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这块田地的周长是:
48×
4=192(米)
答略。
*例6有3250个桔子,平均分给一个幼儿园的小朋友,剩下10个。
已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。
求这个幼儿园有多少名小朋友?
3250-10=3240(个)
把3240分解质因数:
3240=23×
34×
5
接近40的数有36、37、38、39
这些数中36=22×
32,所以只有36是3240的约数。
23×
5÷
(22×
32)
=2×
32×
=90
这个幼儿园有90名小朋友。
*例7105的约数共有几个?
求一个给定的自然数的约数的个数,可先将这个数分解质因数,然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出,再求出它的个数即可。
因为,105=3×
5×
7,
所以,含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个;
含有两个质数的乘积的约数有3×
5、3×
7、5×
7共3个;
含有三个质数的乘积的约数有3×
7共1个。
所以,105的约数共有4+3+1=8个。
*例8把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组,使每组三个数的乘积都相等。
这三组数分别是多少?
将这九个数分别分解质因数:
15=3×
22=2×
30=2×
35=5×
39=3×
13
44=2×
52=2×
77=7×
91=7×
观察上面九个数的质因数,不难看出,九个数的质因数中共有六个2,三个3,三个5,三个7,三个11,三个13,这样每组中三个数应包括的质因数有两个2,一个3,一个5,一个7,一个11和一个13。
由以上观察分析可得这三组数分别是:
15、52和77;
22、30和91;
35、39和44。
*例9有四个学生,他们的年龄恰好一个比一个大一岁,他们的年龄数相乘的积是5040。
四个学生的年龄分别是几岁?
把5040分解质因数:
5040=2×
由于四个学生的年龄一个比一个大1岁,所以他们的年龄数就是四个连续自然数。
用八个质因数表示四个连续自然数是:
7,2×
2,3×
3,2×
即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。
*例10在等式35×
(
)×
81×
27=7×
18×
162的两个括号中,填上适当的最小的数。
将已知等式的两边分解质因数,得:
37×
)=22×
36×
)
把上面的等式化简,得:
15×
)=4×
所以,在左边的括号内填4,在右边的括号内填15。
(4)=4×
(15)
*例11把84名学生分成人数相等的小组(每组最少2人),一共有几种分法?
把84分解质因数:
84=2×
除了1和84外,84的约数有:
2,3,7,2×
2=4,2×
3=6,2×
7=14,3×
7=21,2×
3=12,2×
7=28,2×
7=42。
下面可根据不同的约数进行分组。
84÷
2=42(组),84÷
3=28(组),84÷
4=21(组),84÷
6=14(组),84÷
7=12(组),84÷
12=7(组),84÷
14=6(组),84÷
21=4(组),84÷
28=3(组),84÷
42=2(组)。
因此每组2人分42组;
每组3人分28组;
每组4人分21组;
每组6人分14组;
每组7人分12组;
每组12人分7组;
每组14人分6组;
每组21人分4组;
每组28人分3组;
每组42人分2组。
一共有10种分法。
*例12把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组,每组四个数,要使各组数中四个数的乘积相等。
求这两组数。
要使两组数的乘积相等,这两组乘积中的每个因数不必相同,但这些因数经分解质因数,它们所含有的质因数一定相同。
因此,首先应把八个数分解质因数。
14=2×
7
143=11×
5
169=13×
33=3×
11
4445=5×
127
75=3×
4953=3×
13×
在上面的质因式中,质因数2、7、11、127各有2个,质因数3、5、13各有4个。
在把题中的八个数分为两组时,应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个,质因数3、5、13各有2个。
按这个要求每一组四个数的积应是:
127×
因为,(2×
(3×
5)×
(11×
13)×
127)=14×
75×
143×
4953,根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意,因此,要求的一组数是14、75、143、4953,另一组的四个数是:
30、33、169、4445。
*例13一个长方形的面积是315平方厘米,长比宽多6厘米。
求这个长方形的长和宽。
(适于五年级程度)
设长方形的宽为x厘米,则长为(x+6)厘米。
根据题意列方程,得:
x(x+6)=315
x(x+6)=3×
7)
x(x+6)=15×
21
(15+6)
x=15
x+6=21
这个长方形的长是21厘米,宽是15厘米。
*例14已知三个连续自然数的积为210,求这三个自然数各是多少?
