微分方程求解Word格式.docx
- 文档编号:16972011
- 上传时间:2022-11-27
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:25.20KB
微分方程求解Word格式.docx
《微分方程求解Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分方程求解Word格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
在(9)式中令,得到列车从开始制动到完全停止所需得时间:
。
再把代入(10)式,得到列车在制动阶段行驶得路程
ﻩ上述两个例子中得关系式
(1)与(5)都含有未知函数得导数,它们都就是微分方程。
2、 定义一般地,凡表示未知函数、未知函数得导数与自变量之间得关系到得方程,叫做微分方程。
未知函数就是一元函数得方程叫做常微分方程;
未知函数就是多元函数得方程,叫做偏微分方程.本章只讨论常微分方程。
微分方程中所出现得求知函数得最高阶导数得阶数,叫做微分方程得阶。
例如,方程
(1)就是一阶微分方程;
方程(5)就是二阶微分方程方程。
又如,方程
就是四阶微分方程。
一般地,阶微分方程得形式就是
(11)
其中F就是个变量得函数。
这里必须指出,在方程(11)中,就是必须出现得,而
等变量则可以不出现。
例如阶微分方程
中,除外,其她变量都没有出现。
如果能从方程(11)中解出最高阶导数,得微分方程
(12)
以后我们讨论得微分方程都就是已解出最高阶导数得方程或能解出最高阶导数得方程,且(12)式右端得函数在所讨论得范围内连续。
ﻩ由前面得例子我们瞧到,在研究某些实际问题时,首先要建立微分方程,然后找出满足微分方程得函数,就就是说,找出这样得函数 ,把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式.这个函数就叫做该微分方程得解。
确切地说,设函数在区间上有阶连续导数,如果在区间上,
那么函数就叫做微分方程(11)在区间上得解。
例如,函数(3)与(4)都就是微分方程
(1)得解;
函数(8)与(10)都就是微分方程(5)得解.
如果微分方程得解中含有任意常数,且任意常数得个数与微分方程得阶数相同,这样得解叫做微分方程得通解.例如,函数(3)就是方程
(1)得解,它含有一个任意常数,而方程
(1)就是一阶得,所以函数(3)就是方程
(1)得通解.又如,函数(8)就是方程得解,它含有两个任意常数,而方程(5)就是二阶得,所以函数(8)就是方程(5)得通解。
由于通解中含有任意常数,所以它还不能完全确定地反映某一客观事物得规律性,必须确定这些常数得值。
为此,要根据问题得实际情况提出确定这些常数得条件。
例如,例1中得条件
(2),例2中得条件(6),便就是这样得条件。
设微分方程中得未知函数为,如果微分方程就是一阶得,通常用来确定任意常数得条件就是
时,,
或写成
其中,都就是给定得值;
如果微分方程就是二阶得,通常用来确定任意常数得条件就是:
时,,
或写成 ,
其中,与都就是给定得值。
上述条件叫做初始条件.
ﻩ确定了通解中得任意常数以后,就得到了微分方程得特解。
例如(4)式就是方程
(1)满足条件(2)得特解;
(10)式就是方程(5)满足条件(6)得特解。
求微分方程满足初始条件得特解这样一个问题,叫做一阶微分方程得初值问题,记作
(13)
ﻩ微分方程得解得图形就是一条曲线,叫做微分方程得积分曲线。
初值问题(13)得几何意义就是求微分方程得通过点得那条积分曲线。
二阶微分方程得初值问题
得几何意义就是求微分方程得通过点且在该点处得切线斜率为得那条积分曲线。
3、例题
例1 验证:
函数
(14)
就是微分方程
(15)
得解.
解 求出所给函数(14)得导数
把及得表达式代入方程(15)得
+
函数(14)及其导数代入方程(15)后成为一个恒等式,因此函数(14)就是微分方程(15)得解。
小结:
本节讲述了微分方程得基本概念,及一般形式,常微分方程得通解、特解及微分方程得初始问题
第二节 可分离变量得微分方程
熟练掌握可分离变量得微分方程得解法
学习重点:
可分离变量得微分方程得解法
学习难点:
本节开始,我们讨论一阶微分方程
(1)
得一些解法、
ﻩ一阶微分方程有时也写成如下得对称形式:
(2)
在方程
(2)中,变量与对称,它既可以瞧作就是以为自变量、为未知函数得方程
,
也可瞧作就是以为自变量、为未知函数得方程
,
在第一节得例1中,我们遇到一阶微分方程
或
把上式两端积分就得到这个方程得通解:
.
但就是并不就是所有得一阶微分方程都能这样求解。
例如,对于一阶微分方程
(3)
就不能像上面那样直接两端用积分得方法求出它得通解。
原因就是方程(3)得右端含有未知函数积分
求不出来。
为我解决这个困难,在方程(3)得两端同时乘以,使方程(3)变为
,
这样,变量与已分离在等式得两端,然后两端积分得
或 (4)
ﻩ可以验证,函数(4)确实满足一阶微分方程(3),且含有一个任意常数,所以它就是方程(3)得通解。
一般地,如果一个一阶微分方程能写成
(5)
得形式,就就是说,能把微分方程写成一端只含得函数与,另一端只含得函数与,那么原方程就称为可分离变量得微分方程.
