同济六版高等数学(下)知识点整理.doc

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第八章

1、向量在轴上的投影：

性质：

（即Prj），其中为向量与轴的夹角；

（即PrjPrj+Prj）；

（即PrjPrj）.

2、两个向量的向量积：

设，，则

=++

=

注：

3、二次曲面

（1）椭圆锥面：

；

（2）椭圆抛物面：

；（旋转抛物面：

（把把面上的抛物线绕轴旋转））

（3）椭球面：

；（旋转椭球面：

（把面上的椭圆绕轴旋转））

（4）单叶双曲面：

；（旋转单叶双曲面：

（把面上的双曲线绕轴旋转））

（5）双叶双曲面：

；（旋转双叶双曲面：

（把面上的双曲线绕轴旋转））

（6）双曲抛物面（马鞍面）：

；

（7）椭圆柱面：

；双曲柱面：

；抛物柱面：

4、平面方程

（1）平面的点法式方程：

，其中是平面上一点，为平面的一个法向量.

（2）平面的一般方程：

，其中为平面的一个法向量.

注：

由平面的一般方程可得平面的一个法向量

若=0，则平面过原点；

若

若

（3）平面的截距式方程：

，其中分别叫做平面在轴上的截距.

5、两平面的夹角：

特殊：

6、点到平面的距离公式：

7、空间直线方程

（1）空间直线的一般方程：

（2）空间直线的对称式（点向式）方程：

，其中为直线的一个方向向量，为直线上一点

（3）空间直线的参数方程：

8、两直线的夹角：

特殊：

9、直线与平面的夹角：

特殊：

直线与平面平行或在平面内：

10、平面束的方程：

设直线由方程组所确定，其中不成比例，则平面为通过直线的所有平面（不包含平面）

第九章

1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点

2、二重极限存在是指以任何方式趋于时，都无限接近于A，因此当以不同方式趋于时，趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在

3、偏导数：

求时，只要把其他量看作常量而对求导数；

求时，只要把其他量看作常量而对求导数；

注意：

（1）偏导数都存在并不一定连续；

（2）为整体，不可拆分；

（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求

4、若函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为

5、若函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分

6、连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,不一定连续；

连续,不一定可微，但可微,一定连续；

可微,偏导数一定存在，偏导数存在,不一定可微；

可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续,一定可微

7、多元复合函数的求导法则：

（1）一元函数与多元函数符合的情形：

若函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有

（2）多元函数与多元函数复合的情形：

若函数及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且；

（3）其他情形：

若函数在点具有对及对的偏导数，函数在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且；

8、隐函数求导公式：

（1）函数：

（2）函数：

，

9、空间曲线的切线与法平面：

设空间曲线的参数方程为

为曲线上一点

假定上式的三个函数都在上可导，且三个导数不同时为零

则向量为曲线在点处的一个切向量，曲线在点处的切线方程为：

，法平面方程为：

如果空间曲线的方程以的形式给出，

则在点处的切线方程为：

，

法平面方程为：

如果空间曲线的方程以的形式给出，则在点处的切线方程为：

法平面方程为：

10、曲面的切平面与法线：

设曲面方程为，为曲面上一点，则曲面在点处的切平面方程为：

，法线方程为：

11、方向导数：

若函数在点可微，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且

，其中是方向的方向余弦

12、梯度：

称为函数在点的梯度，记作，

即=

13、设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则

14、设函数在点的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又，令

，则在点处是否取得极值的条件如下：

（1）时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；

（2）时没有极值；

（3）时可能有极值，也有可能没有极值

15、具有二阶连续偏导数的函数的极值求法：

第一步：

解方程组，求得一切实数解，即可求得一切驻点；

第二步：

对每一个驻点，求出二阶偏导数的值和；

第三步：

定出的符号，按14的结论判定是不是极值，是极大值还是极小值

注：

上述步骤是求具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也要考虑

16、拉格朗日乘数法：

要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数，其中为参数.求其对及的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来：

，由这方程组解出及，这样得到的就是函数在附加条件下的可能极值点

第十章

1、二重积分的性质

性质1：

设为常数，则

.

性质2：

如果闭区域被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）

性质3：

如果在上，，为的面积，则

性质4：

如果在上，则有：

特殊地，由于则.

性质5：

设分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有.

性质6（二重积分的中值定理）：

设函数在闭区域连续，是的面积，则在上至少存在一点,使得.

2、二重积分直角坐标的计算法：

（1）若积分区域D可用不等式，（X型）来表示，其中、在区间上连续.则

（2）若积分区域D可用不等式，（Y型）来表示，其中、在区间上连续.则

注：

确定次序原则：

（1）函数原则：

内层积分可以积出；

（2）区域原则；

（3）少分块原则.

3、二重积分极坐标的计算法：

（极坐标系中的面积元素：

）

若积分区域D可用不等式，来表示，其中、在区间上连续.则：

（详见P145,146）

4、确定上下限原则：

（1）每层下限小于上限；

（2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数；

（3）外层一定为常数.

5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化：

（1）若积分区域D关于对称，则：

，

其中

（2）若积分区域D关于对称，则：

，

其中

6、直角坐标三重积分的计算：

（1）先一后二：

若，闭区域，则：

（详见P158,159）

（2）先二后一（截面法）：

S1：

将向某轴投影，如轴，；

S2：

对，用平行于面的平面截，截出部分记为；

S3：

计算；

S4：

计算

若空间区域，其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则：

注：

适用于被积函数只有一个变量或为常数

7、柱面坐标三重积分的计算：

；；

=常数，即以轴为轴的圆柱面；

=常数，即过轴的半平面；

=常数，即与面平行的平面

柱面坐标系中的体积元素：

，其中

再化为三次积分计算

，其中，为沿轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）

8、球面坐标三重积分的计算：

，，

球面坐标系中的体积元素：

，

其中，再化为三次积分计算

，其中，为沿轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）

典例：

求由曲面与所围成立体体积（利用三种坐标系求解）

解：

表示球心在原点，半径为的球体，表示上半面圆锥体

直角坐标：

柱面坐标：

球面坐标：

十一章

1、对弧长的曲线积分的计算法：

设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，，其中，在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且

同理：

空间曲线：

2、对坐标的曲线积分的计算方法：

设、在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从的起点沿运动到终点，，在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且

（下限对应于的起点，上限对应于的终点）

同理：

空间曲线：

3、平面曲线上两类曲线积分的联系：

，其中为有向曲线弧在点处的切向量方向角，

同理：

空间曲线上两类曲线积分的联系：

4、格林公式：

设闭区域D由分段光滑曲线围城，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有，其中是D的取正向的边界曲线

注：

取，则，左端表示闭区D的面积A的两倍，因此，

5、设D为单连通区域，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：

（1）沿D内任一条光滑曲线有

（2）对D内任一条分段光滑曲线曲线积分与路径无关

（3）存在，使得

（4）在D内没一点都有

6、对面积的曲面积分的计算法：

7、对坐标的区面积分的计算法：

，等式右端符号取决于积分曲面上下侧

，等式右端符号取决于积分曲面左右侧

，等式右端符号取决于积分曲面前后侧

8、两类曲面积分之间的联系：

，

其中时有向曲面在点处的法向量的方向余弦

9、高斯公式：

设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围城的，函数、、在上具有一阶连续偏导数，则有：

10、斯托克斯公式：

设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数、、在曲面（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有：

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