数学分析考研真题答案.doc
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2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准
科目代码:
636科目名称:
数学分析
一、(20分)解答以下三个小题:
(1)用分析定义证明:
如果,则.(13分)
(2)如果,是否一定有?
为什么?
(3分)
(3)计算极限.(4分)
证:
(1)∵,∴,:
.……2分
利用三角不等式,得……5分
而(∵常数)……7分
对上述的,,:
.……9分
.……11分
取,则,当时,有
.
∴.……13分
(2)不一定.……1分
反例:
数列,.有,但数列发散.……3分
(3)∵……2分
∴……4分
二、(12分)如果函数在上可导,且,,试证:
在区间内存在唯一的,使得.
证:
由已知,在上可导.在上应用Lagrange中值定理,得
,,……5分
,……7分
由零点存在定理,存在,使.……9分
再证零点唯一,只要证函数在上单调,而由,即知在上严格单调减少,从而上述是唯一的.……12分
三、(12分)求函数的不定积分.
解:
时,……3分
时,……6分
得出……8分
……12分
四、(10分)计算.
解:
……4分
……5分
……9分
……10分
五、(12分),试求
(1);(8分)
(2).(4分)
解:
(1)……3分
……8分
(2)……4分
六、(10分)证明积分关于一致收敛.
证:
∵,………4分
而收敛,………8分
由判别法,知积分对一致收敛.………10分
七、(21分)判断下列三个小题中级数的敛散性.(每小题7分)
(1);
(2);(3).
解:
(1)由………3分知收敛;发散;………5分
时收敛,发散.………7分
(2)由,(或)………4分
而收敛,知收敛.………7分
(3)由,………4分
发散,知发散.………7分
八、(25分)设函数
(1)计算函数的偏导数;(10分)
(2)问函数点是否连续?
是否可微?
为什么?
(8分)
(3)问偏导函数在点是否连续?
为什么?
(7分)
解:
(1)……3分
=……8分
对称地,……10分
(2)在点可微,从而在点也连续……3分
因为,,.,.
所以,……7分
即.
∴点可微.……8分
(3)偏导函数在点不连续.……2分
因为极限不存在:
由不存在,即知
(或由沿直线时极限不存在,即知)
所以在点不连续.……6分
同理,点也不连续.……7分
九、(12分)计算曲线积分,其中是以点为中心,为半径的圆周(),取逆时针方向.
解:
,则,
在不含原点的区域上积分与路径无关.……2分
当时,由Green公式,得.……4分
当时,取足够小的椭圆,使之含于内,取逆时针方向,
由Green公式:
,……8分
∴.……12分
十、(16分)解答以下两个小题:
(1)证明;(8分)
(2)计算.(8分)
证:
(1)∵……3分
令……5分
而
∴……8分
(2)……2分
……4分
……6分
.……8分
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