中考数学复习⑦平行四边形及矩形菱形正方形存在性问题探究文档格式.docx
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1.若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示,则直接利用坐标系中平行四边形的基
本特征:
即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解.
2.若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示,则利用列方程组解图形交点的
方法解决.
3.灵活运用平行四边形的中心对称的性质,也可使问题变得简单.
4.平移坐标法.先由题目条件探索三点的坐标(若只有两个定点,可设一个动点的坐标).再画出以三点为顶点的平行四边形,根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标.最后根据题目的要求(动点在什么曲线上),判断平行四边形的存在性.
1.矩形:
增加对角线相等和邻边垂直的性质,还可以转化为直角三角形的存在性问题.
2.菱形:
增加四边相等和对角线垂直的性质,还可以转化为直角三角形或等腰(等边)三角形存在性问题.
3.正方形:
兼顾以上性质,还可以转化为等腰直角三角形存在性问
题.,典题精讲)
◆平移坐标法
例1】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两
点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P,如果以点P,A,C,D为顶点的四边形是
平行四边形,求点D的坐标.
直线两两相交,产生3个符合条件的点D(如图).
22
由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得A(-3,0),C(0,3),P(-1,4).
3),
所以
P(-1,
右3,
4)右==3,=
上3
==D1(2,7).
下3,
左3
0),
4)===
==D2(-4,1)
右1,
下1
A(-3,
0)右==1,=
==D3(-2,-
1).
右1,下1
由于P(-1,4)=====C(0,
由于A(-3,0)右==3,==上=3C(0,
下3,左3
由于C(0,3)=====A(-3,
我们看到,用坐标平移的方法,远比用解析式构造方程组求交点方便多了.
【答案】点D的坐标为(2,7)或(-4,1)或(-2,-1).
◆两定两动的分类讨论(对点法的应用)
【例2】如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<
0)与x轴交于
A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:
y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与
抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数解析式;
(其中k,b用含a的式子表示)
5
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为45,求a的值;
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?
若能,求出点P的坐标;
若不能,请说明理由.
【解析】1.过点E作x轴的垂线交AD于F,那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形.
2.以AD为分类标准讨论矩形,当AD为边时,AD与QP平行且相等,对角线AP=
QD;
当AD为对角线时,AD与PQ互相平分且相等.
【答案】解:
(1)由y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3),得A(-1,0).
由CD=4AC,得xD=4.所以D(4,5a).
由A(-1,0),D(4,5a),得直线l的函数解析式为y=ax+a;
(2)如图②,过点E作x轴的垂线交AD于F.
设E(x,ax2-2ax-3a),F(x,ax+a),那么EF=yE-yF=ax2-3ax-4a.
由S△ACE=S△AEF-S△CEF=12EF(xE-xA)-12EF(xE-xC)=21EF(xC-xA)=12(ax2-3ax-4a)
13225
=2ax-2-8a,
得△ACE面积的最大值为-25a.解方程-25a=5,得a=-2;
8845
(3)已知A(-1,0),D(4,5a),xP=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:
①如图③,如果AD为矩形的边,那么AD∥QP,AD=QP,对角线AP=QD.由xD-xA=xP-xQ,得xQ=-4.
当x=-4时,y=a(x+1)(x-3)=21a.所以Q(-4,21a).
由yD-yA=yP-yQ,得yP=26a.所以P(1,26a).
由AP2=QD2,得22+(26a)2=82+(16a)2.
整理,得7a2=1.所以a=-77.此时P1,-2677;
②如图④,如果AD为矩形的对角线,那么AD与PQ互相平分且相等.
由xD+xA=xP+xQ,得xQ=2.所以Q(2,-3a).
由yD+yA=yP+yQ,得yP=8a.所以P(1,8a).由AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.
整理,得4a2=1.所以a=-12.此时P(1,-4).
1.已知抛物线
y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交
于点C,顶点为P.若以A,C,P,M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.(三定一动型)
解:
(1)确定位置:
如图.
①以A,C,P三个定点为顶点画△APC;
②过点A作PC的平行线,过点P作AC的平行线,过点C作AP的平行线;
三条直线相交于M1,M2,M3;
(2)代数法求点M的坐标:
n-0=4-3,
-3-m=0-(-1)
如图:
设点M1(m,n),利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等可得:
解得n=1,即M1(-4,1).
m=-4,
同理可得:
M2(-2,-1),M3(2,7).
综上所述,点M的坐标为(-4,1),(-2,-1),(2,7).
123
2.如图,抛物线y=-2x2+2x+2与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A,点B,点C的坐标;
(2)求直线BD的解析式;
(3)当点P在线段OB上运动时,直线l交BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形.
∴C(0,2).
当y=0时,-2x+2x+2=0,
解得x1=-1,x2=4.
∴A(-1,0),B(4,0);
(2)∵点D与点C关于x轴对称,∴D(0,-2).
设直线BD为y=kx-2,
把B(4,0)代入,得0=4k-2,
∴k=.
∴k=2.
解得m1=0(不合题意,舍去),m2=2.
∴m=2.
3.(2017兰州中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,1
4)两点,直线AC:
y=-2x-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
2
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的解析式;
(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3)在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?
求出此时点E,H的坐标.
(1)∵点A(-4,-4),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,-16-4b+c=-4,
∴
c=4,
b=-2,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+4;
(2)设直线AB的解析式为y=kx+n,
∵直线AB过点A,B,
n=4,k=2,
-4k+n=-4,n=4,
∴直线AB的解析式为y=2x+4,
设E(m,2m+4),
∴G(m,-m2-2m+4),
∵四边形GEOB是平行四边形,
∴EG=OB=4,
∴-m2-2m+4-2m-4=4,
∴m=-2,
∴G(-2,4);
(3)①如图,
由
(2)知,直线AB的解析式为y=2x+4,∴设E(a,2a+4),
1
∵直线AC:
y=-2x-6,
∴Fa,-2a-6,
设H(0,p),
∵以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形
∵直线AB的解析式为y=2x+4,
直线AC:
y=-2x-6,
∴AB⊥AC,
∴EF为对角线,
11
∴2(-4+0)=2(a+a),
12(-4+p)=21错误!
,
∴a=-2,p=-1,∴E(-2,0),H(0,-1).
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