微积分公式手册1Word下载.docx
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In=
ππ
22
∫sinnxdx=∫
00
cosnxdx=n−1I
n
2
n−2
∫x2
+a2
dx=x
x2+a2
+aln(x+
)+C
−a2
x2−a2
−alnx+
a2
x2−a2+C
∫a−x
dx=
a−x
+arcsin+C
2a
三角函数的有理式积分:
sinx=
2u
1+u2
, cosx=
1−u2
, u=tg
x, dx=
2du
一些初等函数:
两个重要极限:
双曲正弦:
shx=e
−e−x
limsinx=1
2x→0x
双曲余弦:
chx=e
+e−x
lim(1+1)x=e=2.718281828459045...
双曲正切:
thx=shx=e
−e−x
x→∞
chx
ex+e−x
arshx=ln(x+
archx=±
ln(x+
x2+1)
x2−1)
arthx=1ln1+x
21−x
三角函数公式:
·
诱导公式:
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°
sinα
ctgα
tgα
+α
180°
-cosα
270°
360°
和差角公式:
·
和差化积公式:
sin(α±
β)=sinαcosβ±
cosαsinβ
sinα+sinβ=2sinα+βcosα−β
cos(α±
β)=cosαcosβmsinαsinβ
tgα±
tgβ
sinα−sinβ=2cosα+βsin
α−β
tg(α±
β)=22
1mtgα
⋅tgβ
cosα+cosβ=2cosα+βcosα−β
ctg(α±
β)=ctgα⋅ctgβm122
ctgβ±
ctgα
cosα−cosβ=2sinα+βsinα−β
倍角公式:
sin2α=2sinαcosα
cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2α
ctg2α−1
sin3α=3sinα−4sin3α
cos3α=4cos3α−3cosα
ctg2α=
tg2α=
2ctgα
2tgα
3tgα−tg3α
tg3α=
1−3tg2α
1−tg2α
半角公式:
sinα=±
1−cosα cosα=±
1+cosα
tgα=±
1−cosα
=1−cosα=
sinα
ctgα=±
=1+cosα=
正弦定理:
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=2R
余弦定理:
c2=a2+b2−2abcosC
反三角函数性质:
arcsinx=π−arccosx arctgx=π−arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)(n)=
∑
k=0
k(n−k)(k)
Cuv
=u(n)v+nu(n−1)v′+n(n−1)u(n−2)v′+L+n(n−1)L(n−k+1)u(n−k)v(k)+L+uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
f()−()
′(ξ)
柯西中值定理:
b
fa=f
F(b)−F(a)
F′(ξ)
当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds=
1+y′2dx,其中y′=tgα
平均曲率:
K=
Δα.Δα:
从M点到M′点,切线斜率的倾角变化量;
Δs:
MM′弧长。
Δs
M点的曲率:
K=limΔα
=dα=y′.
直线:
K=0;
Δs→0Δsds
(1+y′2)3
半径为a的圆:
K=1.
定积分的近似计算:
b
矩形法:
∫f(x)≈
梯形法:
b−a
(y0+y1+L+yn−1)
L
[1(y+y)+y++y]
20n1n−1
抛物线法:
3n
[(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn−2)+4(y1+y3+L+yn−1)]
定积分应用相关公式:
功:
W=F⋅s
水压力:
F=p⋅A
引力:
F=km1m2,k为引力系数
r2
1b
函数的平均值:
y=f(x)dx
b−aa
12
均方根:
f
(t)dt
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
d=M1M2=
(x2
−x)2+(y
−y)2+(z
−z)2
向量在轴上的投影:
PrjuAB=
AB⋅cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。
vvv
Prju(a1+a2)=Prja1+Prjav2
vvvv
z
a⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角:
cosθ=
axbx
+ayby
+azbz
a2+a
2+a2⋅
b2+b2+b2
ijk
v
xyz
y
cv=av×
b=aa
bxby
az,cv=av⋅bsinθ.例:
线速度:
vv=wv×
rv.
