马鞍山中加双语学校九年级下册清学稿数学文档格式.docx
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设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆内d<r;
点P在圆上d=r;
点P在圆外d>r
1.在AB=5cm为直径的圆上,到AB的距离为2.5cm的点有个。
2.⊙O的半径r=10cm,圆心到直线l的距离OM=8cm,在直线l上有一点P,且PM=6cm,则点P在⊙O
3.已知点P到⊙O上最远点的距离为a,最近点的距离为b,则⊙O的半径为.
4.设AB=3cm,作出到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。
25.2圆的有关概念
1.圆的定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆
到定点O的距离等于定长r的点组成的图形叫做圆。
2.圆的有关概念。
1.确定一个圆的条件是_________和________.
2.下列语句中,不正确的个数是()
①直径是弦;
②弧是半圆;
③长度相等的弧是等弧;
④经过圆内一定点可以作无数条直径.
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.下列语句中,不正确的是()
A.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形
B.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°
57′时,不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
4.如图,⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上,图中弦的条数有()
A.2条B.3条C.4条D.5条
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=40°
;
以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D,求∠ACD的度数.
第25章垂径定理
(1)
班级姓名时间节次
知识梳理:
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
注意:
(1)垂直于弦
(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧可以:
知二推三
逆定理:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
当堂清学:
1、如图所示,在⊙O中,直径MN⊥AB,垂足为C,则下列结论中错误的是( )
A.AC=CB B.
C.
D.OC=CN
2、如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,那么弦AB的长是多少?
3、如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l,则弦AB的长是多少?
4、过⊙O内一点M的最长弦为10
cm,最短弦长为8cm,则OM的长为()
A.9cmB.6cmC.3cmD.
整洁度:
等级:
第25章垂径定理
(2)
(1)垂直于弦
(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧(可以:
知二推三)
1、如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB于E,CD=10,BE=1,则AB=。
2、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E,求AB和AD的长。
第25章垂径定理(3)
1、求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化
为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
2关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,
这是一条非常重要的辅助线。
如图所示,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知,AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=300,求CD的长。
选做:
如图所示,⊙O表示一个圆形工件,图中标注了有关尺寸,并且MB:
MA=1:
4,求工件的半径的长。
第25章垂径定理(4)
1、如图,过⊙O的直径AB的两个端点A、B分别作弦CD的垂线,垂足分别为E、F。
求证:
CE=DF
2.如图,过⊙O的直径AB的两个端点A、B分别作弦CD的垂线,垂足分别为E、F。
CE=DF
§
25.2圆心角定理及其推论(第1课时)
圆心角定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
推论:
(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。
1、已知:
如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据定理及推论填空:
(1)如果AB=CD,那么______,_______,_______。
(2)如果OE=OF,那么_______,________,________。
(3)如果AB=CD,那么_______,________,_______。
(4)如果∠AOB=∠COD,那么______,_____,_____。
2、如图所示,OA、OB、OC是⊙O的半径,弧AC=弧BC,点M、N分别是OA、OB的中点。
MC=NC
O
M
N
A
B
C
25.2圆心角定理及其推论(第2课时)
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
结论:
n°
的圆心角对着n°
的弧,n°
的弧对着n°
的圆心角。
即圆心角的度数和它所对的弧的度数相等
1、在⊙O中,一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4,则弦AB所对的圆心角为。
2、在半径为2的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为1,则弦AB所对的圆心角的度数为。
3、如图:
已知OA、OB是⊙O中的两条半径,且OA⊥OB,D是弧AB上的一点,AD的延长线交OB延长线于C。
已知CD=OD,求∠DOB的度数。
25.2圆心角定理及其推论(第3课时)
如图所示,CD为⊙O的弦,在CD上取CE=DF,连结OE、OF,并延长交⊙O于点A、B。
(1)试判断△OEF的形状,并说明理由;
(2)求证:
弧AC=弧BD
25.3确定圆的条件(清学稿)
一、知识梳理
1、定理:
不在同一直线上的三点确定一个圆.
2、定义:
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,
外接圆的圆心叫做三角形的外心,
这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
3、外心的性质
三角形的外心到三个顶点的距离相等.
