最新高中数学经典例题优秀名师资料Word文档格式.docx
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连结、、,在?
中,BDADBBD111
E、ODB?
分别是和的中点,BB1
?
(EO//BD1
面,BA,AADD1111
为在面内的射影(DADBAADD1111
又?
,AD,AD11
AD,DB(11
同理可证,BD,DC(11
AD:
CD,DADDC,ACD又?
,、面,111111
BD,ACD?
平面(11
BD//EO?
,1
EO,ACD?
平面(1
-2-
AE、CEAE,CE另证:
连结,,设正方体的棱长为,易证(DODBa11
AO,OC又?
,
OE,AC?
(
在正方体中易求出:
DB1
2,,26222,,,DO,DD,DO,a,a,a11,,22,,
22,,a23,,22,,,OE,BE,OB,,a,a,,,,222,,,,
22a3,,22,,DE,DB,BE,2a,,a(,,111122,,
222?
,DO,OE,DE11
(DO,OE1
AC,?
,、平面,DO:
AC,ODOACD111
OE,?
要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法(在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应用(
典型例题四
ABCSA,ABCSBSCA,B,90例4如图,在?
中,,平面,点在和上的射影分
M、NMN,SC别为,求证:
本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化思
SC,MNSC,AMNSC,ANAN,想(欲证,可证面,为此须证,进而可转化为证明平SBCAN,SBAN,BC面,而已知,所以只要证即可(由于图中线线垂直、线面垂直关系较多,所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂
直(
SA,ABCBC,ABC证明:
面,平面,
SA,BC?
BA:
SA,AAB,BC,B,90?
,即,,
BC,SAB?
平面(
-3-
AN,SAB?
BC,AN?
SB:
BC,BAN,SB又?
,,
AN,SBC?
SC,SBC?
平面,
AN,SC?
AM:
AN,AAM,SC又?
SC,AMN?
MN,AMN?
SC,MN?
AN,SBC另证:
由上面可证平面(
MNSBC?
为在平面内的射影(AM
AM,SC?
MN,SC?
在上面的证题过程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明线面垂直,而证
明线面垂直又转化为证明线线垂直(立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现
SA,OOCO的(本题若改为下题,想想如何证:
已知AB?
所在平面,为?
的直径,为?
CA、BSBSBSCM、NA上任意一点(与不重合)(过点作的垂面交、于点,求证:
AN,SC(
典型例题五
BCABBAHH例5如图,为平面的斜线,为斜足,垂直平面于点,为平面内,,,
,ABH,,,HBC,,的直线,,,,求证:
(,ABC,,cos,,cos,,cos,分析:
本题考查的是线面角的定义和计算(要证明三个角余弦值之间关系,可考虑构造直角三角形,在直角三角形中求出三个角的余弦值,再代入验证证明,其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理(
BCHHDDAD证明:
过点作垂直于点,连(
AH,,?
ADHD?
在平面,内射影为(
BC,HDBC,,?
BC,AD?
BHRt,ABHcos,在?
中有:
?
BA
BDRt,BHDcos,在?
BH
BDRtABDcos,,在?
cos,,cos,,cos,由?
、?
可得:
-4-
由此题结论易知:
斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的
一切角中最小的角(若平面的斜线与平面所成角为,则斜线与平面内其它直线所成角的,
,,范围为(,,,,2,,
典型例题六
ABCDCG,ABCDCG,2E、F例6如图,已知正方形边长为4,平面,,分别是AB、ADGEFB中点,求点到平面的距离(
此题是1991年高考题,考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力(本题是求平面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距离转化
GEFB为求另一点到该平面的距离(为此要寻找过点与平面平行的直线,因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等(
BD、ACAC证明:
连结EFBD,和分别交于
H、OGHOK,GHK,连,作于(
ABCDE、FAB、AD为正方形,分别为的中?
点,
EF//BDAOH?
,为中点(
BD//EFBD,GFE?
,平面,
BD//GFE?
GFEOEFGBD?
与平面的距离就是点到平面的距离(
BD,ACEF,AC?
,?
GC,ABCDGC,EF?
面,?
GC:
AC,C?
GCHEF,?
OK,GCH?
EF,OK?
GH:
EF,HOK,GH又?