设这三个连续自然数分别是x-1,x,x+1,根据题意列方程,得:
(x-1)×
x×
(x+1)
=210
10
=3×
=5×
6×
比较方程两边的因数,得:
x=6,x-1=5,x+1=7。
这三个连续自然数分别是5、6、7。
*例15将37分为甲、乙、丙三个数,使甲、乙、丙三个数的乘积为1440,并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12,求甲、乙、丙各是几?
把1440分解质因数:
1440=12×
12×
2)×
5)
=8×
9×
20
如果甲、乙二数分别是8、9,丙数是20,则:
8×
9=72,
20×
3+12=72
正符合题中条件。
甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。
*例16一个星期天的早晨,母亲对孩子们说:
“你们是否发现在你们中间,大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和?
”儿子们齐声回答说:
“是的,我们的年龄和您年龄的乘积,等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。
”从这次谈话中,你能否确定母亲在多大时,才生下第二个儿子?
由题意可知,母亲有三个儿子。
母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于:
33×
1000+32×
10=27090
把27090分解质因数:
27090=43×
2
根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”,重新组合上面的质因式得:
43×
14×
这个质因式中14就是9与5之和。
所以母亲43岁,大儿子14岁,二儿子9岁,小儿子5岁。
43-9=34(岁)
母亲在34岁时生下第二个儿子。
第三十二讲最大公约数法
通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法,叫做最大公约数法。
例1甲班有42名学生,乙班有48名学生,现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组,并且使每个小组都是同一个班的学生。
每个小组最多有多少名学生?
要使每个小组都是同一个班的学生,并且要使每个小组的人数尽可能多,就要求出42和48的最大公约数:
3=6
42和48的最大公约数是6。
每个小组最多能有6名学生。
例2有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板,要把它分割成若干个面积最大,井已面积相等的正方形。
能分割成多少个正方形?
因为分割成的正方形的面积最大,并且面积相等,所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数:
5=30
150和60的最大公约数是30,即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中,150、60除以2之后,再除以3、5,最后的商是5和2。
这说明,当正方形的边长是30厘米时,长方形的长150厘米中含有5个30厘米,宽60厘米中含有2个30厘米。
所以,这个长方形能分割成正方形:
2=10(个)
能分割成10个正方形。
例3有一个长方体的方木,长是3.25米,宽是1.75米,厚是0.75米。
如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块,并使每个小正方体木块尽可能大。
小木块的棱长是多少?
可以截成多少块这样的小木块?
3.25米=325厘米,1.75米=175厘米,0.75米=75厘米,此题实际是求325、175和75的最大公约数。
5=25
325、175和75的最大公约数是25,即小正方体木块的棱长是25厘米。
因为75、175、325除以5得商15、35、65,15、35、65再除以5,最后的商是3、7、13,而小正方体木块的棱长是25厘米,所以,在75厘米中包含3个25厘米,在175厘米中包含7个25厘米,在325厘米中包含13个25厘米。
可以截成棱长是25厘米的小木块:
13=273(块)
小正方体木块的棱长是25厘米,可以截成这样大的正方体273块。
例4有三根绳子,第一根长45米,第二根长60米,第三根长75米。
现在要把三根长绳截成长度相等的小段。
每段最长是多少米?
一共可以截成多少段?
此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。
5=15
45、60和75的最大公约数是15,即每一小段绳子最长15米。
因为短除式中最后的商是3、4、5,所以在把绳子截成15米这么长时,45米长的绳子可以截成3段,60米长的绳子可以截成4段,75米长的绳子可以截成5段。
所以有:
3+4+5=12(段)
每段最长15米,一共可以截成12段。
例5某校有男生234人,女生146人,把男、女生分别分成人数相等的若干组后,男、女生各剩3人。
要使组数最少,每组应是多少人?
能分成多少组?
因为男、女生各剩3人,所以进入各组的男、女生的人数分别是:
234-3=231(人)…………………男
146-3=143(人)…………………女
要使组数最少,每一组的人数应当是最多的,即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。
231、143的最大公约数是11,即每一组是11人。
因为231、143除以11时,商是21和13,所以男生可以分为21组,女生可以分为13组。
21+13=34(组)
每一组应是11人,能分成34组。
例6把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里,要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。
一共要装多少个小盒?
