教案:函数的单调性与极值.doc
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函数的单调性与极值
教学目标:
正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;
掌握利用导数判断函数单调性的方法;
教学重点:
利用导数判断函数单调性;
教学难点:
利用导数判断函数单调性
教学过程:
一引入:
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1 二新课讲授 1函数单调性 我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到: 在区间(2,)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即>0时,函数y=f(x)在区间(2,)内为增函数;在区间(,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即0时,函数y=f(x)在区间(,2)内为减函数. 定义: 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;,如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数。 例1确定函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 例2确定函数的单调区间。 x 0 2 2极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在及其附近有定义,如果的值比附近所有各点的函数值都大,我们说f()是函数y=f(x)的一个极大值;如果的值比附近所有各点的函数值都小,我们说f()是函数y=f(x)的一个极小值。 极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。 请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 o a X1 X2 X3 X4 b a x y (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。 即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,是极大值点,是极小值点,而>。 (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有。 但反过来不一定。 如函数,在处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。 假设使,那么在什么情况下是的极值点呢? o a X0 b a x y o a X0 b a x y 如上左图所示,若是的极大值点,则两侧附近点的函数值必须小于。 因此,的左侧附近只能是增函数,即。 的右侧附近只能是减函数,即,同理,如上右图所示,若是极小值点,则在的左侧附近只能是减函数,即,在的右侧附近只能是增函数,即,从而我们得出结论: 若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值。 x o y 例3求函数的极值。 三小结 1求极值常按如下步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数; ③求方程=0的根,这些根也称为可能极值点; ④检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点。 (最好通过列表法) 四巩固练习 1确定下列函数的单调区间: (1) (2) 2求下列函数的极值 (1) (2) (3)(4) 五课堂作业 1确定下列函数的单调区间: (1) (2) (3)(4) 2求下列函数的极值 (1) (2) (3)(4) (5)(6)
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- 关 键 词:
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