数值分析试卷及其答案2.doc

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1、（本题5分）试确定作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。

解因为=3.142857…=

=3.141592…

所以

（2分）

这里，

由有效数字的定义可知作为的近似值具有3位有效数字。

（1分）

而相对误差限

（2分）

2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：

；

解设

由矩阵乘法得：

（3分）

由解得

（3分）

3、（本题6分）给定线性方程组

1）写出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；

2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性；

解1）Jacoib迭代格式为

（2分）

Gauss-Seidel迭代格式为

（2分）

2）由于所给线性方程组的系数矩阵

是严格对角占优的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。

（2分）

4、（本题6分）已知方程

在附近有一个根。

将此方程改写成如下2个等价形式：

构造如下两个迭代格式：

1）

2）

判断这两个迭代格式是否收敛；

解1）记，则，

（2分）

所以该迭代格式是局部收敛的。

（1分）

2）记，则，

（2分）

所以该迭代格式是发散的（1分）

5、（本题6分）设

（1）写出解的牛顿迭代格式；

（2）证明此迭代格式是线性收敛的。

解

（1）因，故，由牛顿迭代公式

，（1分）

得，（2分）

（2）因迭代函数，

，（1分）

故

此牛顿迭代格式是线性收敛的。

（2分）

6、（本题9分）给定数据

x0235

f（x）1-3-42

（1）写出的3次Lagrange插值多项式；

（2）写出的3次Newton插值多项式；

解

（1）由题意知

（3分）

（2分）

（2）用牛顿插值公式，构造差商表

01

2

3

523

（3分）

则有

（1分）

7、（本题6分）作一个5次多项式使得

解构造有重节点的牛顿插商表

13

132

2

21511

432

4320

（4分）

则有

（2分）

8、（本题6分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：

0

1

2

3

4

5

6

15

14

14

14

14

15

16

解设，则上表可化为

0

1

2

3

1

0

0

0

0

1

2

这时，取，并设所求二次多项式为

，容易得到

，，

，，

，，（3分）

得正规方程组如下：

解得即（2分）

回代得（1分）

9、（本题5分）给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式

解由于

所以（1分）

（1分）

（1分）

（1分）

故求积公式为（1分）

10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：

解

（1）用梯形公式

，

（3分）

（2）用辛普森公式

（3分）

11、（本题8分）求高斯型求积公式的系数

解令：

（1分）

由得

再由（2分）

（1分）

得

所以的根为（2分）

（2分）

12、（本题6分）设为次多项式，为个互异点，为的次插值多项式。

若，试证。

解：

因为为次多项式，所以，（2分）

又因为，故有（2分）

由插值关系可知：

（2分）

所以，

13、（本题10分）设，求及谱半径。

解由定义得

（2分）

（2分）

又由于，而

（2分）

所以，。

（2分）

因为

所以（2分）

14、（本题6分）写出用4阶经典龙格-库塔法求解初值问题的计算公式，并取步长，计算的近似值，小数点后至少保留4位。

解，于是

（4分）

故，由于

故（2分）

15、（本题9分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数

解幂法计算公式：

取，作如下迭代：

，，，

其中表示中（首次出现的）绝对值最大的分量，则

（1分）

计算如下：

（2分）

（2分）

（2分）

（2分）