求一共可以装多少个盒子,要知道红、绿各装多少盒。
要将红、绿分别装在盒子中,且每个盒子里球的个数相同,装的最多,则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。
330和360的最大公约数是30,即每盒装30个球。
330÷
30=11(盒)……………红球装11盒
360÷
30=12(盒)……………绿球装12盒
11+12=23(盒)……………共装23盒
例7一个数除40不足2,除68也不足2。
这个数最大是多少?
“一个数除40不足2,除68也不足2”的意思是:
40被这个数除,不能整除,要是在40之上加上2,才能被这个数整除;
68被这个数除,也不能整除,要是在68之上加上2,才能被这个数整除。
看来,能被这个数整除的数是:
40+2=42,68+2=70。
这个数是42和70的公约数,而且是最大的公约数。
7=14
这个数最大是14。
例8李明昨天卖了三筐白菜,每筐白菜的重量都是整千克。
第一筐卖了1.04元,第二筐卖了1.95元,第三筐卖了2.34元。
每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。
问三筐白菜各是多少千克,李明一共卖了多少千克白菜?
三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分,每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。
把104、195、234分别分解质因数:
104=23×
195=3×
234=2×
104、195、234最大的公有的质因数是13,所以104、195、234的最大公约数是13,即每千克白菜的价钱是0.13元。
1.04÷
0.13=8(千克)………第一筐
1.95÷
0.13=15(千克)………第二筐
2.34÷
0.13=18(千克)………第三筐
8+15+18=41(千克)
第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克,李明一共卖了41千克白菜。
例9一个两位数除472,余数是17。
这个两位数是多少?
因为这个“两位数除472,余数是17”,所以,472-17=455,455一定能被这个两位数整除。
455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455,这些约数中35、65和91大于17,并且是两位数,所以这个两位数可以是35或65,也可以是91。
例10把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上,要使每个角必须有一个焊点,并且各边焊点间的距离相等。
最少要焊多少个点?
(单位:
厘米)(适于六年级程度)
要求焊点最少,焊点间距就要最大;
要求每个角有一个焊点,焊点间距离相等,焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。
它们的最大公约数是6,即焊点间距离为6厘米。
焊点数为:
7+4+3+6=20(个)
按这个算法每个角上的焊点是两个,因为要求每一个角上要有一个焊点,所以,要从20个焊点中减4个焊点。
20-4=16(个)
第三十三讲最小公倍数法
通过计算出几个数的最小公倍数,从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。
例1用长36厘米,宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面,最少需要多少块瓷砖?
因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少,所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。
2=72
36、24的最小公倍数是72,即正方形的边长是72厘米。
72÷
36=2
24=3
3=6(块)
最少需要6块瓷砖。
*例2王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。
这个正方体模型的体积是多大?
用多少块上面那样的长方体木块?
此题应先求正方体模型的棱长,这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。
2=12
6、4和3的最小公倍数是12,即正方体模型的棱长是12厘米。
正方体模型的体积为:
12=1728(立方厘米)
长方体木块的块数是:
1728÷
(6×
4×
=1728÷
72
=24(块)
例3有一个不足50人的班级,每12人分为一组余1人,每16人分为一组也余1人。
这个班级有多少人?
这个班的学生每12人分为一组余1人,每16人分为一组也余1人,这说明这个班的人数比12与16的公倍数(50以内)多1人。
所以先求12与16的最小公倍数。
4=48
12与16的最小公倍数是48。
48+1=49(人)
49<
50,正好符合题中全班不足50人的要求。
这个班有49人。
例4某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。
第一条线路每隔8分钟发一次车;
第二条线路每隔10分钟发一次车;
第三条线路每隔12分钟发一次车。
三条线路的汽车在同一时间发车以后,至少再经过多少分钟又在同一时间发车?
求三条线路的汽车在同一时间发车以后,至少再经过多少分钟又在同一时间发车,就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数,即8、10、12的最小公倍数。
3=120
至少经过120分钟又在同一时间发车。
例5有一筐鸡蛋,4个4个地数余2个,5个5个地数余3个,6个6个地数余4个。
这筐鸡蛋最少有多少个?
