定积分习题及答案.doc
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定积分习题及答案.doc
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第五章定积分
(A层次)
1.;2.;3.;
4.;5.;6.;
7.;8.;9.;
10.;11.;12.;
13.;14.;15.;
16.;17.;18.;
19.;20.;21.;
22.;23.;24.;
25.。
(B层次)
1.求由所决定的隐函数对的导数。
2.当为何值时,函数有极值?
3.。
4.设,求。
5.。
6.设,求。
7.设,求。
8.。
9.求。
10.设是连续函数,且,求。
11.若,求。
12.证明:
。
13.已知,求常数。
14.设,求。
15.设有一个原函数为,求。
16.设,在上,求出常数,使最小。
17.已知,求。
18.设,求。
19.。
20.设时,的导数与是等价无穷小,试求。
(C层次)
1.设是任意的二次多项式,是某个二次多项式,已知,求。
2.设函数在闭区间上具有连续的二阶导数,则在内存在,使得。
3.在上二次可微,且,。
试证。
4.设函数在上连续,在上存在且可积,,试证()。
5.设在上连续,,,求证存在一点,,使。
6.设可微,,,,求。
7.设在上连续可微,若,则。
8.设在上连续,,求证。
9.设为奇函数,在内连续且单调增加,,证明:
(1)为奇函数;
(2)在上单调减少。
10.设可微且积分的结果与无关,试求。
11.若在连续,,,证明:
。
12.求曲线在点(0,0)处的切线方程。
13.设为连续函数,对任意实数有,求证。
14.设方程,求。
15.设在上连续,求证:
()
16.当时,连续,且满足,求。
17.设在连续且递减,证明
,其中。
18.设连续,,,,试证:
。
19.设是上的连续函数,,试证在内方程至少有一个根。
20.设在连续,且,又,证明:
(1)
(2)在内有且仅有一个根。
21.设在上连续,则。
22.设是以为周期的连续函数,证明:
。
23.设在上正值,连续,则在内至少存在一点,使
。
24.证明。
25.设在上连续且严格单调增加,则。
26.设在上可导,且,,则。
27.设处处二阶可导,且,又为任一连续函数,则,。
28.设在上二阶可导,且,则。
29.设在上连续,且,,证明在上必有。
30.在上连续,且对任何区间有不等式(,为正常数),试证在上。
第五章定积分
(A)
1.
解:
原式
2.
解:
令,则
当时,当时
原式
3.
解:
令,则
当,时分别为,
原式
4.
解:
令,则,
当,1时,
原式
5.
解:
令,
当时,;当时,
原式
6.
解:
令,则,
当时
原式
7.
解:
原式
8.
解:
原式
9.
解:
原式
10.
解:
∵为奇函数
∴
11.
解:
原式
12.
解:
∵为奇函数
∴
13.
解:
原式
14.
解:
原式
15.
解:
原式
16.
解:
原式
故
17.
解:
原式
18.
解:
原式
故
19.
解:
原式
20.
解:
原式
21.
解:
令,则
原式
22.
解:
原式
23.
解:
原式
24.
解:
原式
故
25.
解:
令,则
原式
∴
故
(B)
1.求由所决定的隐函数对的导数。
解:
将两边对求导得
∴
2.当为何值时,函数有极值?
解:
,令得
当时,
当时,
∴当时,函数有极小值。
3.。
解:
原式
4.设,求。
解:
5.。
解:
6.设,求。
解:
当时,
当时,
当时,
故。
7.设,求。
解:
8.。
解:
原式
9.求。
解:
原式
10.设是连续函数,且,求。
解:
令,则,
从而
即,
∴
11.若,求。
解:
令,则,
当时,
当时,
∴
从而
12.证明:
。
证:
考虑上的函数,则
,令得
当时,
当时,
∴在处取最大值,且在处取最小值
故
即。
13.已知,求常数。
解:
左端
右端
∴
解之或。
14.设,求。
解:
令,则
15.设有一个原函数为,求。
解:
令,且
16.设,在上,求出常数,使最小。
解:
当最小,即最小,由知,在的上方,其间所夹面积最小,则是的切线,而,设切点为,则切线,故,。
于是
令得
从而,
又,此时最小。
17.已知,求。
解:
18.设,求。
解:
设,,则
∴
∴
解得:
,,于是
19.。
解:
原式
20.设时,的导数与是等价无穷小,试求。
解:
故
(C)
1.设是任意的二次多项式,是某个二次多项式,已知,求。
解:
设,则
令
于是,,
由已知得
2.设函数在闭区间上具有连续的二阶导数,则在内存在,使得。
证:
由泰勒公式
其中,位于与之间。
两边积分得:
令,则
,。
3.在上二次可微,且,。
试证。
证明:
当时,由,知是严格增及严格凹的,从而及
故
4.设函数在上连续,在上存在且可积,,试证()。
证明:
因为在上可积,故有
而,
于是
5.设在上连续,,,求证存在一点,,使。
证:
假设,
由已知,,得
故
从而
∴
因为在连续,则或。
从而或,这与矛盾。
故。
6.设可微,,,,求。
解:
令,则,显然
于是。
7.设在上连续可微,若,则。
证:
因在上连续可微,则在和上均满足拉格朗日定理条件,设,则有
故。
8.设在上连续,,求证。
证:
令,则
于是
故
9.设为奇函数,在内连续且单调增加,,证明:
(1)为奇函数;
(2)在上单调减少。
证:
(1)
∴为奇函数。
(2)
由于是奇函数且单调增加,当时,,,故,,即在上单调减少。
10.设可微且积分的结果与无关,试求。
解:
记,则
由可微,于是
解之(为任意常数)
11.若在连续,,,证明:
。
解:
因
所以。
12.求曲线在点(0,0)处的切线方程。
解:
,则,故切线方程为:
,
即。
13.设为连续函数,对任意实数有,求证。
证:
两边对求导
即
令,即得。
14.设方程,求。
解:
方程两边对求导,得
从而
15.设在上连续,求证:
()
证:
设为的原函数,则
左边
右边。
16.当时,连续,且满足,求。
解:
等式两边对求导,得
令得
将代入得:
故。
17.设在连续且递减,证明
,其中。
证:
则
,,
由于递减,
故
即。
18.设连续,,,,试证:
。
证:
在第一个积分中,令,则
而
故
19.设是上的连续函数,,试证在内方程至少有一个根。
证:
由积分中值定理,存在使
即
故是方程的一个根。
20.设在连续,且,又,证明:
(1)
(2)在内有且仅有一个根。
证:
(1)
(2),
又在连续,由介值定理知在内至少有一根。
又,则单增,从而在内至多有一根。
故在内有且仅有一个根。
21.设在上连续,则。
证:
令,,则
故
22.设是以为周期的连续函数,证明:
。
证:
令,则
(∵以为周期)
故
23.设在上正值,连续,则在内至少存在一点,使
。
证:
令
由于时,,故
故由零点定理知,存在一点,使得
即
又
故。
24.证明。
证:
设,则
令,则
故
25.设在上连续且严格单调增加,则。
证:
令
则
∵,在严格单增
∴
则,从而
即
故
26.设在上可导,且,,则。
证:
由假设对,可知在上满足微分中值定理,则有
,
又因,
故
于是。
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