18章勾股定理导学案Word下载.docx
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B的面积
C的面积
图1
图2
图3
结论1:
等腰直角三角形的两直角边的平方和等于。
2.探究2:
(1)等腰直角三角形有上述性质,其他的直角三角形也有这个性质吗?
如下图,每个小方格的面积均为1,请分别计算出下图中正方形A、B、C,的面积,看看能得出什么结论.(提示:
以斜边为边长的正方形的面积,等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积)
(2)观察右边两幅图,填表。
左图
右图
(3)你是怎样得到正方形C的面积的?
3.猜想命题1:
如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么
。
【归纳猜想】直角三角形三边长度之间存在什么关系?
.
证明:
请用准备好的4个全等的直角三角形,拼成如图的图形,利用面积证明。
(独立思考后可组内交流)
1.已知:
在△ABC中,∠C=90°
,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
4S△+S小正=S大正=
根据的等量关系:
由此我们得出:
2.归纳定理:
直角三角形两条______的平方和等于_____的平方.即:
如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么_________________
3.归纳结论:
经过证明被确认正确的命题叫做定理。
命题1称为勾股定理。
巩固练习:
1.完成书上P69习题第1题
2.在Rt△ABC中,∠C=90°
,①若a=5,b=12,则c=___________;
②若a=15,c=25,则b=___________;
③若c=61,b=60,则a=__________;
④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________。
课堂小结
本节课你学会了什么?
你还有什么疑问?
达标检测
1.一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是()
A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20
2.已知一个Rt△ABC的两条边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
A、25B、14C、7D、7或25
3.已知,如图在ΔABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高.
求①AD的长;
②ΔABC的面积.
拓展应用
1.如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,DB=9。
(1)求DC的长。
(2)求AB的长。
2.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为多少?
3.在Rt△ABC中,一条直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边为多少?
18.1勾股定理(第二课时)
能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题
会用勾股定理解决简单的实际问题
勾股定理的灵活运用
复习回顾:
1.勾股定理的具体内容是:
,它反映了直角三角形的关系,该定理只能在三角形中使用。
2.求出下列直角三角形中未知的边.
3.直角三角形中哪条边最长?
它所对的是什么角?
直角三角形中两个锐角有什么关系?
4.在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求
(1)AC的长
(2)用式子表示长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系.
探究1:
一个门框的尺寸如图所示.
①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过?
②若薄木板长3米,宽1.5米呢?
③若薄木板长3米,宽2.2米呢?
为什么?
思考:
(1)木板横着能否通过?
竖着能否通过?
(2)在长方形ABCD中AB、BC、AC那一条线最长?
探究2:
小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门,他先横着拿不进去,又竖着来拿,结果竹竿比城门高1米,当他把竹竿斜着时,竹竿两端刚好顶着城门的对角,问竹竿长多少米?
提示;
设城门的高x米,则竹竿的长为(x+1)米。
由题意列方程得:
探究3:
已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AB⊥AC,∠B=60°
,CD=1cm,求BC等于多长?
探究4:
如图,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,
其面积分别用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之间
有的关系式.
变式:
如图在Rt△ABC中∠C=90°
,图中有阴影的三个
半圆的面积有什么关系?
巩固练习:
课本P70第2,3题
课堂小结:
本节课你的收获是什么?
还有哪些疑问?
达标检测:
1.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米。
2.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是4
米,则这两株树之间的垂直距离是
米,水平距离是米。
3.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是。
4.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为米。
5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ=厘米。
有一根70cm长的木棒,要放在长,宽,高分别是50cm,40cm,30cm的木箱中,能否放进去?
18.1勾股定理(第三课时)
学习目标
学习重点
学习难点
预习导学
1.如图所示:
在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°
,
AC=3cm,AB=5cm,则Rt△ABC的面积为cm2,
BC=cm,AB边上的高CD=cm。
2.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为
探究新知
如图,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.①球梯子的底端B距墙角O多少米?
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C,请同学们猜一猜,底端也将滑动0.5米吗?
算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).
如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行多少cm?
如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,长BC为10cm.当小红折叠时,顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想,此时EC有多长?
巩固训练
第1题
1.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
2.如图,已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂,竹杆顶部抵着地面,此时,顶部距底部有m;
3.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米。
4.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°
,则江面的宽度为米。
5.有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起?
1.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?
2.如图,小明在广场上先向东走10米,又向南走40米,再向西走20米,又向南走40米,再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.
3.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是多少米?
18.1勾股定理(第四课时)
1.利用勾股定理,能在数轴上表示无理数的点。
2.利用数形结合的思想进行相关作图。
能在数轴上表示无理数的点和勾股定理的综合应用。
勾股定理的灵活运用。
(阅读教材第68至69页,并完成预习内容。
1.勾股定理的内容
2.13=9+4,即
=
+﹝﹞2;
若以和为直角三角形的两直角边
长,则斜边长为
。
同理以和(均填正整数)为直角三角形的两直角边长,则斜边长为
我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示
的点吗?
分析:
(1)如果能画出长为_______的线段,就能在数轴上画出表示
的点。
(2)由勾股定理知,长为
的线段是两条直角边都为______的直角三角形的斜边。
长为
的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?
由勾股定理,可以发现,长为
的线段是直角边为正整数_____、______的直角三角形的斜边。
作法:
在数轴上找到点A,使OA=_____,作直线
垂直于OA,在
上取点B,使AB=_____,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点C即为表示
练习:
在数轴上画出表示
的点?
(尺规作图)
如图:
螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的,
其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。
那么OA1=,
OA2=,OA3=,OA4=,OA5=,OA6=,
OA7=,…,OA14=,…,OAn=.
