普通高等学校招生全国统一考试全国II理科 数学试题及答案学生版.docx

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普通高等学校招生全国统一考试全国II理科数学试题及答案学生版

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷理科）

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）

1.已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

2.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

3.已知向量，且，则（）

A.－8B.－6C.6D.8

4.圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）

A.B.C.D.2

5.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

A.24B.18C.12D.9

6.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A.B.C.D.

7.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）

A.B.

C.D.

8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的

（）

A.7

B.12

C.17

D.34

9.若，则（）

A.B.C.D.

10.从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）

A.B.C.D.

11.已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（）

A.B.C.D.2

12.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）

A.0B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）

13.的内角的对边分别为，若，，，则____．

14.是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果，那么.

（2）如果，那么.

（3）如果，那么.

（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.

其中正确的命题有____．（填写所有正确命题的编号）

15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：

“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：

“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____．

16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则____．

三、简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

）

17.为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．

（1）求；

（2）求数列的前1000项和．

18.某险种的基本保费为（单位：

元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19.如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．

（1）证明：

平面；

（2）求二面角的正弦值．

20.已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．

（1）当时，求的面积；

（2）当时，求的取值范围．

21.

（1）讨论函数的单调性，并证明当时，；

（2）证明：

当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

【选修4-1：

几何证明选讲（请回答28、29题）】

22.如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．

（1）证明：

四点共圆；

（2）若，为的中点，求四边形的面积．

【选修4—4：

坐标系与参数方程（请回答30、31题）】

23.在直角坐标系中，圆的方程为．

（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（2）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．

【选修4—5：

不等式选讲（请回答32、33题）】

24.已知函数，为不等式的解集．

（1）求；

（2）证明：

当时，．

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷理科）

数学试题参考答案

1-5.ACDAB6-10.CBCDC11-12.AC

13.14.②③④15.1和316.

17.解：

（1）设的公差为，据已知有，解得

所以的通项公式为

解：

（2）记的前项和为，则

．

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

∴．

18.解：

（1）设表示事件：

“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故

（2）设表示事件：

“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故

又，故

因此所求概率为

（3）解：

设本年度所交保费为随机变量．

平均保费

，

∴平均保费与基本保费比值为．

19.解：

（1）证明：

∵，

∴，

∴．

∵四边形为菱形，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴；

又，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴面．

（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，

所以可以取.设是平面的法向量，则，

即，

所以可以取.于是，.

因此二面角的正弦值是.

20.解：

（1）设，则由题意知，当时，的方程为，.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

因此.等价于，

（2）直线AM的方程为，

联立并整理得，

解得或，

所以

所以

因为

所以，整理得，．

因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得

解得．因此的取值范围是.

21.解：

（1）证明：

∵当时，

∴在上单调递增

∴时，

∴

（2）

由

（1）知，当时，的值域为，只有一解．

使得，

当时，单调减；当时，单调增

记，在时，，∴单调递增

∴．

22.解：

（1）证明：

∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴．

∴B，C，G，F四点共圆．

（2）由四点共圆，知，连结，

由为斜边的中点，知,故

因此四边形的面积是面积的2倍，即

23.

（1）由可得的极坐标方程

（2）在

（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为

由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，

所以的斜率为或.

24.解：

（1）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

（2）由

（1）知，当时，，

从而，

因此