大一微积分复习资料.doc
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10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导
-10-
第一章函数
一.本章重点
复合函数及分解,初等函数的概念。
二.复习要求
1、能熟练地求函数定义域;会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质,知道它们的几何特点。
3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式,知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。
其中
⑴.对于对数函数不仅要熟记它的运算性质,还能熟练应用它与指数函数互为反函数的关系,能熟练将幂指函数作如下代数运算:
⑵.对于常用的四个反三角函数,不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质,还要熟记它们在特殊点的函数值.
4、掌握复合函数,初等函数的概念,能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、知道分段函数,隐函数的概念。
.三.例题选解
例1.试分析下列函数为哪几个简单函数(基本初等函或基本初等函数的线性函数)复合而成的?
⑴.
⑵.
分析:
分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行,每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)。
解:
⑴.⑵.
例2.的定义域、值域各是什么?
=?
答:
是
的反函数,根据反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,可知的定义域是,值域为.
四.练习题及参考答案
1.
则f(x)定义域为,值域为
f
(1)=;.
2.
则f(x)定义域为,值域为
f
(1)=;.
3.分解下列函数为简单函数的复合:
⑴.
⑵.
答案:
1.(-∞+∞),,
2.
.3.⑴.
⑵.
自我复习:
习题一.(A)55.⑴、⑵、⑶;
习题一.(B).11.
第二章极限与连续
一.本章重点
极限的计算;函数的连续及间断的判定;初等函数的连续性。
二.复习要求
1.了解变量极限的概念,掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是:
函数在x0点的左右极限都存在且相等。
2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系,掌握无穷小量的运算性质,特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。
例如:
3.会比较无穷小的阶。
在求无穷小之比的极限时,利用等价无穷小代换可使运算简化,常用的等价无穷小代换有:
当à0时,有:
~;~
~;
~;
~
~.…….
(参见教材P79)
4.掌握两个重要极限:
(Ⅰ).
(Ⅱ).
记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限,特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限:
5.掌握函数连续的概念,知道结论:
初等函数在其定义区间内都是连续的,分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。
函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是:
函数在x0点极限存在且等于,即:
当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时,函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是:
.
6.掌握函数间断点及类型的判定。
函数的不连续点称为间断点,函数在点间断,必至少有下列三种情况之一发生:
⑴、在点无定义;
⑵、不存在;
⑶、存在,但.
若为的间断点,当及都存在时,称为的第一类间断点,特别=时(即存在时),称为的可去间断点;
时称为的跳跃间断点。
不是第一类间断点的都称为第二类间断点。
7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。
8.能够熟练地利用极限的四则运算性质;无穷小量、无穷大量的关系与性质;等价无穷小代换;教材P69公式(2.6);两个重要极限;初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。
三.例题选解
例1.单项选择题
⑴下列极限中正确的是()
A.B.
C.D.
⑵当时,是的
()
A.低阶无穷小;B.高阶无穷小;
C.同阶无穷小,但不是等价无穷小;
D.等价无穷小;
分析与解:
⑴.A与C显然都不对,对于D,
记,
则
∴
即D也不对,剩下的B就是正确答案。
⑵.由于
∴应选择D.
例3.求极限:
⑴
⑵
解:
⑴此极限为型
∵当时,有
~,~
∴
⑵此极限为型,可用重要极限。
=
.
例2.判断函数的间断点,并判断其类型。
解:
由于
∴是函数y无定义的点,因而是函数y的间断点。
∵
∴为函数y的可去间断点;
∵
∴为函数y的第二类(无穷型)间断。
例3.函数
在点处连续,求常数k.
分析与解:
由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同,因此在连续的充要条件是
∵∴
四.练习题及参考答案
1.填空
⑴.当时,与
相比,是
__________________无穷小;
⑵.__________________;
⑶.______________.
2.单项选择题
⑴.设,下面说法正确的是________;
A.点都是可去间断点;
B.点是跳跃间断点,点是无穷间断点;
C.点是可去间断点,点是无穷间断点;
D.点是可去间断点,点是跳跃间断点;
⑵.下面正确的是______________.
A.;B.;
C.不存在;D..
答案:
1.⑴.同阶而不等价的;⑵.;⑶..
2.⑴.C;⑵.B.
自我复习.习题二(A)
11.(4).24.⑴,(4),⑺.
