一元二次方程根与系数的关系习题精选含答案Word格式文档下载.docx
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12.(2014?
峨眉山市二模)已知X1、X2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则-:
的最大
值是()
A.19B.18C.15D.13
13
的两根,且x1+x2=3,X1X2=1,贝Ua、b的值
.(2014?
陵县模拟)已知:
X1、X2是一元二次方程x2+2ax+b=0
分别是()
A.a=—3,b=1
B.a=3,b=1
c.a=-7,b=-1
b=1
14.(2013?
湖北)已知
a,3是一元二次方程X2-5x-2=0的两个实数根,则
a2+a+3的值为(
C.23
D.27
15.(2013?
桂林)已知关于X的一元二次方程x2+2x+a-仁0有两根为X1和X2,且X1
2-X1X2=0,则a的值是
A.a=1
B.a=1或a=-2
C.a=2
a=1或a=2
16.(2013?
天河区二模)
已知一元二次方程X2-4x+3=0两根为x1、
X2,贝Uxi+x2=(
B.
17.(2013?
青神县一模)
已知
m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,
二F二的值等于(
mn
3
■5
18.(2012?
莱芜)已知
n是方程x2+2
.:
-x+1=0的两根,则代数式
的值为()
19.(2012?
天门)如果关于X的
元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根X1,X2满足X1X2-2x1-2x2-5=0,
那么a的值为(
13
D.-13
20.(2011?
锦江区模拟)若方程
X2-3x-2=0的两实根为
X1、X2,则(X1+2)(X2+2)的值为(
D.12
21.(2011?
鄂州模拟)已知p2
-p-1=0,1-q-q2=0,且pq力,则
22
.(2010?
滨湖区一模)若△ABC的一边a为4,另两边b、c分别满足b2-5b+6=0,c2-5c+6=0,则△ABC
的周长为()
A.9B.10
二•填空题(共4小题)
23.(2014?
莱芜)若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数,则k=__.
24.(2014?
呼和浩特)已知m,n是方程x2+2x-5=0的两个实数根,则m2-mn+3m+n=__.
25.(2014?
广州)若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根X1、X2,则X1(x2+x1)+X22的最小
值为.
26.(2014?
桂林)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两根为X1和X2,且(X1-2)(X1-X2)
=0,贝Hk的值是.
三.解答题(共4小题)
27.(2014?
泸州)已知X1,X2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.
(1)若(X1-1)(X2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若X1,X2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
28.(2014?
日照二模)已知X1,X2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-仁0的两个实数根,其满足
(3x1-X2)(X1-3x2)=-80.求实数a的所有可能值.
29.(2013?
孝感)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根X1,X2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得X1?
X2-X12-X22%成立?
若存在,请求出k的值;
若不存在,请说明理由.
30.(2001?
苏州)已知关于x的一元二次方程/-:
<:
.-+丄:
」-:
-.,
(1)求证:
不论k取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设X1、X2是方程的两个根,且X12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.
参考答案与试题解析
宜宾)若关于x的一元二次方程的两个根为xi=1,X2=2,则这个方程是()
A.x2+3x-2=0
B.X2-3x+2=0
C.X2-2x+3=0
D.x2+3x+2=0
考点:
根与系数的关系.
分析:
解决此题可用验算法,因为两实数根的和是1+2=3,两实数根的积是1^2=2.解题时检验两根之和丄是
a
否为3及两根之积壬是否为2即可.
解答:
解:
两个根为X1=1,X2=2则两根的和是3,积是2.
A、两根之和等于-3,两根之积等于-2,所以此选项不正确;
B、两根之和等于3,两根之积等于2,所以此选项正确;
C、两根之和等于2,两根之积等于3,所以此选项不正确;
D、两根之和等于-3,两根之积等于2,所以此选项不正确,
故选:
点评:
验算时要注意方程中各项系数的正负.
昆明)已知X1,X2是一元二次方程X2-4x+1=0的两个实数根,则X1?
专题:
计算题.
直接根据根与系数的关系求解.
根据韦达定理得X1?
X2=1.
C.
占评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a旳)的根与系数的关系:
若方程两个为xi,X2,则xi+x2=,八、、-3
Xl?
x2=丄.
x2-mx+m-2=0的两个实数根,
先由
兀二次方程根与系数的关系得出,xi+x2=m,xix2=m-2.假设存在头数
m使-+——=0成立,
Kl|x2
则
=0,求出m=0,再用判别式进仃检验即可.
解:
-xi,X2是关于x的一兀二次方程x2mx+m2=0的两个头数根,
二m=0.
