数学建模论文组合投资问题1.doc
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数学建模论文组合投资问题1.doc
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三峡大学科技学院
科院7组:
蔡光达、王奇、鲁成
组合投资问题
摘要
本文讨论了投资的风险和收益问题,建立了投资的单目标和多目标决策模型,并将多目标决策问题转化为单目标的决策模型,采用线性规划问题求解以解决公司的投资组合问题。
利用线性规划和灰色预测模型对公司五年投资过程中的投资的收益和风险分别进行了评估预测,求出了在不同的投资环境下第五年末的最大利润数值。
针对问题一:
本文以第五年所得总金额为目标函数,应用线性规划理论建立了单目标优化模型,并运用Lingo软件求得第五年所得总金额的最大值:
万,则第五年的最大利润:
万。
针对问题二:
本文分别对独立投资和同时投资这两种情况进行分析,对题中表2和表3进行了处理,算出来各项目每一年的到期利润率,分别以到期利润率的时间响应函数和标准差为目标函数建立了模型,运用灰色系统理论对上述两种投资方式近五年的各项目到期利润率进行预测,通过Matlab软件求得了两种不同投资方式的近五年各项目到期利润率预测结果(具体数据见表7.2和表7.3)和各项目标准差(具体数据见表7.5和7.6),并对预测结果进行了级比偏差检验,检验结果显示此时预测结果精度较高。
针对问题三:
本文综合考虑了独立投资和同时投资这两种情况,同样以第五年的所得总金额为目标函数,并建立了单目标优化模型,通过Lingo软件求得第五年所得总金额的最优值:
万,则第五年的最大利润万。
针对问题四:
以题三中标准差最大值表示投资最大风险损失率,为此分别以第五年最大总金额和最小风险损失费为目标函数建立了多目标线性优化目标函数,比运用Lingo软件求得:
当时,可得第五年总金额最大值:
万,则第五年的最大利润万。
针对问题五:
假设一部分资金存入银行获取利息,并向银行贷款进行其他项目投资,然后根据题四方法和思想,运用Lingo软件求得:
当时,可得第五年总金额最大值:
万,则第五年的最大利润万。
关键词:
多目标线性规划;灰色系统理论;LINGO;MATLAB
1.问题重述
1.1问题的提出
某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金,市场上有8个投资项目(如股票、债券、房地产、…)可供公司作投资选择。
其中项目1、项目2每年初投资,当年年末回收本利(本金和利润);项目3、项目4每年初投资,要到第二年末才可回收本利;项目5、项目6每年初投资,要到第三年末才可回收本利;项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利;项目8只能在第三年年初投资,到第五年末回收本利。
1.2需要解决的问题
问题1:
试根据附表1中表1给出的数据确定5年内如何安排投资?
使得第五年末所得利润最大?
问题2:
8个项目独立投资的往年数据见附表2。
实际还会某些出现项目之间相互影响,同时对项目3和项目4投资的往年数据;同时对项目5和项目6投资的往年数据;同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见附表3(注:
同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)。
试根据往年数据,预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
问题3:
未来5年的投资计划中,对投资项目1,公司管理层争取到一笔资金捐赠,若在项目1中投资超过20000万,则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠,用于当年对各项目的投资;项目5的投资额固定,为500万,可重复投资;各投资项目的投资上限见附表1中表4。
在此情况下,根据问题二预测结果,确定5年内如何安排20亿的投资?
使得第五年末所得利润最大?
问题4:
如果考虑投资风险,问题三的投资问题又应该如何决策?
问题5:
为了降低投资风险,公司可拿一部分资金存银行,为了获得更高的收益,公司可在银行贷款进行投资,在此情况下,公司又该如何对5年的投资进行决策?
2.问题分析
根据题意信息,本文投资可分为风险投资和无风险投资,在无风险投资情况下,不考虑风险损失费,公司只需要有策略的对项目进行投资获取最大利润;在有风险情况下,公司需要考虑风险损失费,为了降低风险损失费,公司可以把部分资金存入银行获取利息,还可以向银行贷款用于其他项目投资,从而在此情况下尽可能的获得最大利润。
2.1问题一的分析
这是一个公司在一定资金和在一段时期(5年)内对若干个项目进行投资决策的问题。
本问要求给该公司设计一种投资方案,确定在这段时期(5年)内各个时间段(一年)在各个项目上投入资金,从而使得这段时期末(第5年末)获得预期最高利润,由题中表一知所有项目的到期利润率都大于零,所以此时投资为无风险投资。
显然次问为明显的线性规划问题,我可以建立现行优化目标函数,运用Lingo软件进行求解,可得到最优解和最优投资策略。
2.2问题二的分析
问题二考虑到投资时项目之间的相互影响等情况,通过对题中表二与表三进行数据处理,算出近二十年中各项目到期利润率(详细数据见附表一),对比发现独立投资和同时投资时的各项利润率有很大的不同,并且独立投资时项目一至项目四的到期利润率为正数,即对项目一至项目四投资可以认为是没有风险损失率的;而项目五至八的到期利润率都有负数出现,说明对项目五至八独立投资是有风险损失率的。
同时投资时,若项目五和项目六同时投资,两个项目到期利润率都有负数出现,说明此时两个项目都有风险损失率,同理,若项目五、项目六和项目八同时投资,各项目也都风险损失率。
根据题目要求,要对预测后五年各项目独立投资和项目之间相互影响下到期利润率和风向损失率,则此题可以运用灰色系统理论分析法进行预测。