OK,GEF?
OKGEFB即长就是点到平面的距离(
CG,2?
正方形边长为4,,
AC,42HO,2HC,32?
,,(
22RtHCGHG,HC,CG,22在?
中,(
HO,GC211RtGCHOK,,在?
中,(HG11
求点到平面的距离常用三种方法:
一是直接法(由该点向平面引垂线,直接计算
CBFE垂线段的长(用此法的关键在于准确找到垂足位置(如本题可用下列证法:
延长交的
-5-
GMBN//CGMGNPN延长线于,连结,作于,作交于,连结,再作PMBP,ME
BH,PNGFEEFG于,可得平面,长即为点到平面的距离(二是转移BHBH,BH
法(将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离(三是体积法(已知棱锥的体积和底面的面积(求顶点到底面的距离,可逆用体积公式(
典型例题七
ABCSSA,SB,SC例7如图所示,直角所在平面外一点,且(
SACSDABC
(1)求证:
点与斜边中点的连线,面;
D
BA,BCSAC
(2)若直角边,求证:
面(BD
由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直,从而得到线面垂直(
SACACSD,ACD证明:
(1)在等腰中,为中点,?
SEABEDE取中点,连、(
ED//BCBC,ABDE,AB?
,,?
SE,ABSEDAB,SDAB,又,?
SDABCACABC,AB?
面(、是面内两相交直线)(
BA,BCBD,AC
(2)?
SDABCSD,BD,又?
SD:
AC,DSACBD,?
面(
证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直(寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直,可由勾股定理进行计算,可由线面垂直得线线垂直等(
典型例题八
例8如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(
a//ba,,b,,已知:
,(求证:
b,分析:
由线面垂直的判定定理知,只需在内找到两条相交直线与垂直即可(
mn证明:
如图所示,在平面内作两条相交直线、(
a,,a,ma,n?
,(
-6-
b//ab,mb,n又?
,从而有,(
由作图知、为内两条相交直线(mn,
b,,?
本题的结论可以作为判定线面垂直的依据,即当要证的直线与平面的垂直关系不
明确或不易证出时,可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直(
典型例题九
:
AB,,例9如图所示,已知平面平面=EF,A为、外一点,于B,,,,,
CCD,,于,于(证明:
(DBD,EFAC,,
CABCDABD,BD,EFEF分析:
先证、、、四点共面,再证明平面,从而得到(
AB,,CD,,AB//CD,,?
(证明:
CABD?
、、、四点共面(
AB,,AC,EFAB,EF?
,,,?
,(AC,,,:
,EF
AB:
AC,AABCDEF,又,?
EF,BD?
与线面平行和线线平行交替使用一样,线面垂直和线线垂直也常互为条件和结
CAB论(即要证线面垂直,先找线线垂直;
要证线线垂直,先找线面垂直(本题证明“、、、
ABCDEF,EF,BD四点共面”非常重要,仅由平面,就断定,则证明是无效的(
典型例题十
SAABA,M例10平面,内有一半圆,直径,过作平面,,在半圆上任取一点,连
SMSBNSMSBHA、,且、分别是在、上的射影(
NH,SB
(1)求证:
;
(2)这个图形中有多少个线面垂直关系,
(3)这个图形中有多少个直角三角形,
(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线,
注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断(
-7-
(1)证明:
连、(如上图所示,AMBM
为已知圆的直径,?
(ABAM,BM
SABM,,SA,MB?
平面,,?
(,,
SA,ASAM?
平面(,BM
ANSAMBM,AN?
平面,?
(,
BM:
SM,MAN,SMNANSMB?
于,,?
平面(,
AH,SBNHSMBNH,SB?
于,且是在平面的射影,?
(HAH
SASAMANSMB解
(2):
由
(1)知,平面,平面,平面(,,,AMBBM
SB,AHSB,HNSBANH?
且,?
平面,,
图中共有4个线面垂直关系(
SA,SAB,SAM(3)?
平面,?
、均为直角三角形(AMB
SAM,BMS?
、均为直角三角形(BM,BAM
ANSMB,ANS,ANM,ANH?
、、均为直角三角形(SBANH,SHA,SHN,BHN,?