当m=0时,方程x2-mx+m-2=0即为x2-2=0,此时△=8>
0,
•••m=0符合题意.
A.
的两根时,那么Xi+X2=
-p,xix2=q.
南昌)若a,B是方程x2-2x-3=0的两个实数根,则a2+丘的值为()
B.9
根据根与系数的关系求得a+3=2,a=-3,则将所求的代数式变形为(a+3)2-2a0将其整体代入即可
求值.
解:
Ta,3是方程x2-2x-3=0的两个实数根,
•a+3=2,a=-3,
•a2+金=(a+3)2-2a=22-2>
(-3)=10.
此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
贵港)若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为xi=-2,x2=4,则b+c的值是()
A.-10B.10C.-6D.-1
根据根与系数的关系得到-2+4=-b,-2“=c,然后可分别计算出b、c的值,进一步求得答案即可.
t关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为X1=-2,x2=4,
根据根与系数的关系,可得-2+4=-b,-2>
4=c,
解得b=-2,c=-8
•b+c=-10.
此题考查根与系数的关系,解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系:
X1+X2=-—,X1X2="
^
小、•aa
6.(2014?
烟台)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5,贝Ua的值是()
A.-1或5B.1C.5D.-1
根与系数的关系;
根的判别式.
设方程的两根为X1,X2,根据根与系数的关系得到X1+X2=a,X1?
X2=2a,由于X12+X22=5,变形得到(X1+X2)
2-2X1?
X2=5,贝ya2-4a-5=0,然后解方程,满足△为的a的值为所求.
设方程的两根为X1,X2,则X1+X2=a,X1?
x2=2a,
■/X12+X22=5,
二(x1+x2)2-2x1?
x2=5,
•••a2-4a-5=0,
a1=5,a2=-1,
△=a2—8a为,
a=—1.
D.
本题考查了一兀一次方程ax2+bx+c-0(a旳)的根与系数的关系:
右方程的两根为X1,X2,则X1+X2=-
—,X1?
X2=—.也考查了一兀一次方程的根的判别式.
33
7
.(2014?
攀枝花)若方程x2+x-仁0的两实根为a那么下列说法不正确的是
先根据根与系数的关系得到a+3=-1,a=-1,再利用完全平方公式变形a2+丘得到(a+®
2-2a0
利用通分变形1+丄得到,然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值,这样可对各选项进
a®
ap
行判断.
根据题意得a+0=-1,a=-1.
所以a2+02=(a+0)2-2a=(-1)2-2X(-1)=3;
i+i=屮=_!
=1
a0a卩-1
本题考查了一兀一次方程ax2+bx+c-0(aMD)的根与系数的关系:
右方程两个为X1,X2,则X1+X2--—,
X1?
x2=二.
8.(2014?
判别式法.
根据根与系数的关系有:
X1+X2=m+6,X1X2=m2,再根据X1+X2=x1x2得到m的方程,解方程即可,进一步由方程x2-(m+6)+m2=0有两个相等的头数根得出b2-4ac=0,求得m的值,由相冋的解解决问题.
TX1+x2=m+6,x1X2=m2,x1+x2=x1x2,
2
/•m+6=m2,
解得m=3或m=-2,
•••方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根,
/•△=b2-4ac=(m+6)2-4m2=-3m2+12m+36=0
解得m=6或m=-2
/•m=-2.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aMD,a,b,c为常数)根的判别式△=b2-4ac.当A〉。
,方程
有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<
0,方程没有实数根.同时考查了一
元二次方程ax2+bx+c=0(a老)的根与系数的关系:
若方程的两根为xi,x2,则xi+x2=-—,xi?
x2—.
aa
A.2B.1C.-1D.0
根据一元二次方程的根与系数的关系Xi?
X2=£
来求方程的另一个根.
设xi、X2是关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的两个根,
由韦达定理,得xi?
X2=2,即-2x2=2,
解得,X2=-1.
即方程的另一个根是-1.
故选C.
此题主要考查了根与系数的关系.在利用根与系数的关系X1+X2=-上、X1?
时,要注意等式中的a、b、
c所表示的含义.
黄冈样卷)设
一兀二次方程的解.
先根据一兀二次方程的解的定义得到a2+a2015=0,即a2+a-2015,则a2+2a+b变形为a+b+2015,
再根据根与系数的关系得到a+b--1,然后利用整体代入的方法计算.
