金融的数学模型与方法试题A评分标准.docx
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年,r = 1+ rDt = 1.0033 , S0 = 70, K = 70
u = 1+ 5% = 1.05, d = 1- 5% = 0.95, Dt =
r - d u -r
莆田学院期末考试试卷参考答案及评分标准
2010—2011 学年 第 1 学期 (A)卷
课程名称:
金融的数学模型与方法 适用年级/专业 08 金融
试卷类别:
开卷( )闭卷(√) 学历层次:
本科 考试用时:
120 分钟
《考生注意:
答案要全部抄到答题纸上,做在试卷上不给分》
一、填空题(每小题 3 分,共 12 分)
1. 一张在确定时间,按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约
2. ct + Ke-r(T -t) = pt + St
3.在相反方向交易 D 份额的原生资产 S ,使得构成的投资组合 Õ :
Õ = V - DS
4. dr = (b - ar)dt + s dBl , dBl = dB + ldt, 其中 a, b,s 为正常数, B(t) 表示标准的
Brown 运动, l 为风险的市场价格。
二、计算题(30 分)
1、(15 分)设今日为 1 月 1 日,现股价为 70 元,无风险利率为 4%,若在三个月
期间,每一个月股价有两种可能:
或上升 5%或下降 5%. 若购买一张 3 月 31 日到期的
敲定价为 70 元的看跌期权,如按合约规定,第 2 个月月底持有人有权提前实施期权,
问期权金为多少?
解:
依题意得,
1
12
p = = 0.53, 1- p = = 0.47
u - d u - d
令 Sa = S0u
n n-a
n
d a ,Van = V (Sa , tn ) (0 £ n £ 3, 0 £ a £ n)
……………………5 分
试卷第 1 页 共 6 页
Va 2 = max í éë pVa 3 + (1- p)Va 3+1 ùû , (K - Sa 2 ) + ý , (n = 2, 0 £a £ 2)
3
Va3 = (K - Sa ) +, (n = 3, 0 £ a £ 3)
ì 1 ü
î r þ
é pVa 2 + (1- p)Va 2+1 ùû , (n = 1, 0 £a £ 1)
1
Va =
1
r ë
V00 =
1
r
ë û
é pV01 + (1- p)V11 ù ,
经计算可得,V00 = 2.35
2、(15 分)若随机过程 X t ,Yt 分别适合随机微分方程:
……………………10 分
dX t = m1dt + s1dWt ,
dYt = m2dt + s 2dWt ,
其中, m1, m2 表示相应的期望回报率,s1,s 2 表示相应的波动率, dWt 表示标准的 Brown
运动。
求 d (
X t
Yt
) = ?
ˆ
解:
由 Ito 公式可得,
dX t - 2t dYt - 2 dX t dYt + 3t (dYt )
d (
X t
Yt
) =
1
Yt
1
X X 2
Yt Yt Yt
……………………8 分
1 Xss X ts 22
Y dX t - X t dYt X ts 22 -s 1s 2Yt
t
= dX t - 2 dYt - 1 2 2 dt +
= t + dt
Yt2 Yt3
Yt Yt Yt Yt3
dt
……………………7 分
三、证明题(共 30 分)
1、(15 分)证明欧式看跌期权的价格 pt (K ) 是敲定价格 K 的凸函数,即设
K1 > K2 , Kl = l K1 + (1- l)K2 , (0 £ l £ 1) ,则有 pt (Kl ) £ l pt (K1) + (1- l) pt (K2 ) 。
证:
在 t(t < T ) 时刻构造两个投资组合
F1 = l p(K1) + (1- l) p(K2 ),
试卷第 2 页 共 6 页
F2 = p(Kl )
在期权的到期日 t = T ,
VT (F1) = l(K1 - ST )+ + (1- l)(K2 - ST )+ ,
VT (F2 ) = (Kl - ST )+
当 ST ³ K1 时,VT (F1) = VT (F2 ) = 0;
当 Kl £ ST < K1 时,VT (F1) = l(K1 - ST ) > 0 = VT (F2 ) ; ……………………8 分
当 K2 < ST < Kl 时,
VT (F1) = l(K1 - ST ),
VT (F2 ) = (Kl - ST ) = l(K1 - ST ) + (1- l)(K2 - ST ) ,
即VT (F1) > VT (F2 ) ;
当 ST £ K2 时,VT (F1) = l(K1 - ST ) + (1- l)(K2 - ST ) = Kl - ST = VT (F2 ) ;
因此在 t = T , VT (F1) ³ VT (F2 ) ,
而 prob{VT (F1) > VT (F2 )}= prob{K2 < ST < K1}> 0.