、,BHA、、均为直角三角形(综上,图中共有11个直角三角形(
SASA,AMSA,ABSA,BM,(4)由平面AMB知,,,(
SAMBM,SMBM,AN,由BMBM,AM平面知,,,(ANSMBAN,SMAN,SBAN,NH,由平面知,,,(SBANHSB,AHSB,HN,由平面知,,(
综上,图中共有11对互相垂直的直线(
,面”可得到“线说明:
为了保证
(2)(3)(4)答案不出错,首先应找准
(2)的答案,由“线
,面内线”,当“线面内线”且相交时,可得到直角三角形;
当“线面内线”且不相交时,
可得到异面且垂直的一对直线(
典型例题十一
,BAC,90:
PA例11如图所示,(在平面内,是的斜线,,,
,PAB,,PAC,60:
PA(求与平面所成的角(,
AOPAPA分析:
求,,与平面所成角,关键是确定在平面上射影的位置(由
,PAB,,PACAO,可考虑通过构造直角三角形,通过全等三角形来确定位置,构造直角
三角形则需用三垂线定理(
PO,,OAOP解:
如图所示,过作于(连结,
AO,PAOAPPA,,则为在面上的射影,为与平面所成的角(OM,ACPM,AC作,由三重线定理可得(
ON,ABPN,AB作,同理可得(
,PAB,,PAC,PMA,,PNA,90:
PA,PA由,,,
PNAPM,PN,PMA可得?
OMONPNOM,ONPM,?
、分别为、在内射影,?
-8-
O,BAC所以点在的平分线上(
1PA,a,PAM,60:
,OAM,45:
设,又,?
,,AM,a2
2?
(AO,2AM,a2
AO2,POA在中,,cos,PAO,,PA2
,PAO,45:
45:
,即与所成角为(PA,
,BAC
(1)本题在得出在面上的射影为的平分线后,可由公式PA,cos,,cos,,cos,
,PAC,,,60:
,PAO,,PA来计算与平面所成的角,此时,,(,,CAO,,,45:
,BACP,ABCPA
(2)由与平面上射影为平分线还可推出下面结论:
四面体中,若,
,PAB,,PAC,PBA,,PBCABC,ABCA,,则点在面上的射影为的内心(
典型例题十二
ABCSSA,ACSB,BC内有,在平面外有点,斜线,,例12如图所示,在平面,,SASBS4cmAC,BC且斜线、分别与平面所成的角相等,设点与平面的距离为,,,,AB,6cmSAB且(求点与直线的距离(
SDA,ACDDBDA分析:
由点向平面引垂线,考查垂足的位置,连、,推得,,
DB,BC,ACB,90:
CABD,又,故、、、为矩形的四个顶点(
SD,DDADB解:
作平面,垂足为,连、(,
SA,ACDB,BC?
DA,ACDB,BC?
由三垂线定理的逆定理,有:
,,AC,BCACBD又,?
为矩形(
SA,SBACBDDA,DB又?
为正方形,
CDAB?
、互相垂直平分(
OCDSOAB设为、的交点,连结,
SO,ABSOSAB根据三垂线定理,有,则为到的距离(
-9-
1Rt,SODSD,4cm在中,,,DO,AB,3cm2
SO,5cm?
S5cm因此,点到的距离为(AB
由本例可得到点到直线距离的作法:
(1)若点、直线在确定平面内,可直接由点向直线引垂线,这点和垂足的距离即为所求(
(2)若点在直线所在平面外,可由三垂线定理确定:
由这点向平面引垂线得垂足,由垂足引直线的垂线得斜足,则这点与斜足的距离为点到直线的距离(
(3)处理距离问题的基本步骤是:
作、证、算,即作出符合要求的辅助线,然后证明所作距离符合定义,再通过解直角三角形进行计算(
典型例题十三
ABCDSAABCDSCSBA例13如图,是正方形,垂直于平面,过且垂直于的平面交、SCSDGAE,SBAG,SDE、分别于点、F、,求证:
本题考查线面垂直的判定与性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化的思
AE,SBSBCAE,想(由于图形的对称性,所以两个结论只需证一个即可(欲证,可证平面,
AE,BCAE,SCBC,SABSC,AEFG为此须证、,进而转化证明平面、平面(
SAABCDBC,ABCD,证明:
平面,平面,
ABCD又?