思考:
利用这种方法能找出表示
和
的线段吗?
我的回答是:
,
原因是
巩固练习
课本P69第2题P70第6题
1利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
如图,已知OA=OB,
(1)说出数轴上点A所表示的数
(2)在数轴上作出—
对应的点。
第2题图
2.有一个长方体盒子,它的长是70cm,宽和高都是50cm.在A点处有一只蚂蚁,它想吃到B点处的食物.,那么它爬行的最短路程是多少?
3.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是()
A.0B.1C.2D.3
4.如图所示,在△ABC中,三边a,b,c的大小关系是()
A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c
5.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为_______
1.把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边,如果要使三角形的面积是9㎝2,那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好.
2.将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD沿直线EF折叠,使C点与A点重合,EF交BC于E点,交AD于F点。
则EB的长是().
A.3B.4C.
D.5
3.一种盛饮料的圆柱形杯(如图),测得内部地面半径为2.5cm,高为12cm,
吸管斜置于杯中,并在杯口外面至少露出4.6cm,问吸管需要多长?
18.2勾股定理的逆定理(第一课时)
1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
勾股定理的逆定理的证明。
预习导学(阅读教材P73—75,完成课前预习)
1、怎样判定一个三角形是直角三角形?
2.画△ABC,使a=3,b=4,c=5,量出∠C的度数;
若改a=2.5,b=6,c=6.5,
再量出∠C的度数.
1.(根据预习第2题的画图)
猜想:
如果三角形的三边长
、
,满足
,那么这个三角形是三角形
这个猜想的题设是:
__________
结论是:
____________________________________
该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好.
2.如果两个命题的题设、结论正好相反,那么这样的两个命题叫做命题,若把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的命题.譬如:
①原命题:
若a=b,则a2=b2;
逆命题:
.(正确吗?
答)
②原命题:
对顶角相等;
.(正确吗?
由此可见:
原命题正确,它的逆命可能也可能.正确的命题叫真命题,不正确的命题叫假命题
验证猜想:
(与同学们一起共同功克P74的探究吧!
△ABC中,BC2+AC2=AB2;
∠C=90°
.
作Rt△A′B′C′,使∠C′=90°
B′C′=BC=a,A′C′=AC=b.
通过证明,我发现勾股定理的逆题是的,它也是一个,我们把它叫做勾股定理的逆定理.
3.回顾与归纳
(1)勾股定理是直角三角形的定理;
勾股定理的逆定理是直角三角形的定理.
(2)任何一个命题都有_____,但任何一个定理未必都有__
(3)已知三角形的三边长,判断该三角形是不是直角三角形的步骤是:
①先算两条短边的再算最长边的;
②把作比较;
③作出.
(4)像6,8,10这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数。
勾股数的特征:
①是个数;
②满足条件.
例1:
判断由线段
组成的三角形是不是直角三角形:
(1)
;
(2)
.
(3)
(4)
1.完成书上P75练习1、2
2.一个三角形的三边之比为3;
4:
5,这个三角形的形状是__________.
3.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是__________.
4.适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为()
①
②
∠A=450;
③∠A=320,∠B=580;
④
⑤
A.2个;
B.3个;
C.4个;
D.5个.
1.三角形的三边长为
则这个三角形是()
A.等边三角形;
B.钝角三角形;
C.直角三角形;
D.锐角三角形.
2.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确。
(1)如果
>0,那么
>0;
()
(2)关于某条直线对称的两条线段一定相等。
()
(3)如果三角形有一个角小于90°
,那么这个三角形是锐角三角形;
(4)如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;
3.已知:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形?
并指出那一个角是直角?
⑴a=9,b=41,c=40;
⑵a=15,b=16,c=6;
⑶a=2,b=
,c=4;
⑷a=5k,b=12k,c=13k(k>0)
1.一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长分别为多少米?
此三角形的形状为什么?
2.如图,在四边形ABCD中,∠C=90°
,AB=13,BC=4,CD=3,
AD=12,求证:
AD⊥BD.
18.2勾股定理逆定理
(2)
1.进一步掌握勾股定理的逆定理,并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力,体会“形”与“数”的结合。
3.在不同条件、不同环境中反复运用定理,达到熟练使用,灵活运用的程度。
4.培养数学思维以及合情推理意识,感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
重点:
勾股定理的逆定理
难点:
勾股定理的逆定理的应用
一.预习新知
如图,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。
求:
四边形ABCD的面积。
归纳:
求不规则图形的面积时,要把不规则图形
二.课堂展示
例1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
例2.如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又已知∠B=90°
三.随堂练习
1.完成书上P76练习3
2.一个三角形三边之比为3:
5,则这个三角形三边上的高值比为
A3:
4:
5B5:
3C20:
15:
12D10:
8:
2
3.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式
+(b-18)2+
=0则△ABC是_______三角形。
四.课堂检测
1.若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是()
A.等腰三角形;
B.直角三角形;
C.等腰三角形或直角三角形;
D.等腰直角三角形。
2.若△ABC的三边a、b、c,满足a:
b:
c=1:
1:
,试判断△ABC的形状。
如图,四边形ABCD,AB=1,BC=
,CD=
,AD=3,且AB⊥BC。
4.小强在操场上向东走80m后,又走了60m,再走100m回到原地。
小强在操场上向东走了80m后,又走60m的方向是。
5.一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你试判断这个三角形的形状。
6.已知△ABC的三边为a、b、c,且a+b=4,ab=1,c=
,试判定△ABC的形状。
7.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点且EC=
BC,求证:
∠EFA=90。
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