2.3问题三的分析
问题三在问题一基础上增加了一项捐赠资金,并且对项目五的投资为固定额500万,可重复投资,即对项目五的投资为500万的倍数,同时我们考虑到对各项的投资是独立投资还是同时投资,不同类型的投资其利润率不同,从而所获得的最大利润不同,涉及到这种情况,我们需对这两种情况进行了综合讨论,最终运用线性规划求出最优解
2.4问题四的分析
问题四在问题三是基础上考虑了投资风险,则投资时就有风险损失费,所以公司投资时应该综合考虑投资利润和风险损失费,而且应当使投资利润尽可能的大,风险损失费尽可能的少,但此时还是属于线性规划问题,并且是多目标线性规划问题。
为此我们分别以第五年最大总金额和最小损失费为目标函数建立了目标函数
2.5问题五的分析
问题五在前面基础上增了一项资金处理渠道,即公司为了降低投资风险,可以把一本分资金存入银行获取更多的利润,公司还可以向银行贷款投资,在此种情况下,同样考虑风险,但是在风险小的时候可以在银行贷款进行投资获取最大利润,风险大时可以不投资将钱存入银行获取利息公司对资金的处理更加灵活,所获得的利润较第四问必定会增加,我们同样运用线性规划求得最优解。
3.模型假设
3.1假设存银行投资为第0种投资,到期利润率为常量(因银行利息不变),风险损失率为,其值为0;
3.2假设投资不需要交易费,或者交易费很少,远远少与投资额;
3.3假设投资各个项目的到期利润率,风险损失率均为数学期望,且在这段时期(5年)内都不变;
3.4假设当用这笔资金投资若干个项目时,总体风险可用各年风险损失总和来衡量;
3.5假设题目表3中给出的一些同时投资项目才有互相影响,其他项目则没有相互影响,且不同时间投资的项目也没有互相影响;
3.6项目可以重复投资,且不影响之前的投资;
3.7假设银行利息小于其他投资的利润率。
4.符号约定
公司第年初投资项目的资金
公司第年末投资项目的到期本利;
公司第年末的总资金
公司原有的资金
公司第年初的总资金
公司第个投资项目的利润率;
公司第个投资项目的风险率;
公司第个投资项目的投资上限;
公司第年向银行贷款数;
公司第年向银行贷款的最大投资上限;
第五年的利润
5.问题一的解答
针对问题一我们建立了模型一。
5.1模型一的建立
5.1.1确定目标函数
在没有风险情况下,给定投资额20亿元、各项目的到期利润率和投资上限,算出第5年末的最大总资金即目标函数:
5.1.2确定约束条件
第年初的总投资资金:
第年初的总资金:
要使五年末的利润最大,也就是说五年末的总资金最大,即:
根据题意知,每年对每个项目的投资额不能超过对应项目的投资上限,即:
每年的投资总额不能超过每年初的总资金,即:
5.1.3综上所述,得到问题一的最优化模型
5.2模型一的求解
根据上述建立的模型和确定约束条件,我们运用Lingo软件运行得到第五年末的最大总资金:
5727.3万;则第五年的最大利润为万。
各项的具体点投资方案如下表:
表1投资安排表
(一)
投资额(万元)
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
项目一
51545.45
0
0
0
55218.59
项目二
30000.00
0
0
3500.00
30000.00
项目三
38454.55
0
0
40000.00
0
项目四
30000.00
0
6161.18
30000.00
0
项目五
30000.00
30000.00
30000.00
0
0
项目六
20000.00
20000.00
20000.00
0
0
项目七
0
40000.00
0
0
0
项目八
0
0
30000.00
0
0
各年投资额
200000.00
90000.00
86161.18
73500.00
85218.59
5.3灵敏度分析
我们对结果的灵敏度分析如下表:
表5.1灵敏度分析表
原有资金
150000
180000
190000
200000
210000
220000
250000
300000
286395
340303
358045
375727
393284
409234
450939
535513
由上表可知,当原有总资金在20亿左右变动时,第五年末的总资金与原有资金成正相关关系,即当原有资金减少时,第五年末总资金减少;当原有总资金增加时,第五年末总资金也增加,所以在市场空间范围内,投资得越多,收益也越多。
6.问题二的解答
针对问题二我们建立了两个模型。
6.1模型二的建立
6.1.1确立目标函数
为了预测未来五年各种项目的利润率和风险损失率,我们通过灰色系统理论建立了预测各项未来五年利润率的时间响应函数,并用各项利润率的标准差代表风险损失率,则我们建立的目标函数为:
6.1.2数据检验与处理
(1)级比检验:
建立各项目的利润率的数据序列如下
注:
具体数据见附表一;
(2)求级比:
(3)计算级比的可容覆盖:
(4)级比判断:
如果所有则数列可以作为预测,否则,要对数列进行平移变换处理,使其落入可容覆盖内,
(5)平移变换:
;此时得到新的数据序列
6.1.3建立模型
目标函数为:
各项利润率的标准差为:
6.1.3综上所述,得到问题二的最优化模型
6.2问题二模型一的求解
6.2.1及比检验
首先求出各项目的到期利润率,建立各项目的利润率的数据序列(具体数据见附表一),我们通过MATLAB程序(具体程序见附录二)求解各项目的级比及其可容覆盖并且判断个项目中的的数据是否在可容覆盖内。
在此我们仅列出项目1的级比值及其可容覆盖做参考。
表2项目1的级比值
年份
级比值
年份
级比值
年份
级比值
年份
级比值
1986
0.9932
1991
1.0374
1996
0.9892
2001
1.0303
1987
1.0138
1992
0.9315
1997
0.9686
2002
1.0391
1988
1.0029
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