27.⑴.(4).28.⑴,⑵.
30.⑵.37.⑴,⑶.
习题二(B).14.
第三章导数与微分
一.本章重点.
导数的概念,导数及微分的计算.
二.复习要求
1.掌握函数在处可导的定义,并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。
导数是一个逐点概念,在处的导数的定义式常用的有如下三种形式:
.
2.知道导数的几何意义,会求在处的切线方程。
3.熟记基本求导公式及求导的运算法则,熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数:
⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导;⑵复合函数求导法;⑶隐函数求导法;⑷取对数求导法。
4.理解高阶导数的概念,能熟练求函数的二阶导数。
5.理解微分的概念,能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。
6.掌握函数可微,可导及连续的关系。
三.例题选解
例1.求下列函数的导数:
⑴.,求
⑵.=,求.
⑶.设=,求
⑷.,求
解:
⑴、本题为抽象函数求导,由复合函数求导法,得:
.
⑵本题为幂指函数求导,必须用取对数求导法。
原方程两边取对数:
上式两边对求导,视为中间变量:
=
注:
本题除此方法外,也可以:
⑶.∵.
∴
⑷.
例2.设在处可导,且.
求
分析:
将在处的导数的定义式理解为结构式:
=
其中为或的函数.且当时,即可.
解:
例3.求曲线在点
处的切线方程。
解:
显然,点在曲线上,
现求切线的斜率,即
曲线方程两边对x求导:
解得
∴=1
切线方程为:
即
例4、设
试讨论在处的连续性及可导性。
分析与解:
由已知,;
(1)讨论在处的连续性。
∵
∴在处连续。
(2)讨论在处的可导性。
分段函数在分段点的导数必须用定义求:
即存在
四.练习题及参考答案
1.单项选择题
.设
下面说法正确的是().
A.在不连续;
B..在连续,但不可导;
C.在可导,且;
D.在可导,且.
2.填空题
在处可导,且,则
(1)
3.求函数的导数或微分:
⑴,求
⑵,
求
⑶.,求.
4.设确定是的函数,求
,并求出函数在点的切线方程。
5、证明:
(1)若是偶函数且可导,那么是奇函数,
(2)若是奇函数且可导,那么是偶函数,
答案:
1.D.2.
3.⑴.
(2).;
⑶..
4.;
切线方程:
.
自我复习:
习题三(A)13;21,⑹,⑼;24.⑴,⑵;25;26.⑴,⑺;27.⑸;29.⑵,⑹,⑺;
47.⑴,⑵.54.
习题三(B)1;3;11.
第四章中值定理与导数的应用
一.本章重点
求未定式极限的洛必达法则;应用导数判定函数的单调性,求函数的极值和最值;应用导数确定曲线的凹向与拐点;对经济问题作边际分析;
二.复习要求
1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的,掌握拉格朗日定理推论的意义。
2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
注意:
⑴洛必达法则只能直接用于求“”型或“”型未定式的极限,对于其他类型的未定式极限,必须将其转化为“”型或“”型未定式才能使用法则。
⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.
⑶.在求未定式极限时,将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用,可使运算更简便。
3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。
4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.
5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值;会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.
6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.
三.例题选解
例1.求下列极限
(1).
(2).
(3).
解:
(1)
.
(2)原式为幂指型不定式(型),利用代数变换:
,得:
其中
(代换)
()
.∴原式=
(3)
=
=(代换)
(洛必达)
=.
例2.求函数的单调区间和极值,凹凸区间和拐点。
解:
函数的定义域为
,
。
令,得驻点,
;无不可导点。
两驻点分定义域为三个子区间,列表讨论如下:
x
0
极小
极大
令
得,无不存在的点。
曲线的
凹向及拐点列表讨论如下:
x
0
-
0
+
0
-
0
+
拐点
拐点
拐点
由上面的讨论看出:
函数的单减区间为;
单增区间为。
极小值是,
极大值是。
曲线的凸区间是
凹区间是。
曲线的拐点有三个:
,
,。
例3.证明不等式
分析与证:
证明不等式的方法很多,利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。
这里用单调性来证明。
即令
则问题转化为证
即证在时,单减。
∵
∴时,单减,有
∴也单减,有,证毕。
例4.证明:
对任意,有
分析:
本题为恒等
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