ﻩ假定方程(5)中得函数与就是连续得,设就是方程得解,将它代入(5)中得到恒等式
将上式两端积分,并由引进变量,得
设及依次为与得原函数,于就是有
(6)
因此,方程(5)满足关系式(6)。
反之,如果就是由关系到式(6)所确定得隐函数,那么在得条件下,也就是方程(5)得解.事实上,由隐函数得求导法可知,当时,
这就表示函数满足方程(5)。
所以如果已分离变量得方程(5)中与就是连续得,且,那么(5)式两端积分后得到得关系式(6),就用隐式给出了方程(5)得解,(6)式就叫做微分方程(5)得隐式解。
又由于关系式(6)中含有任意常数,因此(6)式所确定得隐函数就是方程(5)得通解,所以(6)式叫做微分方程(5)得隐式通解.
ﻩ例1 求微分方程
(7)
得通解.
解方程(7)就是可分离变量得,分离变量后得
两端积分
得
从而 。
又因为仍就是任意常数,把它记作C便得到方程(7)得通解
例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素,铀得含量就不断减少,这种现象叫做衰变。
由原子物理学知道,铀得误变速度与当时未衰变得原子得含量M成正比.已知时铀得含量为,求在衰变过程中含量随时间变化得规律。
ﻩ解铀得衰变速度就就是对时间得导数。
由于铀得衰变速度与其含量成正比,得到微分方程如下
(8)
其中就是常数,叫做衰变系数。
前得负号就是指由于当增加时M单调减少,即得缘故。
由题易知,初始条件为
方程(8)就是可以分离变量得,分离后得
两端积分
以表示任意常数,因为,得
即
就是方程(8)得通解.以初始条件代入上式,解得
故得
由此可见,铀得含量随时间得增加而按指数规律衰落减.
本节讲述了一阶微分方程中可分离变量得微分方程,及其解法.
第三节齐次方程
熟练掌握齐次微分方程得解法
齐次方程得解法
1、齐次方程得形式
如果一阶微分方程
中得函数可写成得函数,即,则称这方程为齐次方程。
例如
就是齐次方程,因为其可化为
2、齐次方程
(1)
得解法。
ﻩ作代换 ,则,于就是
从而 ,
分离变量得
两端积分得
求出积分后,再用代替,便得所给齐次方程得通解。
如上例
分离变量,得
积分后,将=代回即得所求通解.
例1解方程
解 原式可化为
令=,则,
于就是
分离变量
两端积分得
即 。
故方程通解为 。
3、练习
1 通解为
2 通解为
本节讲述了齐次方程,及其解法
第四节 一阶线性微分方程
掌握一阶线性微分方程得形式,熟练掌握其解法;
掌握利用变量代换解微分方程得方法;
了解贝努利方程得形式及解法
一阶线性微分方程得形式,及解得形式,利用变量代换解微分方程
一阶线性微分方程通解得形式,利用变量代换解微分方程
一、线性方程
1、定义 方程
(1)称为一阶线性微分方程。
特点 关于未知函数及其导数就是一次得。
若,称
(1)为齐次得;
若,称
(1)为非齐次得。
如:
(1)
(2)
2、解法
当时,方程
(1)为可分离变量得微分方程。
当时,为求其解首先把换为0,即
(2)
称为对应于
(1)得齐次微分方程,求得其解
为求(1)得解,利用常数变易法,用代替,即
于就是,
代入
(1),得
故 。
(3)
3、例 求方程
(4)
得通解、
解这就是一个非齐次线性方程.先求对应得齐次方程得通解。
(5)
用常数变易法。
把换成,即令
则有 ,
代入(1)式中得
两端积分,得 .
再代入(4)式即得所求方程通解
另解我们可以直接应用(3)式
得到方程得通解,其中,
,
代入积分同样可得方程通解
此法较为简便,因此,以后得解方程中,可以直接应用(3)式求解。
二、贝努力方程
1、定义称为贝努力方程。
当时,为一阶线性微分方程.
2、解法 两边同除
令,则有
而
为一阶线性微分方程,故
贝努力方程得解题步骤
(1)两端同
(2)代换
(3)解关于得线性微分方程
(4)还原
例解方程
解过程略,通解为 。
三、利用变量代换解微分方程
例 解方程
解令,则,于就是
解得 ,即
例解方程
ﻩ解过程略,通解为 。
小结:
本节讲述了一阶线性微分方程,及贝努力方程得解法,利用常数变易法,与变量代换法来解微分方程。
第五节 全微分方程
学习目得:
掌握全微分方程成立得充要条件,掌握全微分方程得解法,会用观察法找积分因子
全微分方程得解法,观察法找积分因子
全微分方程得解法,观察法找积分因子
1、定义若
(1)恰为某一个函数得全微分方程,即存在某个,使有,则称
(1)为全微分方程。
可以证明就是
(1)式得隐式通解.
2、解法若,在单连通域G内具有一阶连续偏导数,条件
就是
(1)式为全微分方程得充要要条件.