从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数,还是5个5个地数、6个6个地数,筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。
因为要求这筐鸡蛋最少是多少个,所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2,就得到鸡蛋的个数。
3=60
4、5、6的最小公倍数是60。
60-2=58(个)
这筐鸡蛋最少有58个。
*例6文化路小学举行了一次智力竞赛。
参加竞赛的人中,平均每15人有3个人得一等奖,每8人有2个人得二等奖,每12人有4个人得三等奖。
参加这次竞赛的共有94人得奖。
求有多少人参加了这次竞赛?
得一、二、三等奖的各有多少人?
15、8和12的最小公倍数是120,参加这次竞赛的人数是120人。
得一等奖的人数是:
(120÷
15)=24(人)
得二等奖的人数是:
8)=30(人)
得三等奖的人数是:
12)=40(人)
*例7有一个电子钟,每到整点响一次铃,每走9分钟亮一次灯。
中午12点整时,电子钟既响铃又亮灯。
求下一次既响铃又亮灯是几点钟?
每到整点响一次铃,就是每到60分钟响一次铃。
求间隔多长时间后,电子钟既响铃又亮灯,就是求60与9的最小公倍数。
60与9的最小公倍数是180。
180÷
60=3(小时)
由于是中午12点时既响铃又亮灯,所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。
*例8一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树,并且已经挖好坑。
后来改为每隔6米栽一棵树。
求重新挖树坑时可以少挖几个?
这一段地全长96米,从一端每隔4米挖一个坑,一共要挖树坑:
96÷
4+1=25(个)
后来,改为每隔6米栽一棵树,原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上,可不重新挖。
由于4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始,每隔12米的那个坑不必挖。
12+1=9(个)
96米中有8个12米,有8个坑是已挖好的,再加上已挖好的第一个坑,一共有9个坑不必重新挖。
例9一项工程,甲队单独做需要18天,乙队单独做需要24天。
两队合作8天后,余下的工程由甲队单独做,甲队还要做几天?
由18、24的最小公倍数是72,可把全工程分为72等份。
18=4(份)…………是甲一天做的份数
24=3(份)…………是乙一天做的份数
(4+3)×
8=56份)………两队8天合作的份数
72-56=16(份)…………余下工程的份数
16÷
4=4(天)……………甲还要做的天数
*例10甲、乙两个码头之间的水路长234千米,某船从甲码头到乙码头需要9小时,从乙码头返回甲码头需要13小时。
求此船在静水中的速度?
(适于高年级程度)
9、13的最小公倍数是117,可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。
每一份是:
234÷
117=2(千米)
静水中船的速度占总份数的:
(13+9)÷
2=11(份)
船在静水中每小时行:
11=22(千米)
*例11王勇从山脚下登上山顶,再按原路返回。
他上山的速度为每小时3千米,下山的速度为每小时5千米。
他上、下山的平均速度是每小时多少千米?
设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。
5=15(千米)
上山用:
15÷
3=5(小时)
下山用:
5=3(小时)
总距离÷
总时间=平均速度
(15×
2)÷
(5+3)=3.75(千米)
他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。
*例12某工厂生产一种零件,要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时做50个;
第二道工序每个工人每小时做30个;
第三道工序每个工人每小时做25个。
在要求均衡生产的条件下,这三道工序至少各应分配多少名工人?
50、30、25三个数的最小公倍数是150。
第一道工序至少应分配:
150÷
50=3(人)
第二道工序至少应分配:
30=5(人)
第三道工序至少应分配:
25=6(人)
第三十四讲解平均数问题的方法
已知几个不相等的数及它们的份数,求总平均值的问题,叫做平均数问题。
解答平均数问题时,要先求出总数量和总份数。
总数量是几个数的和,总份数是这几个数的份数的和。
解答这类问题的公式是;
总数量÷
总份数=平均数
例1气象小组在一天的2点、8点、14点、20点测得某地的温度分别是13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度。
算出这一天的平均温度。
(适于四年级程度)
本题可运用求平均数的解题规律“总数量÷
总份数=平均数”进行计算。
这里的总数量是指测得的四个温度的和,即13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度的和;
这里的总份数是指测量气温的次数,一天测量四次气温,所以总份数为4。
(13+16+25+18)÷
4
=72÷
=18(摄氏度)
这一天的平均气温为18摄氏度。
例2王师傅加工一批零件,前3天加工了148个,后4天加工了167个。
王师傅平均每天加工多少个零件?
此题的总数量是指前3天和后4天一
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