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3
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4
速算与巧算
1.计算:
(1)18+28+72
(2)87+15+13
(3)43+56+17+24
(4)28+44+39+62+56+21
2.计算:
(1)98+67
(2)43+28
(3)75+26
3.计算:
(1)82-49+18
(2)82-50+49
(3)41-64+29
4.计算:
(1)99+98+97+96+95
(2)9+99+999
5.计算:
(1)5+6+7+8+9
(2)5+10+15+20+25+30+35
(3)9+18+27+36+45+54
(4)12+14+16+18+20+22+24+26
6.计算:
(1)53+49+51+48+52+50
(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
7.计算:
1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
5
1.解:
(1)18+28+72=18+(28+72)=18+100=118
(2)87+15+13=(87+13)+15
=100+15=115
=(43+17)+(56+24)
=60+80=140
=(28+62)+(44+56)+(39+21)
=90+100+60=250
2.解:
(1)98+67=98+2+65
=100+65=165
(2)43+28=43+7+21=50+21=71
或43+28=41+(2+28)=41+30=71
(3)75+26=75+25+1=100+1=101
3.解:
(1)82-49+18=82+18-49
=100-49=51
(2)82-50+49=82-1=81
(减50再加49等于减1)
(3)41-64+29=41+29-64
=70-64=6
4.解:
=100×
5-1-2-3-4-5
6
=500-15=485
(每个加数都按100算,再把多加的减去)或99+98+97+96+95=97×
5=485
(2)9+99+999=10+100+1000-3
=1110-3=1107
5.解:
=7×
5=35
=20×
7=140
=(9+54)×
3=63×
3=189
(4)12+14+16+18+20+22+24+26=(12+26)×
4=38×
4=152
6.解:
(1)53+49+51+48+52+50=50×
6+3-1+1-2+2+0
=300+3=303
(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×
10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4
=800+4=804
7.解:
方法1:
原式=21+21+21+15=78
方法2:
原式=21×
4-6=84-6=78
方法3:
原式=(1+2+3+4+5+6)×
3+15=21×
3+15=63+15=78
7
数数与计数
(一)
1.如图2-8所示,数一数,需要多少块砖才能把坏了的墙补好?
2.图2-9所示的墙洞,用1号和2号两种特型砖能补好吗?
若能补好,共需几
块?
3.图2-10所示为一块地板,它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.
问这三种瓷砖各用了多少块?
4.如图2-11所示,一个木制的正方体,棱长为3寸,它的六个面都被涂成了
红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.
8
求:
(1)3面涂成红色的有多少块?
(2)2面涂成红色的有多少块?
(3)1面涂成红色的有多少块?
(4)各面都没有涂色的有多少块?
(5)切成的小正方体共有多少块?
5.图2-12所示为棱长4寸的正方体木块,将它的表面全染成蓝色,然后锯成
棱长为1寸的小正方体.
问:
(1)有3面被染成蓝色的多少块?
(2)有2面被染成蓝色的多少块?
(3)有1面被染成蓝色的多少块?
(4)各面都没有被染色的多少块?
(5)锯成的小正方体木块共有多少块?
6.图2-13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面(包括底面)
全部涂成绿色,那么当把“塔”完全拆开时,3面被涂成绿色的小正方体有多少块?
7.图2-14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的,你知道哪一条
绳子长吗?
(仔细观察,想办法比较出来).
9
用10块砖可把墙补好,可以从下往上一层一层地数(发挥想像力):
共1+2+2+1+2+2=10(块).
如果用铅笔把砖画出来(注意把砖缝对好)就会十分清楚了,如图2-15所示.
仔细观察,同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块,也就是共需
(如图2-16所示)
1+2=3(块).
因为图形复杂,要特别仔细,最好是有次序地按行分类数,再进行统计:
10
(1)3面涂色的有8块:
它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角
上的4块.
(2)2面涂色的有12块:
它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四
角的4块.
(3)1面涂色的有6块:
它们是各面(共有6个面)中心的那块.
(4)各面都没有涂色的有一块:
它是正方体中心的那块.
(5)共切成了3×
3×
3=27(块).
或是如下计算:
8+12+6+1=27(块).
