第一章抽象群基础.docx
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第一章抽象群基础
第一章抽象群基础
§1.1群
【定义1.1】G是一个非空集合,G={…,g,…},“·”为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算),若G及其运算满足以下四个条件:
(1)封闭性:
f,gG,f·g=h,则hG;
(2)结合律:
f,g,hG,(f·g)·h=f·(g·h);
(3)有单位元:
eG,fG,f·e=e·f=f;
(4)有逆元素:
fG,f-1G,使f·f-1=f-1·f=e;
则称G为一个群,e为群G的单位元,f--1为f的逆元。
·系1.e是唯一的。
若e、e´皆为G的单位元,则e·e´=e´,e·e´=e,故e´=e。
·系2.逆元是唯一的。
若存在f的两个逆元f´=f",则
即
·系3e–1=e
e–1=e-1·e=e,即:
e–1=e。
·系4若群G的运算还满足交换律,f,gG,有f·g=g·f,则称G为交换群,或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构,具有一般性,它象一个空筐子,可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质,就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1整数集{z}及其上的加法+
单位元为0,逆元z-1=-z,构成整数加法群。
例1.2实数集R,运算为加法:
单位元e=0,逆元:
aR,a–1=-a,构成加群。
若运算为数乘,R不构成群,0-1不存在。
不过不包含0的所有实数R/0,构成乘法群,单位元e=1,
逆元:
aR/0,a-1=
例1.3空间反演群{E,I},元素为对向量的变换:
运算定义为群元对向量由右到左的相继作用:
,
,
。
乘法表如右:
例1.4R3中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群,两个转动操作的二元运算为两操作的相继转动。
群元:
为转轴,为转角,乘法:
单位元:
e=(0)
逆元:
例1.5平面正三角形对称群D3(六阶二面体群)
o为重心,固定不动,保持正三角形位形不变的所有空间转动操作,以相继操作为二元运算构成一个群。
保持正三角形不变的对称操作:
e:
不转动;
d:
绕Z轴转120度;
f:
绕Z轴转240度;
a:
绕y轴转180度;
b:
绕2轴转180度;
c:
绕3轴转180度;
D3={e,d,f,a,b,c}
例1.6置换群Sn,又称n阶对称群
群元:
将(1,2…,n)映为自身的置换P:
,…
置换只与每列的相对字符有关,与列顺序天关,如
=
单位元:
P的逆元:
n个数码所有可能的置换数为n!
,其乘法:
=
则所有置换及其乘法结构成一个群,记为Sn群。
可见,群的元素可以是非常广泛的东西,可以是数、操作、变换等等,二元运算也可以有多种类型。
群可以简单分类为:
有限群:
群元个数有限,群元的个数称为群的阶,记为|G|
无限群:
群元个数无限
◆定理1.1◆(重排定理)
设,有
u的作用只是将G元素重排。
证明:
(一)u的作用是单射,(1对1),当不同时给出G中不同群元:
设,若,(即多对一)
两边左乘u-1,有,与假设矛盾
故
(二)u的作用是一个满射,即G中任意群元都可写成ug的形式:
,,记
即,使。
故u的作用是双射(一一映射),即。
类似有:
uG,Gu=G
在乘法表中,每行和每列都是群元的重排,每个群元只出现一次。
§1.2子群和陪集
【定义1.2】设H是群G的一个子集,若对于与群G同样的乘法运算,H也构成一个群,则称H为G的子群,记为。
·系1.的充要条件为:
(1)H,有hH
(2)H,其逆H
例1.7任何群G,都有子群{e}和G {e},G称为显然子群或平庸子群,非平庸的子群称为真子群。 例1.8整数全体构成的加法群是全体实数构成的加法群的子群。 例1.9D3群的子群{e,d,f}。 【定义1.3】循环子群的形式为: Zn={} n为循环群的阶,循环群是阿贝尔群。 例1.10从n阶有限群G的任一元素出发,总可以生成一个G的循环子群。 ,G 作,…,存在k≤n,, 则构成循环群,且。 若,则称的阶为k。 D3群的循环子群: D3={e,d,f,a,b,c} 2阶循环子群: {a,a2=e},{b,b2=e},{c,c2=e} 3阶循环子群: {d,d2(=f),d3=e},{f,f2(=d),f3=e} 【定义1.4】(左陪集和右陪集) 设H是群G的子群,H 子群H的左陪集: 右陪集: 当取不同的gG时,可以得到不同的陪集。 ◆定理1.2◆(陪集定理) 设群H为群G的子群H g1,g2G,则g1Hg2H=Ф,或g1H=g2H. 证明: 设左陪集g1H,g2H有一公共元素 则有 故(重排定理) 故,而 故证毕 ◆定理1.3◆(拉格朗日定理) 有限群的子群的阶,等于该有限群阶的因子。 证: G为n阶群,H为G的m阶子群, 取g1G,g1H,作陪集g1H 取g1G,g2H,g2g1H,作g2H 取giG,giH,g1H,g2H,…,gi-1H等,作giH 得陪集系列: H={h1,h2,…,hm}=eH g1H={g1h1,g1h2,…,g1hm},g1H,因H有单位元e。 