概率论与数理统计习题答案修订版复旦大学第一二章课后习题答案文档格式.docx
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P(A)P(A|Bi)P(Bi)
i03
=(0.4×
0.5×
0.3+0.6×
0.7)0.2+
(0.4×
0.3+0.4×
0.7+0.6×
0.7)0.6+0.4×
0.7
=0.458
习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只
球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.
X3,4,5
P(X3)
P(X4)10.1C353
0.3C3
5
C2
4P(X5)30.6C5
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,
以X表示取出的次品个数,求:
(1)X的分布律;
(2)X的分布函数并作图;
(3)
133P{XP{1XP{1XP{1X2}.222
X0,1,2.
3C1322P(X0)3.C1535
2C112
2C13P(X1)3.C1535
C11P(X2)13.3C1535
(2)当x&
lt;
0时,F(x)=P(X≤x)=0
当0≤x&
1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=2235当1≤x&
2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1
故X的分布函数3435
x00,22,0x135F(x)34,1x2351,x2
(3)
1122P(X)F(),2235
333434P(1X)F()F
(1)02235353312P(1X)P(X1)P(1X)2235
341P(1X2)F
(2)F
(1)P(X2)10.3535
3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.
P(X0)(0.2)30.008
2
P(X1)C130.8(0.2)0.096
P(X2)C(0.8)0.20.384P(X3)(0.8)30.512
故X的分布律为
分布函数
3
x00,
0.008,0x1
F(x)0.104,1x2
0.488,2x3
x31,P(X2)P(X2)P(X3)0.896
4.
(1)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a
k
k!
,
其中k=0,1,2,„,λ>0为常数,试确定常数a.
(2)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N,k=1,2,„,N,
试确定常数a.【解】
(1)由分布律的性质知
1P(Xk)a
k0
ae
故ae
(2)由分布律的性质知
1P(Xk)
k1
NN
a
aN
即a1.
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:
(1)两人投中次数相等的概率;
(2)甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)
(1)P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)
P(X3,Y3)
212(0.4)3(0.3)3C1
30.6(0.4)C30.7(0.3)+
22C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3
0.32076
(2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)
P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)
23223C1
30.6(0.4)(0.3)C3(0.6)0.4(0.3)
22(0.6)3(0.3)3C3(0.6)20.4C10.7(0.3)3
2322(0.6)3C1
30.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,
则有
P(XN)0.01
即
利用泊松近似kN1C200k200(0.02)k(0.98)200k0.01
np2000.024.
e44k
P(XN)0.01k!
kN1
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)
P(X2)1P(X0)P(X1)
1e0.10.1e0.1
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
4223C1
5p(1p)C5p(1p)
故p13
4所以P(X4)C5()1
34210.3243
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,
(1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;
(2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.
(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)
kP(X3)C5(0.3)k(0.7)5k0.16308
k35
(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)
kP(Y3)C7(0.3)k(0.7)7k0.35293
k37
10.某公安局在长度为t的时间间隔
(2)P(X1)1P(X0)1e,k=0,1,25211.设P{X=k}=C2p(1p)
P{Y=m}=C4p(1p)mm4m2k,m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=
【解】因为P(X1)5,试求P{Y≥1}.954,故P(X1).99
2而P(X1)P(X0)(1p)
4,9
1即p.3故得(1p)2
从而P(Y1)1P(Y0)1(1p)4650.8024781
12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中
恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
np20000.0012
e225
0.0018得P(X5)5!
13.进行某种试验,成功的概率为31,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44
数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.
【解】X1,2,,k,
13P(Xk)()k144
P(X2)P(X4)P(X2k)
131313()3()2k1444444
1
3141()25
4
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:
(1)保险公司亏本的概率;
(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
(1)在1月1日,保险公司总收入为2500×
12=30000元.
设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为
P(2000X30000)P(X15)1P(X14)
由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有
e55k
P(X15)10.000069k!
k014
(2)P(保险公司获利不少于10000)
P(300002000X10000)P(X10)e55k
0.986305k!
k010
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P(保险公司获利不少于20000)P(300002000X20000)P(X5)
0.615961k!
k05
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae|x|,∞&
x&
+∞,
求:
(1)A值;
(2)P{0&
X&
1};
(3)F(x).
(1)由
f(x)dx1得
1Aedx2Aexdx2A0|x|
1.2
11x11
(2)p(0X1)edx(1e)202
x11exdxex(3)当x&
0时,F(x)22
x101x1e|x|dxxdxexdx当x≥0时,F(x)2202
1x1e2故A
1xe,2故F(x)11ex
2x0x0
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为
100,x100,f(x)=x2
x100.0,
(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率;
(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率;
(3)F(x).
1001dx.100x23
28p1[P(X150)]3()3327
41122
(2)p2C3()339
(1)P(X150)150
(3)当x&
100时F(x)=0
当x≥100时F(x)x
f(t)dt
100
x
f(t)dt
x
f(t)dt
100100
t1100t2
100
x1001
故F(x)x
x00,
17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在[0,中任意小区间由题意知X~∪[0,a],密度函数为
1
0xa
f(x)a
其他0,
故当x&
0时F(x)=0当0≤x≤a时F(x)当x&
gt;
a时,F(x)=1
即分布函数
f(t)dtf(t)dt
xx
1xtaa
0,
xF(x),
a1,
x00xaxa
18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测
值大于3的概率.【解】X~U[2,5],即
2x5
f(x)3
P(X3)
故所求概率为
53
12
dx33
23202221pC3()C33()
33327
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E().某顾客在窗口
等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等
到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求P{Y≥1}.【解】依题意知X~E(),即其密度函数为
15
x15e,x0f(x)50,x0
该顾客未等到服务而离开的概率为
x15P(X10)edxe2105
Y~b(5,e2),即其分布律为
kP(Yk)C5(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5
P(Y1)1P(Y0)1(1e)0.516725
20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服
从N(40,102);
第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).