bz
axayaz
向量的混合积:
[avbcv]=(av×
b)⋅cv=bb
cxcy
b=av×
b⋅cvcosα,α为锐角时,
cz
代表平行六面体的体积。
平面的方程:
1、点法式:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0,其中nv={A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax+By+Cz+D=0
3+
xyz
、截距世方程:
+=1
abc
平面外任意一点到该平面的距离:
d=
Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2
⎧x=x0+mt
x−x0
y−y0
z−z0v⎪
空间直线的方程:
=
mn
二次曲面:
==t,其中s={m,n,p};
参数方程:
⎨y=y0+nt
p
⎪
⎩z=z0+pt
x2
1、椭球面:
+
yz2
+=1
b2c2
y2
2、抛物面:
2p2q
3、双曲面:
=z(,
p,q同号)
x2y2z2
单叶双曲面:
+−
a2b2c2
双叶双曲面:
−+
=1
=(1马鞍面)
多元函数微分法及应用
全微分:
dz=∂zdx+∂zdy du=∂udx+∂udy+∂udz
∂x∂y
∂x∂y∂z
全微分的近似计算:
Δz≈dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy
多元复合函数的求导法:
z=f[u(t),v(t)]
dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
dt
∂u∂t
∂v∂t
z=f[u(x,y),v(x,y)]
∂z=
∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
∂x∂u∂x
当u=u(x,y),v=v(x,y)时,
∂v∂x
du=∂udx+∂udy dv=∂vdx+∂vdy
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)=0
dy=−Fx
dy=
∂(−Fx)+∂
(−Fx)⋅dy
,
Fydx
∂xFy
∂yFydx
隐函数F(x,y,z)=0
∂z=−Fx
∂z=−Fy
,
∂xFz
∂yFz
∂u
∂F
⎧F(x,y,u,v)=0∂(F,G)
隐函数方程组:
⎨ J==
∂v=FuFv
⎩G(x,y,u,v)=0
∂(u,v)
∂G∂G
∂u∂v
GuGv
∂u=−1⋅∂(F,G)
∂v1∂(F,G)
=−⋅
∂xJ
∂(x,v)
∂(u,x)
∂yJ
∂(y,v)
∂(u,y)
微分法在几何上的应用:
⎧x=ϕ(t)
⎩
⎪y=ψ(t)在点M(x,y,z)
=y−y0
=z−z0
空间曲线⎨
⎪z=ω(t)
000
处的切线方程:
ϕ′(t0)
ψ′(t0)
ω′(t0)
T
在点M处的法平面方程:
ϕ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0
若空间曲线方程为:
⎪⎧⎨
F(x,y,z)=0
则切向量v={Fy
Fz,Fz
Fx,FxFy}
G(x,y,z)=0
GyGzGz
GxGxGy
曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则:
x000y000z000
1、过此点的法向量:
nv={F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)}
2、过此点的切平面方程:
Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0
3、过此点的法线方程:
=y−y0
=z−z0
Fx(x0,y0,z0)
Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
方向导数与梯度:
∂f∂∂
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:
∂l
=fcosϕ+
∂x
fsinϕ
∂y
其中ϕ为x轴到方向l的转角。
j
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)=∂fi+∂fv
∂fv
它与方向导数的关系是:
=gradf(x,y)⋅e,其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j,为l方向上的
单位向量。
∴∂f是gradf(x,y)在l上的投影。
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,令:
fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C
⎧⎧A<
0,(x,y
)为极大值
⎪AC−B2>
0时,⎨00
⎪⎩A>
0,(x0,y0)为极小值
则:
⎨AC−B2<
0时, 无极值
⎪AC−B2=0时, 不确定
⎪⎩
重积分及其应用:
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
DD′
曲面z=f(x,y)的面积A=
1+⎛=∂z⎞
⎛∂z⎞
dxdy
∫∫⎜
⎟+⎜⎟
D⎝∂x⎠
⎝∂y⎠
M∫∫xρ(x,y)dσ
M∫∫yρ(x,y)dσ
平面薄片的重心:
x=x=D, y=
y=D
3y
M∫∫ρ(x,y)dσ
D
F
平面薄片的转动惯量:
对于x轴Ix=∫∫y
ρ(x,y)dσ, 对于y轴Iy=∫∫x
ρ(x,y)dσ
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a>
0)的引力:
F={Fx,Fy,
Fz},其中:
Fx=
f∫∫
ρ(x,y)xdσ
, =
ρ(x,y)ydσ
3, Fz=−
fa∫∫
3
D(x2+y2+a2)2
柱面坐标和球面坐标:
⎨
⎧x=rcosθ
柱面坐标:
⎪y=rsinθ, ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz,
⎪z=zΩΩ
其中:
F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)
⎧x=rsinϕcosθ
球面坐标:
⎪y=rsinϕsinθ, dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=r2sinϕdrdϕdθ
⎩z=rcosϕ
2ππ
r(ϕ,θ)
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,ϕ,θ)r2sinϕdrdϕdθ=∫dθ∫dϕ
∫F(r,ϕ,θ)r2sinϕdr
ΩΩ
11
1
MMM
重心:
x=∫∫∫xρdv, y=∫∫∫yρdv, z=∫∫∫zρdv, 其中M=x=∫∫∫ρdv
Ω
转动惯量:
Ix=∫∫∫(y
+z2
)ρdv, Iy=∫∫∫(x
)ρdv, Iz=∫∫∫(x
+y2
)ρdv
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
(α≤t≤β),则:
⎩y=ψ(t)
β
⎧x=t
∫f(x,y)ds=∫f[ϕ(t),ψ(t)]
ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt (α<
β) 特殊情况:
Lα⎩y=ϕ(t)
第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
设L的参数方程为⎨
,则:
⎩y=ψ(t)
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt
Lα
两类曲线积分之间的关系:
∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds,其中α和β分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
∂Q∂P∂Q∂P
格林公式:
∫∫(−)dxdy=∫Pdx+Qdy格林公式:
∫∫(−)dxdy=∫Pdx+Qdy
D∂x∂yL
∂Q
当P=−y,Q=x,即:
−∂P
=2时,得到D的面积:
A=∫∫dxdy=∫xdy−ydx
D2L
平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且∂Q=∂P。
注意奇点,如(0,0),应
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
二元函数的全微分求积:
在∂Q=∂P时,Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
u(x,y)=
(x,y)
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设x0=y0=0。
(x0,y0)
曲面积分:
对面积的曲面积分:
∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f[x,y,z(x,y)]
1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy
∑Dxy
对坐标的曲面积分:
∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:
∫∫R(x,y,z)dxdy=±
∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
∫∫P(x,y,z)dydz=±
∫∫P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
∑Dyz
∫∫Q(x,y,z)dzdx=±
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