代入4a+2b+c=3b+3a>0,即b>-a∴b>0,a<0,c=b-a>0,
又将c=b-a代入b2-2ac=b2-2a(b-a)=b2-2ab+2a2,∵b2-2ab=b(b-2a),b>-a,b-2a>-3a,并且b是正数,
∴原式大于3a2.综上可知正确的个数有4个.故选D.
16.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:
①b2>4ac;
②b=-2a;
③a-b+c=0;
④b>5a.其中正确结论是①④
①∵图象与x轴有交点,对称轴为x=
=-1,与y轴的交点在y轴的正半轴上,
又∵二次函数的图象是抛物线,∴与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,正确;
②∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0,∵对称轴为x=
=-1,∴2a=b,∴2a+b=4a,a≠0,错误;
③∵x=-1时y有最大值,由图象可知y≠0,错误;
④把x=1,x=-3代入解析式得a+b+c=0,9a-3b+c=0,两边相加整理得5a-b=-c<0,即5a<b.故正确的为①④.
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