挑战中考数学压轴题整理好的教案资料.docx
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挑战中考数学压轴题整理好的教案资料
有关平行四边形的存在性问题
一.知识与方法积累:
1.已知三个定点,一个动点的情况
在直角坐标平面内确定点M,使得以
点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,
请直接写出点M的坐标。
2.已知两个定点,两个动点的情况
已知点C(0,2),B(4,0),点A为X轴上一个动点,试在直角坐标平面内确定点M,使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形(画出草图即可)
分以下几种情况:
(1)以BC为对角线,BE为边;
(2)以CE为对角线,BC为边;
(3)以BE为对角线,BC为边;
3.方法归纳:
先分类;(按对角线和边)
再画图;(画草图,确定目标点的大概位置)
后计算。
(可利用三角形全等性质和平行四边形性质,准确求点的坐标)
一.因动点产生的平行四边形问题
如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△MAB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
二.因动点产生的等腰三角形问题
例12012年扬州市中考第27题
如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
图1
三.因动点产生的直角三角形问题
1.(2011•沈阳)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,﹣3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.
①当线段PQ=AB时,求tan∠CED的值;
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
温馨提示:
考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.
四.因动点产生的面积问题
例12012年河南省中考第23题
如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?
若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
图1
五.因动点产生的线段和差问题
例12012年山西省中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;
(2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q.试探究:
随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.
图1
因动点产生的相似三角形问题
原理:
相似定理SAS(两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)
方法:
1观察两三角形是否为特殊三角形,找出两三角形相等的角
2、设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后运用相似对应边成比例来列方程求解。
题型一:
直角三角形相似的问题
例题1
1、如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标
答案:
练习.如图所示,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
题型二
存在公共角的两三角形相似问题
例题如图,在平面指教坐标系内,已知A(0,6),B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向O移动,同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动,设点P、Q移动的时间为t秒。
(1)求直线AB的解析式;
(2)当t为何值时,△APQ于△AOB相似?
(3)当t为何值时,△APQ的面积为24/5个平方单位?
答案:
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b
由题意,得解得
所以,直线AB的解析式为y=-x+6.
(2)由AO=6,BO=8得AB=10
所以AP=t,AQ=10-2t
1)当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB.
所以 = 解得 t=(秒)
2)当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB.
所以 = 解得 t=(秒)
(3)过点Q作QE垂直AO于点E.
在Rt△AOB中,Sin∠BAO==
在Rt△AEQ中,QE=AQ・Sin∠BAO=(10-2t)・=8-t(2分)S△APQ=AP・QE=t・(8-t)
=-+4t=解得t=2(秒)或t=3(秒).
练习:
已知:
如图,在平面直角坐标系中,是直角三角形,,点的坐标分别为,,.
(1)求过点的直线的函数表达式;点,,,
(2)在轴上找一点,连接,使得与相似(不包括全等),并求点的坐标;
(3)在
(2)的条件下,如分别是和上的动点,连接,设,问是否存在这样的使得与相似,如存在,请求出的值;如不存在,请说明理由.
A
C
O
B
x
y
题型三
由平行得出角相等的三角形相似问题
例题:
Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数在第一象限内的图像与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2.
(1)求m与n的数量关系;
(2)当tan∠A=时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式;
(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在
(2)的条件下,如果△AEO与△EFP相似,求点P的坐标.
答案:
(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数的图像上,所以整理,得n=2m.
(2)如图2,过点E作EH⊥BC,垂足为H.在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠A=,EH=2,所以BH=1.因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1).
已知△BDE的面积为2,所以.解得m=1.因此D(4,1),E(2,2),B(4,3).
因为点D(4,1)在反比例函数的图像上,所以k=4.因此反比例函数的解析式为.
设直线AB的解析式为y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2),得解得,.
因此直线AB的函数解析式为.
图2图3图4
(3)如图3,因为直线与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,1),所以FD//x轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO与△EFP相似存在两种情况:
①如图3,当时,.解得FP=1.此时点P的坐标为(1,1).
②如图4,当时,.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1).
练习、设抛物线与x轴交与两个不同的点A(-1,0)、B(m,0),与y轴交与点C,且∠ACB=90°
(1)求m的值和抛物线的解析式
(2)已知点D(1,n)在抛物线上,过点A的直线交抛物线于另一点E。
若点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似,求点P的坐标
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