同上题
(1)8块;
(2)24块;
(3)24块;
(4)8块;
(5)64块.
3面被涂成绿色的小正方体共有16块,就是图2—18中有“点”的那些块
(注意最下层有2块看不见).
分类数一数可知,围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由
32条直线段和6条斜线段组成;
小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组
成.
11
数数与计数
(二)
例1数一数,图3-1中共有多少点?
解:
(1)方法1:
如图3-2所示从上往下一层一层数:
第一层1个
第二层2个
第三层3个
第四层4个
第五层5个
第六层6个
第七层7个
第八层8个
第九层9个
12
第十层10个
第十一层9个
第十二层8个
第十三层7个
第十四层6个
第十五层5个
第十六层4个
第十七层3个
第十八层2个
第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=55+45=100(利用已学过的知识计算).
(2)方法2:
如图3-3所示:
从上往下,沿折线数
第二层3个
第三层5个
13
第四层7个
第五层9个
第六层11个
第七层13个
第八层15个
第九层17个
第十层19个
总数:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(利用已学过的知识计算).
(3)方法3:
把点群的整体转个角度,成为如图3-4所示的样子,变成为10行1
0列的点阵.显然点的总数为10×
10=100(个).
想一想:
①数数与计数,有时有不同的方法,需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想:
14
1=1×
1+2+1=2×
1+2+3+2+1=3×
1+2+3+4+3+2+1=4×
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×
这样的等式还可以一直写下去,能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下,看是否正确,如果正确我们就发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×
10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:
1+3=2×
1+3+5=3×
1+3+5+7=4×
1+3+5+7+9=5×
1+3+5+7+9+11=6×
1+3+5+7+9+11+13=7×
1+3+5+7+9+11+13+15=8×
15
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×
还可往下一直写下去,同学们自己检验一下,看是否正确,如果正确,我们就
又发现了一条规律.
例2数一数,图3-5中有多少条线段?
(1)我们已知,两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段
有:
ABACADAEAF5条.
以B点为共同左端点的线段有:
BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有:
CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有:
DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有:
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
(2)用图示法更为直观明了.见图3-6.
16
总数5+4+3+2+1=15(条).
①由例2可知,一条大线段上有六个点,就有:
总数=5+4+3+2+1条线
段.由此猜想如下规律(见图3-7):
还可以一直做下去.总之,线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和,其中
最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的
关系.
②上面的事实也可以这样说:
如果把相邻两点间的线段叫做基本线段,那么一条大
线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是:
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本线
段的条数(见图3-8).基本线段数线段总条数
还可以一直写下去,同学们可以自己试试看.
例3数一数,图3-9中共有多少个锐角?
17
(1)我们知道,图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以,以OA边为公共边的锐角有:
∠LAOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有:
∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有:
∠COD,∠COE,∠COF共3个.以OD边为公共
边的锐角有:
∠DOE,∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有:
∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1=15(个).
②用图示法更为直观明了:
如图3-10所示,锐角总数为:
5+4+3+2+1=15(个).
①由例3可知:
由一点发出的六条射线,组成的锐角的总数=5+4+3+2
+1(个),由此猜想出如下规律:
(见图3-11~15)
两条射线1个角(见图3-11)
三条射线2+1个角(见图3-12)
18
四条射线3+2+1个角(见图3-13)
五条射线4+3+2+1个角(见图3-14)
六条射线5+4+3+2+1个角(见图3-15)
总之,角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比射线
数小1.
②同样,也可以这样想:
如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角,那么有共
同顶点的基本角和角的总数之间的关系是:
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本角个
数.
③注意,例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的,例3是关于角的,
但求总数时,它们有同样的数学表达式.同学们可以看出,一个数学式子可以表达表
面上完全不同的事物中的数量关系,这就是数学的魔力.
19
.解:
从左往右一摞一摞地数,再相加求和:
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135(本).
把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.
长方形中的书10×
11=110
三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
110+25=135(本).
因为棋孔较多,应找出排列规律,以便于计数.
仔细观察可知,图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是(从上往下数):
1,
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,另外还有三个小三角形中的棋孔的排
列规律是1,2,3,4,所以棋孔总数是:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+
(1+2+3+4)×
3=91+10×
3=121(个).