1.经过平面上一点可以画个圆;
经过平面上两点A、B可以作个圆,这些圆的圆心在.
2.锐角三角形的外心在;
直角三角形的外心在;
钝角三角形的外心在.
3.下列说法正确的是()
A.三点确定一个圆B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆D.圆有且只有一个内接三角形
4.下列命题中的假命题是()
A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B.三角形的外心到三角形三边的距离相等
C.三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D.三角形任意两边的中垂线的交点,是这个三角形的外心
5.下列图形一定有外接圆的是()
A.三角形B.平行四边形C.梯形D.菱形
6.如下图,CD所在的直线垂直平分线段AB.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?
整洁(画√):
A□B□C□D□得分:
25.3反证法(清学稿)
一.知识梳理
反证法一般步骤:
(1)反设:
先假设命题不成立,
(2)推理:
从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,的结果;
(3)结论:
从而得出假设命题不成立,是错误的,
即所求证的命题正确.
二.当堂清学
1.用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x≠a且x≠b.
证明假设_________或_________,
由于____________时,_________________,
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
又_________时,_________________,
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________.
2.反证法证明:
一个三角形中不能有两个角是直角.
已知:
△ABC.求证:
∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.
25.4圆周角1(清学稿)
二、知识梳理
1、圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
2、推论1:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。
应用
猜想
3、推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°
的圆周角所对的弦是直径。
4、本节课涉及:
归纳
(1)研究方法:
特殊——一般——特殊
(2)数学思想:
转化、分类讨论。
1、若一条弧的度数是70°
,则它所对的圆心角是,它所对的圆周角是。
2、若一个圆周角等于80°
,则它所对的圆心角为,它所对的弧的度数是。
3、如图,在⊙O中,∠ACB=30°
,弦AB=1.8cm,求⊙O的直径。
25.4圆周角2(清学稿)
三、知识梳理
1、推论1:
2、推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°
1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。
根据下图,你能判断哪个是半圆形?
为什么?
2.如图,∠1=__,∠2=__
3.如图,P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°
。
△ABC是等边三角形
25.4圆的内接四边形(清学稿)
四、知识梳理
1.圆内接四边形的性质
2.圆内接四边形的判定
3.解题时应注意两点:
(1)注意观察图形,分清四边形的外角和它的内对角的位置,不要受背景的干扰.
(2)证题时,常需添辅助线-----两圆共有一条弦,构造圆内接四边形.
4.思想和方法:
分类讨论思想,反证法.
五、当堂清学
1、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°
则∠BAD=,∠BCD=.
2、如图,圆内接四边形ABCD中,∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,
则∠A=∠B=∠C=∠D=.
3.求证:
圆的内接平行四边形是矩形。
如图,四边形ABCD是平行四边形;
四边形ABCD是矩形。
A□B□C□D□等分:
25.5直线与圆的位置关系
(1)
知识梳理
当堂清学
1.如图,已知∠BAC=30度,M为AC上一点,且AM=5cm,以M为圆心、r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?
(1)r=2cm
(2)r=4cm
(3)r=2.5cmD
2.在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=5cm,BC=12cm,以C为圆心,r为半径作圆.
①当r满足 时,直线AB与⊙C相离.
②当r满足 时,直线AB与⊙C相切.
③当r满足 时,直线AB与⊙C相交.
④当r满足时,线段AB与⊙C只有一个公共点.
整洁(划√):
A□B□C□D□得分:
25.5切线的性质
(2)
一.知识梳理
切线的性质定理:
圆的切线_______经过_______的______.
二.当堂清学
1.⊙O的圆心到直线L的距离为5cm,直线L与⊙O有唯一公共点,问⊙O的半径r是多少厘米_______
2.如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,CD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,∠ACD=120º
,BD=10.
(1)求证:
CA=CD;
(2)求⊙O的半径.
C
25.5切线的判定(3)
切线的判定定理:
经过____外端并且________这条半径的直线是圆的切线
1.判断下列命题是否正确
过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
()
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半径的圆与底边相切。
2.如图,两个同心圆,大圆的两条弦AB=CD.AB切小圆于点E.