(1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?
(2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?
(1)若走第一条路,X~N(40,102),则
x406040P(X60)P
(2)0.977271010
若走第二条路,X~N(50,42),则
X506050P(X60)P(2.5)0.9938++44
故走第二条路乘上火车的把握大些.
(2)若X~N(40,102),则
X404540P(X45)P(0.5)0.69151010
若X~N(50,42),则
X504550P(X45)P(1.25)44
1(1.25)0.1056
故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N(3,22),
(1)求P{2&
X≤5},P{4&
X≤10},P{|X|>2},P{X>3};
(2)确定c使P{X>c}=P{X≤c}.
(1)P(2X5)P23X353222
11
(1)
(1)122
0.841310.69150.5328
43X3103P(4X10)P222
770.999622
P(|X|2)P(X2)P(X2)
X323X323PP2222
1515112222
0.691510.99380.6977
P(X3)P(X33-3)1(0)0.522
(2)c=3
22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度在10.05±
0.12故
24.设随机变量X分布函数为
ABext,x0,F(x)=(0),x0.0,
(1)求常数A,B;
(2)求P{X≤2},P{X>3};
(3)求分布密度f(x).
limF(x)1A1x【解】
(1)由得limF(x)limF(x)B1x0x0
(2)P(X2)F
(2)1e2
P(X3)1F(3)1(1e3)e3
ex,x0(3)f(x)F(x)x00,
25.设随机变量X的概率密度为
x,f(x)=2x,
0,0x1,1x2,其他.
求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x).
【解】当x&
0时F(x)=0
1时F(x)
xxf(t)dt0f(t)dtf(t)dt0xx2
tdt02
当1≤x&
2时F(x)x
0f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt01
11x
1tdt(2t)dt0
1x232x222
x2
2x12
当x≥2时F(x)x
f(t)dt1
x0
0x1
0,2x,2故F(x)2x2x1,21,
26.设随机变量X的密度函数为1x2x2
(1)f(x)=ae|x|,λ&
0;
bx,1
(2)f(x)=2,x
(1)由0x1,1x2,其他.|x|试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).
f(x)dx1知1aedx2aexdx02a故a
xe,x02即密度函数为f(x)exx02
当x≤0时F(x)
当x&
0时F(x)xf(x)dx1xdxex22xx
f(x)dx
1xe202xdxx20xdx1
故其分布函数
1x1e,x02F(x)1ex,x02
(2)由1
f(x)dxbxdx01211b1dxx222得b=1即X的密度函数为
0x1x,1f(x)2,1x2
x
其他0,
当x≤0时F(x)=0
当0&
1时F(x)
xxf(x)dx0f(x)dxf(x)dx0x0x2xdx2
当1≤x&
2时F(x)f(x)dx0dxxdx001x11dx2x
312x
当x≥2时F(x)=1
故其分布函数为
0,2x,F(x)2
31,2x1,
27.求标准正态分布的上分位点,
(1)=0.01,求z;
(2)=0.003,求z,z/2.
(1)P(Xz)0.01
即1(z)0.01即x00x11x2x2(z)0.09故z2.33
(2)由P(Xz)0.003得
1(z)0.003
即(z)0.997查表得z2.75由P(Xz/2)0.0015得
1(z/2)0.0015
即(z/2)0.9985查表得z/22.96
求Y=X的分布律.
【解】Y可取的值为0,1,4,9
P(Y0)P(X0)1
11761530P(Y1)P(X1)P(X1)1P(Y4)P(X2)5
11P(Y9)P(X3)30
故Y的分布律为
29.设P{X=k}=(k),k=1,2,„,令2
1,当X取偶数时Y1,当X取奇数时.
求随机变量X的函数Y的分布律.
【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)
111()2()4()2k222111()/
(1)443
P(Y1)1P(Y1)
30.设X~N(0,1).
(1)求Y=eX的概率密度;
(2)求Y=2X2+1的概率密度;
(3)求Y=|X|的概率密度.
(1)当y≤0时,FY(y)P(Yy)0
当y&
0时,FY(y)P(Yy)P(exy)P(X
lny)
23lny
fX(x)dx
故fY(y)
(2)P(Y2X11)12dFY(y)1ln2y/2fx(lny),y0dyy当y≤1时FY(y)P(Yy)0
1时FY(y)P(Yy)P(2X21y)
PX
故
fY(y)2y1PX2fX(x)dxdFY(y)ffXXdy
(y1)/4
y1
(3)P(Y0)1
当y≤0时FY(y)P(Yy)0
0时FY(y)P(|X|y)P(yXy)y
yfX(x)dx故fd
Y(y)dyFY(y)fX(y)fX(
y)
y2/2,y0
31.设随机变量X~U(0,1),试求:
(1)Y=eX的分布函数及密度函数;
(2)Z=2lnX的分布函数及密度函数.
(1)P(0X1)1
故P(1YeXe)1
当y1时FY(y)P(Yy)0
当1&
y&
e时FX
Y(y)P
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