按图3-22所示方法数(图中只画出了一部分)
线段总数:
7+6+5+4+3+2+1=28(条).
基本线段共7条,所以线段总数是:
按图3-23的方法数:
20
角的总数:
7+6+5+4+3+2+1=28(个).
(1)三角形是由三条边构成的图形.
以OA边为左公共边构成的三角形有:
△OAB,△OAC,△OAD,△OAE,△
OAF,△OAG,△OAH,共7个;
以OB边为左公共边构成的三角形有:
△OBC,△OBD,△OBE,△OBF,△
OBG,△OBH,共6个;
以OC边为左公共边构成的三角形有:
△OCD,△OCE,△OCF,△OCG,△
OCH,共5个;
以OD边为左公共边构成的三角形有:
△ODE,△ODF,△ODG,△ODH,共
4个;
以OE边为左公共边构成的三角形有:
△OEF,△OEG,△OEH,共3个;
以OF边为左公共边构成的三角形有:
△OFG,△OFH,共2个;
以OG边和OH,GH两边构成的三角形仅有:
△OGH1个;
三角形总数:
显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形,而基本线段是
7条,所以三角形总数为:
最小的正方形有25个,
由4个小正方形组成的正方形16个;
由9个小正方形组成的正方形9个;
由16个小正方形组成的正方形4个;
由25个小正方形组成的正方形1个;
正方形总数:
25+16+9+4+1=55个.
21
认识简单数列
1.从1开始,每隔两个数写出一个自然数,共写出十个数来.
2.从1开始,每隔六个数写出一个自然数,共写出十个数来.
3.在习题一和习题二中,按题目要求写出的两个数列中,除1以外出现的最小
的相同的数是几?
4.自2开始,隔两个数写一个数:
2,5,8,……,101.
可以看出,2是这列数的第一项,5是第二项,8是第三项,等等.问101是第几
个数?
5.如图4-1所示,“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度,而且整个图
形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样
高,那么,整个图形应包括多少个小正方形?
6.如图4-2所示,把小立方体叠起来成为“宝塔”,求这个小宝塔共包括多少个
小立方体?
7.开学的第一个星期,小明准备发起成立一个趣味数学小组,这时只有他一个
22
人.他决定第二个星期吸收两名新组员,而每个新组员要在进入小组后的下一个星期
再吸收两名新组员,求开学4个星期后,这个小组共有多少组员?
8.图4-3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个,再次分裂变为4个,
第三次分裂为8个,……照这样下去,问经过10次分裂,一个细胞变成几个?
9.图4-4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子,其中有一些珠子在盒子里,问
(1)盒子里有多少珠子?
(2)这串珠子共有多少个?
23
可以先写出从1开始的自然数列,再按题目要求删去那些不应该出现的数,
就得到答案了:
即1,4,7,10,13,16,19,22,25,28
可以看出,这是一个等差数列,后面一个数比前面一个数大3.
仿习题1,先写前面的几个数如下:
可以看出,1,8,15,22,……也是一个等差数列,后面的一个数比前面的一
个数大7.按照这个规律,可以写出所有的10个数:
1,8,15,22,29,36,43,50,57,64.
3.解:
观察习题一和习题二两个数列:
可见两个数列中最小的相同数是22.
经仔细观察后可以看出,这是一个等差数列,后一个数比前一个数大3,
即公差是3.下面再多写出几项,以便从中发现规律:
(表四(4))
再仔细观察可知:
第二项=第一项+1×
公差,即5=2+1×
3;
24
第三项=第一项+2×
公差,即8=2+2×
第四项=第一项+3×
公差,即11=2+3×
第五项=第一项+4×
公差,即14=2+4×
…………
由于101=2+33×
可见,101是第34项,即第34个数.
仔细观察可发现,这个“阶梯形”图形最高处是4个小正方形时,它就有4
个台阶,整个图形包括的小正方形数为:
1+2+3+4=10.
所以最高处是12个小正方形时,它必有12个台阶,整个图形包括的小正方形
数为:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78(个).
从上往下数,小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下规律(表四(5)):
所以六层小立方体的总数为:
1+3+6+10+15+21=56(个).
列表如下:
4个
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