函数的单调性与导数教学案.doc
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平湖市新华爱心高级中学教学案之教案
课题
函数的单调性与导数
课型:
新授课
主备教:
夏昌盛
总课时:
第6课时
学习目标
1.了解可导函数的单调性与其导数的关系;
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次;
教学重难点
教学重点:
利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学难点:
利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间
一.创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用。
二.新课讲授
1.问题:
图3.3-1
(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,图3.3-1
(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如图3.3-3,导数表示函数在点处的切线的斜率.
(图3.3-3)
在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;
在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.
结论:
函数的单调性与导数的关系
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
说明:
(1)特别的,如果,那么函数在这个区间内是常函数.
3.求解函数单调区间的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间.
三.典例分析
例1.已知导函数的下列信息:
当时,;
当,或时,;
当,或时,
试画出函数图像的大致形状.
解:
当时,,可知在此区间内单调递增;
当,或时,;可知在此区间内单调递减;
当,或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数图像的大致形状如图3.3-4所示.
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1);
(2)
(3);(4)
解:
(1)因为,所以,
因此,在R上单调递增,如图3.3-5
(1)所示.
(2)因为,所以,
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减;
函数的图像如图3.3-5
(2)所示.
(3)因为,所以,
因此,函数在单调递减,如图3.3-5(3)所示.
(4)因为,所以.
当,即时,函数;
当,即时,函数;
函数的图像如图3.3-5(4)所示.
注:
(3)、(4)生练
例3.如图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像.
分析:
以容器
(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.
解:
思考:
例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?
一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.
如图3.3-7所示,函数在或内的图像“陡峭”,
在或内的图像“平缓”.
例4.求证:
函数在区间内是减函数.
证明:
因为
当即时,,所以函数在区间内是减函数.
说明:
证明可导函数在内的单调性步骤:
(1)求导函数;
(2)判断在内的符号;
(3)做出结论:
为增函数,为减函数.
例5.已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
解:
,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得:
所以实数的取值范围为.
说明:
已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:
即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
例6.已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.
解:
y′=(x+)′
=1-1·x-2=
令>0.
解得x>1或x<-1.
∴y=x+的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
令<0,解得-1<x<0或0<x<1.
∴y=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1)
四.课堂练习
1.求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x3-6x2+72.f(x)=+2x3.f(x)=sinx,x4.y=xlnx
2.课本练习
五.回顾总结
(1)函数的单调性与导数的关系
(2)求解函数单调区间
(3)证明可导函数在内的单调性
备课札记
教学反思
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- 函数 调性 导数 教学
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