第5章特征值问题计算方法.docx
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第5章特征值问题计算方法
第五章特征值问题计算方法
设或。
特征值问题是求及非零向量,使得
的特征多项式。
当,不能用解析来表示。
因此数值方法为迭代法。
§1幂法与反幂法
(I)方法
设,有个线性无关的特征向量(即可以对角化)。
设的特征值,相应的特征向量为。
并设
称为的主特征值。
幂法是用来求主特征值和相应特征向量的方法。
基本思想
是任取非零向量,由矩阵构造迭代格式
得
由假定,有个线性无关的特征向量。
于是
设。
同理有
对于这个迭代格式分情况讨论
1.主特征值为单根,即
此时
同理:
因为
(充分大!
!
)
这说明,为特征值所对应的特征向量的近似向量。
(为对应于的特征向量。
为的一个倍数)
同样
这表明和近似线性相关。
其中比值为一常数,
即求主特征值。
具体计算时可用
上述方法求得的主特征值,以及对应的特征向量,
主要运算是的乘幂,与初始向量的乘积,因此称为乘幂法。
实际计算中,不能采用上述方法。
因为。
,当时将趋于0。
,当时将趋于。
因此必须修正,即加上规范化的步骤。
对,记
,其中。
幂迭代法计算公式为
任取,
其中最大的分量为1。
可以看到
可以看出,与仅差一个常数倍。
而最大分量为1,所以有
考虑当,时
。
反幂法
如果非奇异存在,并且的特征值均不为零。
设的特征值满足
的特征值为并有:
。
的主特征值为,而且所对应于的特征向量仍为。
对应用幂法求主特征值,就是求得模最小的特征值。
用代替作幂法计算,称为反幂法。
为简单起见,仅考虑
任给初始向量,可作如下迭代
可以得出
实际计算中,不求逆矩阵。
而是解方程组
一般先将作LU分解,必要时做到主元LU分解。
注意到,若参数,
则的特征值为。
如果接近于的一个特征值,且有(*)
则对进行逆幂迭代。
任取
得到
这样算出称为原点位移的逆幂迭代法。
所以要参数满足(*),收敛很快。
例子:
用反幂法求矩阵,
按模最小的特征值及其特征向量。
取
0
1
1.0000
2
4.5652
3
0.9877
4
0.8245
5
0.8134
迭代5次:
。
§2正交换及其应用
(I)Householder变换
Householder变换并不是直接求特征值的方法,
在此仅是一个中间过程,即利用这个变化可以把
对称矩阵变为对称三对角阵。
把一般实阵转化为
上Hessenberg阵,也可以用来收缩求次大特征值。
称为上Hessenberg阵,如果当时有;
定义:
设,称
成为初等反射阵,也称Householder阵。
任给,
那么
定理:
是Householder阵是对称,正交,对合阵。
证明:
对称
正交:
定理:
设,则存在一个Householder阵
,使得。
证明:
令
构造Householder阵:
注意到:
利用条件:
推论:
设,并且
则存在一个Householder阵
使得,其中
证明:
取
。
利用定理
附:
推论中可取号,一般取一个确定符号。
确定方法如下:
设
如果,异号,那么计算时有效数字可能损失。
故一般取和具有相同符号,即取
计算方法:
已知非零的维向量,本算法算出,和,
使得
的分量冲掉的那些分量。
1)
2)
3)
在计算时,可能发生上溢或者下溢,为避免溢出,可将规范化。
已知:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(II)用Householder变换化实矩阵为上Hessenberg阵设
其中为列向量,为行向量。
第一步:
可设,否则不进行约化
利用推论,选取Householder阵,使得
其中
令,其中
对,仿上作,如此一直进行步,可以得到:
定理:
如果,则存在正交阵,使得
(上Hessenberg阵)。
是Householder阵形成的,正交,对合,
,,特征值相同。
(III)Givens变换(初等等旋转变换)
在中,使向量按顺时针方向旋转角后变为,则有
为正交阵
在维Euclid空间中,矩阵
成为平面旋转矩阵,或称Givens矩阵(变换)。
利用矩阵与向量的乘积有:
对任
由此可以得出。
引理1:
设,其中不全为零,则可以选取一个Givens阵,使得
其中:
。
证明:
利用前面计算有:
选取适当,使得
事实上,。
为使上式成立,只需取
这样就有:
定理:
设,非奇异,则存在正交阵,使得
其中:
。
证明:
由于非奇异,故的第一列一定存在,可设。
利用引理1,存在Givens矩阵使
如果上述存在,那么。
广义来说,把看成Givens矩阵。
对同样,左乘Givens矩阵,使得
重复上述过程,可把化成上三角阵。
令
。
上述过程也可用Housholder阵来完成。
(IV)矩阵的分解
定理:
设,非奇异,则存在正交阵和上三角阵,使得
。
若的对角元都为正时,分解为唯一的。
证明:
前面已有
为上三角阵,为正交阵。
令
再证唯一性
其中为正交阵,为上三角阵,并且对角线元素为正。
为上三角阵,也为上三角阵,为上三角阵,也为上三角阵。
可以看出:
为下三角阵,为上三角阵,从而为对角阵。
不妨设
由于是正交阵,。
又因为的对角线元素都为正。
(事实上,。
)
即
设为非奇异阵,由为正交阵,为上三角阵
令
为正交阵。
为上三角阵,其对角线元
§3方法
(I)基本方法
,用Householder变换或者Givens变换。
。
为正交阵,为上三角阵。
可以假定的对角元为正,
那么的分解是唯一的。
令,由,
。
与有相同的特征值。
对于还可以做分解,重复上述过程。
由此得矩阵序列,形成的方法称方法。
方法有如下收敛性定理。
定理:
设,其特征值满足
相应的特征向量为以为列的方阵记为
。
如果可分解为,其中为单位下三角阵,
为上三角阵,那么方法序列,当时,
严格下三角部分元素收敛到零。
对角线元素的极限为:
。
讨论方法计算过程:
现实一步迭代需要做一次分解,一次矩阵乘法。
当是一般矩阵时计算量很大。
实际计算时,为了节约计算量,
总是先将原矩阵经相似变换(Householder变换)先约化到
上Hessenberg阵,再对应用算法,在计算过程中,
保持上Hessenberg形式不变。
设为非奇异上Hessenberg阵,
并设为由的方法得到,即,
那么也是上Hessenberg阵。
事实上,是上Hessenberg阵。
(一个上Hessenberg阵与一个上三角阵乘积)
也上Hessenberg阵。
(II)带原点位移的迭代算法如下:
有时方法收敛很慢,为加速收敛可以类似干幂法
进行原点位移方法。
在第步的原点位移为,
那么迭代算法如下:
具体运算过程(算法实现)
1.用正交变换化为上三角阵。
其中
为一系列Givens阵的乘积。
2.原点位移选取
由于为上Hessenberg阵,故最后一行仅有两个非零元素
;若方法收敛,则当充分大时,就很小,
因而就接近于的一个特征值。
这样,根据反幂法所得的经验,
可以选取位移。
可以证明:
若很小,那么经一次原点位移迭代后,有
。
收敛判别准则:
取
或者
上述方法取第1位移量。
(III)第2位移量
取为的右下角二阶子阵(或称尾部2×2子矩阵)
的两个特征值中靠近的那一个,此称为第二位移量。
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