角平分线的性质定理和判定.docx

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角平分线的性质定理和判定

课题

11-4角平分线的性质定理和判定

学生姓名

年级

八年级

日期

2012.9.22冯晓娟

第一部分：

知识点回顾

1、角平分线：

把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；

2、角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相等：

①平分线上的点；②点到边的距离；

3、角平分线的判定定理：

到角的两边的距离相等的点在角平分线上

第二部分：

自我评测

知识点

掌握情况

备注

非常好

一般

有待提高

角平分线的定义

角平分线的性质定理

角平分线的判定定理

角平分线的作图

第三部分：

例题剖析

例1.已知：

在等腰Rt△ABC中，AC=BC∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，

（1）求证：

BD+DE=AC．

（2）求△DBE的周长．

分析：

（1）因为AC=BC=BD+CD，只要证明CD=DE即可，又因为AD平分∠BAC，则CD=DE；

（2）由

（1）可知AC=BD+DE，由CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，可证△ACD≌△AED，则AC=AE，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB．

解答：

解：

（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，

∴BC=BD+CD=BD+DE，

AC=BC，

∴AC=BD+DE；

（2）∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，

∴△ACD≌△AED，

∴AC=AE，

∵AC=BD+DE，

∴BD+DE=AE，

∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．

例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，

求证：

AM平分∠DAB．

分析：

首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．

解答：

证明：

作ME⊥AD，

∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，

∴ME=MC，

∵M为BC中点，

∴MB=MC，

又∵ME=MC，

∴ME=MB，

又∵ME⊥AD，MB⊥AB，

∴AM平分∠DAB．

例3.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？

．

分析：

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．

解答：

解：

如图，连接OA，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，

∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，

∴S△ABC=×22×3=33．

故答案为：

33．

第四部分：

典型例题

例1、已知：

如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：

OB=OC．

证明：

∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．

∵AO平分∠BAC，

∴∠1=∠2．

在△AOD和△AOE中，

∠ADC＝∠AEB

∠1＝∠2

OA＝OA

，

∴△AOD≌△AOE（AAS）．

∴OD=OE．

在△BOD和△COE中，

∠BDC＝∠CEB

OD＝OE

∠BOD＝∠COE

，

∴△BOD≌△COE（ASA）．

∴OB=OC．

【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，

求证：

∠PCB+∠BAP=180º

过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．

解答：

证明：

如图，过点P作PE⊥BA于E，

∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，

∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，

在Rt△PEA与Rt△PFC中

PA＝PC

PE＝PF

∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），

∴∠PAE=∠PCB，

∵∠BAP+∠PAE=180°，

∴∠PCB+∠BAP=180°．

点评：

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

例2、已知：

如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．

（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？

请你证明你的结论；

（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？

请说明理由．

3）CD、AB、AD间？

直接写出结果

首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．

（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．

（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．

解答：

（1）证明：

作ME⊥AD于E，

∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，

∴ME=MC，

∵M为BC中点，

∴MB=MC，

又∵ME=MC，

∴ME=MB，

又∵ME⊥AD，MB⊥AB，

∴AM平分∠DAB．

（2）解：

DM⊥AM，

理由是：

∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵DC∥AB，

∴∠CDA+∠BAD=180°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠DMA=180°-（∠1+∠3）=90°，

即DM⊥AM．

（3）解：

CD+AB=AD，

理由是：

∵ME⊥AD，MC⊥CD，

∴∠C=∠DEM=90°，

在Rt△DCM和Rt△DEM中

DM＝DM

EM＝CM

∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），

∴CD=DE，

同理AE=AB，

∵AE+DE=AD，

∴CD+AB=AD．

点评：

本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：

角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【变式练习】1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：

点P在∠C的平分线上．

首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．

解答：

证明：

如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，

∵P在∠BAC的平分线AD上，

∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，

∴PM=PN，

∴PQ=PN，

∴点P在∠C的平分线．

点评：

本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键

例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．

过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可．

解答：

解：

过点D作DF⊥BC于点F．

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，

∴DF=DE=2．

∴△ABC的面积为

1

2

（9×2+6×2）＝15cm2

【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．

求证：

AD平分∠BAC．

首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到

1

2

BF•DM=

1

2

DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．

解答：

证明：

过D作DN⊥AC，DM⊥AB，

△DBF的面积为：

1

2

BF•DM，

△DCE的面积为：

1

2

DN•CE，

∵△DCE和△DBF的面积相等，

∴

1

2

BF•DM=

1

2

DN•CE，

∵CE=BF，

∴DM=DN，

∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）

例4.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．

（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1：

10 000，用尺规作图）．

（2）求出仓库G到铁路的实际距离。

（1）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上；

（2）利用图上距离与实际距离的比值进行计算即可．

解答：

解：

（1）∵其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，

∴利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上，再用刻度尺量出5cm即可得出G点．

（2）仓库到铁路的图上距离为5cm，

则实际距离为5×10 000=50 000cm=500m．

答：

仓库到铁路的实际距离为500m．

【变式练习】如图，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到

三条公路的距离相等，试问：

（1）可选择的地点有几处？

（2）你能画出塔台的位置吗？

第五部分：

思维误区

一、忽视“垂直”条件

例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：

AF为∠BAC的平分线。

错误解法：

正确解法：

∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）

∴∠CDF=∠BEF=90°

∵∠DFC=∠BFE（对顶角相等），BF=CF（已知）

∴△DFC≌△EFB（S.S.A.）

∴DF=EF（全等三角形对应边相等）

∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）

∴点F在∠BAC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

即AF为∠BAC的平分线

错因：

在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直”的条件。

第六部分：

方法规律

（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。

（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。

常用方法有：

使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。

（3）注意：

许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．

第七部分：

巩固练习

A组

一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）

1．三角形中到三边距离相等的点是（　　）

A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点　

C、三条中线的交点　D、三条角平分线的交点

2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）

A、12cm　　　　B、10cm　　　　　C、14cm　　　　D、11cm

3．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）

A.