Ta是方程x2+x-2015-0的根,
•••a2+a-2015-0,即a2+a-2015,
/•a2+2a+b-a+b+2015,
■/a,b是方程x2+x-2015-0的两个实数根
•a+b--1,
•a2+2a+b-a+b+2015--1+2015-2014.
本题考查了根与系数的关系:
右X1,X2是一兀二次方程ax2+bx+c-0(a老)的两根时,x1+x2-—,
X1X2——.也考查了一兀二次方程的解.
A.-6B.6C.3D.-3
由一元二次方程x2-2x-3-0和3x2-11x+6-0先用判别式判断方程是否有解,再根据根与系数的关系
X1Xn—~,即可直接得出答案.
1匚a
由一元二次方程x2-2x-3-0,•••△-4+16-20>
0,
•-X1X2--3,
由一元二次方程3x2-11X+6-0,•••△-121-4>
3X6-49>
0,
•X1X2-2
•—3疋——6
故选A.
本题考查了一元二次方程根与系数的关系•解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式.
12•(2014?
峨眉山市二模)已知xi、X2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则-HJ,-的最大
A•19B.18C•15D•13
二次函数的最值.
根据X1、X2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实根,由△为即可求出k的取值范围,然后
根据根与系数的关系求解即可.
由方程有实根,得△为,即(k-2)2-4(k2+3k+5)为
所以3k2+16k+16切,
所以(3k+4)(k+4)切
4
解得-4惑<--•
又由X1+X2=k-2,X1?
x2=k2+3k+5,得
X12+X22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=19-(k+5)2,
当k=-4时,X12+x22取最大值18•
B•
本题考查了根与系数的关系,属于基础题,关键是根据△为先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进
行求解.
13•(2014?
X1、X2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且X1+X2=3,X1X2=1,则a、b的值
A•a=—3,b=1
B.a=3,b=1
b=-1
D•a=-上,b=1
根据根与系数的关系得到得xi+X2=-2a,xiX2=b,即-2a=3,b=1,然后解一次方程即可.
根据题意得xi+x2=-2a,xix2=b,
所以-2a=3,b=1,
解得a=-—,b=1.
故选D.
右xi,x2是一兀二次方程ax2+bx+c-0(a和)的两根时,xi+x2--一,xix2—
14.(2013?
湖北)已知a,B是一元二次方程X2-5x-2=0的两个实数根,则a2+a+圧的值为()
A.-1B.9C.23D.27
考点:
分析:
根据根与系数的关系a+护--,a=-,求出a+B和ap的值,再把要求的式子进行整理,即可得出答案.aa
解答:
Ta,B是方程x2-5x-2=0的两个实数根,
二a+p=5,a=-2,又a2+a+库=(a+份2-Pa
a2+a+金=52+2=27;
点评:
此题考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法,若
、h|
方程两个为X1,X2,贝UX1+X2=,X1X2=—.
15.
(2013?
桂林)已知关于x的一兀二次方程x2+2x+a1=0有两根为X1和X2,且X12X1X2=0,则a的值是
(
)
压轴题.
根据xi2-xix2=0可以求得xi=0或者xi=x2,所以①把xi=0代入原方程可以求得a=1;
②利用根的判
别式等于0来求a的值.
解xi2-XiX2=0,得
xi=0,或xi=x2,
1把xi=0代入已知方程,得
a-仁0,
解得:
a=i;
2当xi=x2时,△=4—4(a-i)=0,即8-4a=0,
a=2.
综上所述,a=i或a=2.
本题考查了根与系数的关系、一兀二次方程的解的定义.解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值.
天河区二模)已知一元二次方程x2-4x+3=0两根为xi、x2,贝Uxi+x2=()
B.3
根据
元二次方程x2
4x+3=0两根为xi、X2,直接利用xi+x2=
:
求出即可
.
一兀二次方程
x2-4x+3=0两根为xi、x2,
/•x1+x2=
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键.
的根与系数的关系:
若方程两个为X1,X2,则X1+X2=-—:
x1?
x2=
莱芜)已知m
n是方程x2+^2x+仁0的两根,则代数式』/+口即3血的值为(
二次根式的化简求值.
整体思想.
根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a用)的根与系数的关系得到m+n=-2^2,mn=1,再变形寸叩?
+门即孑間得VCirri-n)2+mn.,然后把m+n=-2人迈,mn=1整体代入计算即可.
tm、n是方程x2+2“Jpx+1=0的两根,
/•m+n=—2|j:
mn=1,
••”皿'
+口‘十31110=』(吋口)?
+wl=J〔一2近)殳+1=冈=3-
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=
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