求证:
CD也是小圆的切线.
25.6三角形的内切圆
(一)(清学稿)
定义:
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,
这个三角形叫做圆的外切三角形。
性质:
1.三角形的内心到三角形各边的距离相等;
2.三角形的内心在三角形的角平分线上;
1、如图,△ABC的顶点在⊙O上,△ABC的各边
与⊙I都相切,则△ABC是⊙I的三角形;
△ABC是⊙O的三角形;
⊙I叫△ABC的圆;
⊙O叫△ABC的圆,点I是△ABC的心,
点O是△ABC的心
2、已知:
在△ABC中,BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F,求AF、BD和CE的长.
25.6三角形的内切圆
(二)(清学稿)
三角形的内切圆
(1)三角形的内心是三角形内切圆的圆心
(2)三角形的内心是三角形各角平分线的交点
(3)三角形内心到三边的距离相等
(4)三角形面积
(C为三角形周长,r为内切圆半径)
(5)直角三角形的内切圆的半径为r与各边长a、b、c的关系是
1、直角三角形的两边分别是3cm,4cm.则其内切圆的半径为______。
2、如图,一个木模的上部是圆柱,下部是底面为等边三角形的直三棱柱。
圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆,已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm,求圆柱底面圆的半径。
25.7圆与圆的位置关系(清学稿)
1、已知⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2,圆心距d=5,r1=2.
⑴若⊙O1与⊙O2外切,求r2;
⑵若r2=7,⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系?
⑶若r2=4,⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系?
2、同心⊙O,R=5cm,r=3cm,若⊙P与两圆都相切,求⊙P半径。
相交
相离
内含
外切
相切
内切
外离
位置关系
图形
交点个数
d与R、r的关系
25.7圆与圆的位置关系二(清学稿)
定理1两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦
定理2两圆相切时,连心线通过切点
1、⊙O1,⊙O2相交于A、B两点,且两圆半径都等于公共弦AB,设AB=a,求∠AO1B的大小及O1O2的长。
25.8正多边形与圆
正多边形定义:
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
结论1:
把圆分成n(n≥3)等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
结论2:
经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形.
1、下列说法正确的是()
A各角相等的圆内接多边形是正多边形
B各边相等的园内接多边形是正多边形
C矩形为正多边形
D各边相等的多边形为正多边形
2、已知半径为R的圆O,作出圆O的内接正三角形(至少用两种作法)
25.8正多边形与圆练习评讲
.当堂清学
如图,正五边形ABCDE的对角线AC、BE交于F。
△ABF∽△EBA
EF²
=BF·
BE
(3)若边长AB=a,求对角线BE的长。
25.9弧长公式
在半径为R的圆中,n°
的圆心角所对的弧长为:
1.已知弧所对的圆心角为120o,圆的半径为6,则弧长是
2.如图,同心圆中,大圆半径OA、OB交小圆于C、D,且OC∶OA=1∶2,则弧CD与弧AB长度之比为
3.一圆弧的圆心角为144°
,弧长等于半径为2cm的圆的周长,则该弧所在的圆的半径是____
4.如图,某传送带的一个转动轮的半径为40cm,当物体从A传送20πcm至B时,那么这个转动轮转的角度为多少?
25.9扇形面积公式
在半径为R的圆中,圆心角为n°
的扇形面积为:
1.已知扇形的面积为6πcm²
,其所在圆的半径为6cm,则此扇形的圆心角是
弧长是
2.如图,四边形OABC是菱形,点B,C在以点O为圆心的弧EF上,且∠1=∠2,若扇形OEF的面积为3π,求菱形OABC的边长。
25.9圆锥的侧面积和全面积
1.圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系:
2.设圆锥的母线长为
底面半径为r.则圆锥的侧面积公式
全面积公式为:
1.圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,它的侧面展开图的圆心角是_________;
圆锥的侧面积为_________;
底面积_________;
全面积是_________
2.如图所示的扇形中,半径R=10,圆心角θ=144°
用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高
25.9弧长与扇形面积(四)
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