由无套利原理立得,Vt (F1) > Vt (F2 ) 。
……………………7 分
a
2、(15 分)设 cN -h (r, q, K ) 是利率为 r ,红利率为 q ,敲定价为 K 的欧式看涨期权
a
1a 1a
价格,这里 t = (N - h)Dt (0 £ h £ N ), S = S N -h = S0u N -h-a d a (0 £ a £ N - h) 。
证明:
当 r > r2 时, cN -h (r , q, K ) ³ cN -h (r2 , q, K ) 。
证:
记
1
r1 = 1+ r Dt, r2 = 1+ r2Dt,
r 1r r 2r 2
h
h h
h
1- p1 = , p2 = ,1- p2 =
p1 =
- d u - 1 - d u -
u - d u - d u - d u - d
当 h = 0 时, ca (r1, q, K ) = ca (r2 , q, K )
N N
当 h = 1 时,
试卷第 3 页 共 6 页
é p1caN (r1, q, K ) + (1- p1)caN+1(r1, q, K )ùû
a 1
cN -1(r , q, K ) =
1
r1 ë
=
1
r1
ëaa û
é p1cN (r2 , q, K ) + (1- p1)cN+1(r2 , q, K )ù
êh -r
-
r
h N
= ê cN (r2 , q, K ) + 1 ca +1(r2 , q, K )ú
é 1 d u 1 ù
ú
1
ê u - d u - d ú
ë û
ê ú
a 1a
cN -1(r , q, K ) - cN -1(r2 , q, K )
ç ÷ édc (r , q, K ) - uca +1(r2 , q, K )ùû
1 æ 1 1 ö
-
r 1 ø ëa 2
ç ÷ éëca +1 (Sa +1 , Kd ) - ca +1 (Sa +1 , Ku)ùû
1 æ 1 1 ö N +1 N +1 N +1 N +1
u - d èr 2
r 1 ø
=
=
u - d è r2
-
N N
- > 0 ,又根据看涨期权关于敲定价格递减,可知
1
由于 r > r2 ,则
1 1
r2 r1
aa 1aa 1a 1a
cN+1 (S N++1, Kd ) - cN+1 (S N++1, Ku) ³ 0 ,即 cN -1(r , q, K ) ³ cN -1(r2 , q, K ) 。
……………………10 分
a 1a
假设当 h = m 时, cN -m (r , q, K ) ³ cN -m (r2 , q, K ) 成立,则当 h = m +1时,
a 1
cN -m-1(r , q, K ) =
1
r1
ëa 1a - 1 û
é p1cN -m (r , q, K ) + (1- p1)cN+1m (r , q, K )ù
³
1
r1
ëaa - û
é p1cN -m (r2 , q, K ) + (1- p1)cN+1m (r2 , q, K )ù
êh -r
-
r
h N -m
= ê cN+1m (r2 , q, K ) + 1 ca +1 (r2 , q, K )ú
é 1 d u 1 ù
ú
1
ê u - d u - d ú
ë û
ê ú
a 1a
cN -m-1(r , q, K ) - cN -m-1(r2 , q, K )
ç ÷ éëdca
1 æ 1 1 ö N -m
u - d èr 2
r 1 ø
³
-
a - û
(r2 , q, K ) - ucN+1m (r2 , q, K )ù
ç ÷ éëca +1
1 æ 1 1 ö N -m+1
u - d èr 2
r 1 ø
=
-
a 1a -a 1 û
(S N+-m+1, Kd ) - cN+1m+1(S N+-m+1, Ku)ù ³ 0
即由归纳法,可证命题成立。
……………………5 分
试卷第 4 页 共 6 页
四、综合题(共 28 分)
1、(12 分)若股票 S 不付红利,对于美式看跌股票期权,试说明股价下跌到
一定程度,提前实施是必要的原因?
答:
若在时刻 t , St < K (1- e-r(T -t) ), 那么持有人必须提前实施。
……………………4 分
因为持有人在期权到期日的收益在任何情况下一定不会超过 K 。
但若在 t 时刻
提前实施,当时获益 K - St > K - K (1- e-r(T -t) ) = Ke-r(T -t) , 把这个收益存入银行,
它在的总收入将超过 K 。
因此此时提前实施是必要的。
……………………8 分
2、(16 分)叙述认股权证的定义以及与欧式看涨期权的异同点,并建立认股权证
的数学模型。
答:
认股权证的定义:
持有人在确定的时间,按确定的价格按规定的股数买入一
特定公司的股票。
与欧式看涨期权的异同点:
共同点:
两者均保证持有人有权在未来确定时刻购买股票
不同点:
(1)认股权证所买入的股票是上市公司所发行的新股票,而欧式看涨期权所
购买的股票不一定是新发行的;
(2)认股权证有效期一般为几年,而看涨期权有效期一般为几个月
……………………6 分
认股权证的数学模型:
基本假定:
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- 金融 数学模型 方法 试题 评分标准