BC,AB?
BC,ASB?
ASBAE,?
BC,AE?
SC,AEFG又?
SC,AE?
SBCAE,?
SB,SBC又?
AE,SBAG,SD?
,同理可证(
(1)证明线线垂直,常用的方法有:
同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理,三垂线定理与它的逆定理,以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直(
(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系,充分体现了数学化思想的优越性(
典型例题十四
例14如图,求证:
如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平
-10-
面内的射影在这个角的平分线上(
,BACP,,PF,ACPO,,已知:
在平面内,点,,,,垂足分别是PE,AB,
O,BAO,,CAO、、,(求证:
(EFPE,PF
PO,,证明:
OE?
为在内的射影(PE,
AB,平面,?
,,AB,PE
AB,OE?
AC,OF同理可证:
PO,,OE,OF又?
,PE,PF,,
,BAO,,CAO?
本题是一个较为典型的题目,与此题类似的有下面命题:
从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角两边的夹角相等,则斜射线在平面内的射影,是这个角的平分线所在的直线(由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题:
已知,ACB,90:
SACB,SCA,,SCB,60:
SCACB,为平面外一点,,求与平面所成角(
典型例题十五
例15判断题:
正确的在括号内打“?
”号,不正确的打“×
”号(
(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行(()
(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直(()
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边(()
AA(4)过点垂直于直线的所有直线都在过点垂直于的平面内(()a,
(5)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面(()
(1)直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种?
平行?
异面,因此应打“×
”号
(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系(?
若为平行,则该命题应打“×
”号;
若为相交,则该命题应打“?
”,正是因为这两种情况可能同时具备,因此,不说明面内无这数条线的位置关系,则该命题应打“×
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则该直线必垂直于三角形的第三边,?
该命题应打“?
”(
(4)前面介绍了两个命题,?
过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,?
过一点有且只
Aa有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:
过点垂直于直线的平面惟一,因此,
AAaa过点且与直线垂直的直线都在过点且与直线垂直的平面内,?
bbOacac(5)三条共点直线两两垂直,设为,,且,,共点于,
b:
c,0a,ba,cba,,c,?
,,,且,确定一平面,设为,则,
bacc同理可知垂直于由,确定的平面,垂直于由了确定的平面,
-11-
本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题(解答此类问题必须作到:
概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用(
典型例题十六
ABCDBC,ACBE,CD例16如图,已知空间四边形的边,,引,为AD,BDE
AH,平面BCD垂足,作AH,BE于H,求证:
AH,平面BCDAH分析:
若证,只须利用直线和平面垂直的判定定理,证垂直平面BCD中两条相交直线即可(
CFABFDF证明:
取中点,连、,
AC,BCCF,AB?
AB,平面CDFAD,BDDF,AB又?
CD,ABCD,平面CDF又,?
CD,BECD,AHCD,平面ABE又,?
AH,平面BCDAH,BE又,?
典型例题十七
ba//,例17如果平面,,a与外一条直线都垂直,那么(
b,,a//,a,直线b已知:
直线,,(求证:
(a,,
'
aa//a,分析:
若证线面平行,只须设法在平面内找到一条直线,使得,由线面平行判定定理得证(
bbaa证明:
(1)如图,若,与相交,则由、确定平面,设(,:
,a
-12-
b,aa//a,,?
b,,,,'
b,a,又a,,,a//,(,,,'
a,,,,,'
a,,a,b,a,,,,
b
(2)如图,若与不相交,a
则在AA上任取一点,过作,、确定平面,设(b//bbaa,,:
,,b,,?
b//b,'
,,b,aa//a,,,'
b,,,又a,,,,,'
(,又a,,,a//,,,'
?
b//bb,a,,a,,,,,,'
b,a又b,a,a,,,,
典型例题十八
ABC,BAC,60:
AD,平面ABC例18如图,已知在中,,线段,
AH,平面DBCH,为垂足(
DBCH求证:
不可能是的垂心(
根据本题所证结论,可采用反证法予以证明(
DBCBH,DCH证明:
如图所示,假设是的垂心,则(
DC,AHAH,平面DBC?
-13
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