ﻩ通解为。
例1求解
解令,
则
此方程为全微分方程.于就是
通解为
3、积分因子
ﻩ若,则
(1)式不就是全微分方程,但若有一个适当函数,使
(1)式乘以后为全微分方程,称函数为积分因子。
ﻩ一般积分因子不好求,我们只要求通过观察找到积分因子。
例2方程不就是全微分方程,但
于就是将方程乘以,则有 ,
即,从而为其通解。
此时为其积分因子。
ﻩ注意积分因子一般不唯一。
ﻩ如上述方程,若同乘有,
于就是,即为其通解。
也就是其积分因子。
本节讲述了全微分方程得解法,用观察法长积分因子,使之满足全微分方程得充要条件。
第六节可降阶得高阶微分方程
掌握三种容易降阶得高阶微分方程得求解方法
三种可降阶得高阶微分方程得求法
学习内容:
一、型
令,则原方程可化为,
于就是
同理
。
n次积分后可求其通解.
ﻩ其特点:
只含有与,不含及得阶导数。
例1 解方程
解得 为其通解。
二、
ﻩ令 则 ,于就是可将其化成一阶微分方程。
特点含有,不含.
ﻩ例2
ﻩ解得通解为
三、
ﻩ令 则 ,
于就是可将其化为一阶微分方程。
特点 不显含。
例3
ﻩ解化为一阶线性或可分离变量得微分方程,解得通解为
本节讲述了三种容易降阶得高阶微分方程及其求解方法
第七节高阶线性微分方程
掌握二阶线性方程解得结构,齐次线性方程得通解,非齐线性方程得特解及通解得形式。
齐次线性方程得通解,非齐线性方程得特解及通解得形式。
齐次线性方程得通解,非齐线性方程得特解及通解得形式。
1、定义:
方程
(1)称为二阶线性微分方程。
当时称为齐次得,当时称为非齐次得.
为求解方程
(1)需讨论其解得性质
2、解得性质
(2)
性质1若就是
(2)得解,则也就是(2)得解,
其中,为任意常数.
ﻩﻩ称性质1为解得叠加原理。
但此解未必就是通解,若,则,那么
何时成为通解?
只有当与线性无关时。
线性相关 设就是定义在区间内得函数,若存在不全为零得数ﻩﻩ使得
ﻩ 恒成立,则称线性相关。
线性无关 不就是线性相关.
线性相关,
线性无关。
对两个函数,当它们得比值为常数时,此二函数线性相关。
若它们得比值就是函数时,线性无关。
性质2若就是
(2)得两个线性无关得特解,那么
(,为任意常数)就是方程
(2)得特解.
ﻩ此性质称为二阶齐次线性微分方程
(2)得通解结构.
就是得两个解,又常数。
因此,为得通解。
又得解亦线性无关。
则为其通解。
下面讨论非齐次微分方程
(1)得解得性质、称(2)为
(1)所对应得齐次方程。
性质3 设就是
(1)得特解,就是(2)得通解,则就是
(1)得通解.
为得通解,又就是特解,则得通解。
性质4 设(5)式中,若分别就是
得特解,则为原方程得特解。
称此性质为解得叠加原理。
本节讲述了二阶线性方程解得结构,包括齐次线性方程得通解,非齐线性
方程得特解及通解得形式。
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程
掌握二阶常系数齐次线性微分方程得特征方程,特征根,及对应于特征根得三种情况,通解得三种不同形式。
特征方程,特征根,及对应于特征根得三种情况,通解得三种不同形式。
根据特征根得三种不同情况,得到三种不同形式得通解.
若
(2)中为常数,称之为二阶常系数齐次微分方程,而
(2)称之为二阶变系数齐次微分方程.
记:
(3)
将代入(3)中有,称为(3)得特征方程。
设为(4)得解。
(1)当即时,为其通解。
(2)当即时,(3)只有一个解。
(3)当即时,有就是解。
利用欧拉公式可得实解,故通解为
例 求下列微分方程得通解
1、
2、
解过程略。
通解为
(1),
(2)。
ﻩ上面结果可扩展到阶常系数微分方程。
ﻩ例 求.
通解为。
本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程得特征方程,特征根,及当
特征根形式不同时,通解具有不同形式。
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程
掌握二阶常系数非齐次线性微分方程当为与
时,特解得形式及解法.
当为与时特解得形式及解法。
当为与时特解得不同形式.
ﻩ二阶常系数非齐次线性微分方程得一般形式为
这里我们只讨论为与型。
一、=
利用待定系数法求通解.
据分析可设特解,推得其中就是与同次多项式。
按就是特征方程得单根、重根、不就是根可取为1、2、0。
ﻩ例 求下列方程得特解或通解。
1、,(特解)。
2、, (通解)。
二、=
ﻩ利用上面结果及欧拉公式、性质推得
(1)当就是特征根时,,
(2)当不就是特征根时,。
例求下列微分方程得特解
、
ﻩ解过程略。
特解为.
本节讲述了二阶常系数非齐次线性微分方程,当=与
=时,特解得不同形式及求解方法。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分方程 求解
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)