g2H={g2h1,g1h2,…,g1hm} 由陪集定理知,这样得到的陪集序列互不相同,没有任何公共元素。 而这些陪集序列最终将穷尽群G中的所有元素(或者说G的任何群元均属于某一陪集串)。 设共有个陪集,则群G的群元个数n为: 即子群的阶m为G群阶的因子。 ·系1有限群G可以分割为其子群的互不相交的陪集串(G可以其子群的陪集串展开)。 例1.11D3={e,d,f,a,b,c}的子群陪集分割。 D3的子群: H1={e,a},H2={e,b} H3={e,c},H4={e,d,f} H1左陪集分割: H1={e,a},bH1={b,f},cH1={c,d} H4左陪集串: H4={e,d,f},aH4={a,b,c} §1.3类与不变子群 【定义1.5】设f,h是群G的两个元素,若有元素gG,使gfg-1=h,则称元素h与f共轭。 记为h~f。 ·系1共轭是相互的,即若h~f,则f~h. ·系2共轭的传递性,若f1~h,h~f2,则f1~f2. 证: f1~h,故g1,使f1=g1hg1-1,故有h=g1-1f1g1 f2~h,故g2,使f2=g2hg2-1=g2g1-1f1g1g2-1=(g2g1-1)f1(g2g1-1)-1 故f1~f2 【定义1.6】群G的所有相互共轭的元素集合,称为群G的一个类。 ·系1一个类被类中任意一个元素所决定,知道了类中某一个元素f,则f所属类的所有元素均可求出: f类= ·系2一个群的单位无e自成一类,gxG,gxegx-1=e, ·系3阿贝尔群的每个元素自成一类,f,gxG,gxfgx-1=f ·系4若元素f的阶为m,即fm=e,则f类所有元素的阶都是m,因 ·系5两个不同的类没有公共元素,一个群可以按共轭类进行分割(名类中元素个数可能不同)。 例1.12D3={e,d,f,a,b,c}的类分割。 D3的元素可分为3类: e类: {e} d类: {d,f} a类: {a,b,c} ◆定理1.4◆有限群每类元素的个数等于群阶的因子。 证明: 设G为n阶有限群,g是G的一个元素, 看g类元素的个数: 作G的子群Hg: Hg={hG∣hgh-1=g}(即内自同构群I(G)在g点的迷向子群) 即Hg由所有与g对易的元素组成。 下面证明: g1gg1-1=g2gg2-1g1,g2g2Hg (一)若g1gg1-1=g2gg2-1,g1,g2G,g1,g2Hg 由g1gg1-1=g2gg2-1可得g2-1g1gg1-1g2=g 即(g2-1g1)g(g2-1g1)-1=g 故g2-1g1Hg由重排定理: g2-1g1Hg=Hg 有g1g2Hg,而g2g2Hg 所以g1,g2g2Hg(g1Hg=g2Hg) (二)若g1,g2g2Hg,则存在hHg,使g1=g2h 故g1gg1-1=g2hgh-1g2-1=g2gg2-1 即g1gg1-1=g2gg2-1g1,g2g2Hg 综上所述: 用Hg的一个左陪集仅能得到g类的一个元素,g类中元素的个数等于Hg的左陪集个数。 即: g类元素个数=Hg左(右)陪集串个数 由拉格朗日定理,Hg的阶为G的阶的因子,故g类元素个数亦为群G阶的因子。 【定义1.7】(共轭子群) 设H和K是G的两个子群,H K=gHg–1={k=ghg–1|hH} 则称H是K的共轭子群。 ·系1共轭子群具有对称性(即相互性)和传递性; ·系2群G的全部子群可以分割为共轭子群类。 【定义1.8】(不变子群) 设H是G的子群,若gG,hxH,有ghxg–1H,则称H为G的不变子群, 记为HG。 ·系1如果H包含元素hx,则它将包含hx的类。 ◆定理1.5◆设H为G的不变子群HG,则gG,有gH=Hg或gHg–1=H. 证明: hH gh=gh(g–1g)=(ghg–1)gHg 故gHHg 又hg=(gg-1)hg=g(g–1hg)gH 故HggH 所以Hg=gH,即gHg–1=H 不变子群的左陪和右陪集相等。 例11.13整数加法群是实数加法群的不变子群,Z+R+ aR,zZ, a+z+(-a)=zZ 实际上阿贝尔群的所有子群都是不变子群。 ◆定理1.6◆设H为G的不变子群HG, 则G的陪集串分割H,g1H,g2H…giH…中,两个陪集giH和gjH中元素的乘积必属于陪集(gigj)H,即giHgjH=(gigj)H。 证明: 有 即giHgjH=(gigj)H 由定理1.6可定义不变子群的商群。 【定义1.9】(不变子群的商群) 设HG,以分割G群的陪集串为元素,做成一个新的集合,{H,g1H,g2H,…,giH,…}并定义集合中元素的乘法规则: giHgjH=(gigj)H,则G的不变子群H生成的陪集串构成一个群,称为不变子群H的商群,记为G/H。 例1.14D3群{e,d,f,a,b,c}的子群H4={e,d,f}是不变子群,子群H4的陪集分割为: H4={e,d,f},aH4={a,b,c} 则商群D3/H4={H4,aH4},可以验证(aH4)2=H4,即D3/H4为二阶循环群Z2。 §1.4群的同构与同态 【定义1.10】两个群G,F,若存在一个从G到F上的满映射φ: GF,且满足: ①映射φ为双射,即G与F中的元素一一对应,φ为一一映射: g1,g2G,g1g2φ(g1)φ(g2) ②映射φ保持群的运算结构不变: (g1g2)=(g1)。 (g2),其中“。 ”为群F的乘法
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- 第一章 抽象 基础