定积分在生活中的应用docWord文档下载推荐.docx
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xi的乘积
f
i
(i
1,2,L
n),
③作出和S
xi。
记P
maxx1,
x2,L,xn作极限lim
i1
P0
如果不论对a,b
怎样分法,也不论在小区间xi1,xi
上点i怎样取法,只要当
P0时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数f
x在
区间a,b
上的定积分(简称积分),记作
b
fxdx,即
a
xdx=I
=lim
xi,
fi
P0i
其中fx
叫做被积函数,f
xdx叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做
积分下限,b叫做积分上限,a,b叫做积分区间。
2.定积分的性质
设函数f
和gx
在a,b
上都可积,k是常数,则kf
x和fx+gx都
可积,并且
性质1
kf
xdx=kfxdx;
性质2
fxgxdx=fxdx+gxdx
fx
gxdx=fxdx-
gxdx.
性质3
定积分对于积分区间的可加性
设
在区间上可积,且a,和c都是区间内的点,则不论a,和c的
c
相对位置如何,都有
fxdx=
fxdx+
fxdx。
性质4
如果在区间a,b
上f
1dx=
a。
x1,则
dx=b
性质5
如果在区间a,b上fx
xdx
b。
则f
性质6
如果在[a,b]上,
则m(b
m
f(x)
M
a)
f(x)dxM(ba)
性质7
(定积分中值定理)如果
f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少
存一点使得
3.定理
f(x)dxf()(ba)
定理1
微积分基本定理
如果函数f
x在区间a,b上连续,则积分上限函数
=
ftdt在a,b上
d
ftdt
可导,并且它的导数是
'
x=
=fxa
.
dx
定理2
原函数存在定理
如果函数fx在区间a,b上连续,则函数
x=ftdt就是f
a,b上的一个原函数.
定理3
如果函数Fx是连续函数f
x在区间a,b上的一个原函数,
则
fxdx=FbFa
称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.
二、定积分的应用
1、定积分在几何中的应用
(1)设连续函数f(x)和g(x)满足条件g(x)f(x),x[a,b].求曲线
yf(x),yg(x)及直线xa,xb所围成的平面图形的面积S.(如图1)
解法步骤:
第一步:
在区间[a,b]上任取一小区间[x,xdx],并考虑它上面的图形的
面积,这块面积可用以[f(x)g(x)]为高,以dx为底的矩形面积近似,于是
dS[f(x)g(x)]dx.
第二步:
在区间[a,b]上将dS无限求和,得到S[f(x)g(x)]dx.
(2)上面所诉方法是以x为积分变量进行微元,再求得所围成图形的面积;
我们还可以将y作为积分变量进行微元,再求围成的面积。
由连续曲线
x(y)、x(y)其中(y)(y)与直线yc、yd所围成的平面图形(图
2)的面积为:
图2
[(y)(y)]dy
S
例1
求由曲线
y
sinx
,ycosx及直线x
所围成图形的面积A.
解
(1)作出图形,如图所示.
易知,在[0,
]上,曲线ysinx与y
cosx的交点为(,
2);
4
2
(2)取x为积分变量,积分区间为[0,].从图中可以看出,所围成的
图形可以分成两部分;
(3)区间[0,
]上这一部分的面积A1和区间[
]上这一部分的面积A2
分别为
A1
4(cosxsinx)dx,
A2
(sinxcosx)dx,
所以,所求图形的面积为
AA1
=4(cosxsinx)dx+(sinxcosx)dx
sinxcosx
cosxsinx
22.
例2求椭圆x2
y2
1的面积.
解
椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的
4倍,即
4S1
利用椭圆的参数方程
acost
ydx
bsint
应用定积分的换元法,dxasintdt,且当x
0时,t
xa时,t
0,于
是
bsint(acost)dt
4ab
2sin2tdt
21
cos2tdt
t
1sin2t
ab
2.求旋转体体积
用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,例
如一个木块的体积,我们可以将此木块作分割T:
ax0x1xnb划分
成许多基本的小块,每一块的厚度为xi(i1,2,,n),假设每一个基本的小
块横切面积为A(xi
)(i
1,2,
n),A(x)为a,b上连续函数,则此小块的体积大
约是A(xi)
xi,将所有的小块加起来,令
T0,我们可以得到其体积:
。
V
lim
A(xi)xi
A(x)dx
T0
例2
求由曲线xy
直线x1,x
4,y0绕x轴旋转一周而形成的
立体体积.
解先画图形,因为图形绕x轴旋转,所以取x为积分变量,x的变化
区间为[1,4],相应于[1,4]上任取一子区间[x,x+dx]的小窄条,绕x轴旋
转而形成的小旋转体体积,可用高为dx,底面积为πy2的小圆柱体体积近似
代替,
即体积微元为
dV=
πy2
dx=
π4
dx,
(
)
于是,体积
xy=4
V=π
(4)2dx
O1xx+dx4
=16π
16π114=12π.
3.求曲线的弧长
(1)设曲线y
f(x)
在a,b上有一阶连续导数(如下图),利用微元法,
取x为积分变量,在a,b
上任取小区间x,x
dx,切线上相应小区间的小段
MT的长度近似代替一段小弧MN的长度,即lMNds.得弧长微元为:
dsMT(dx)2
(dy)2
(y)2dx,再对其积分,
则曲线的弧长为:
s
ds
1(y)2dx
1[f(x)]2dx
(2)参数方程表示的函数的弧长计算,设曲线
的弧长.这时弧长微元为:
(t)
上t
一段
dsdx
dy
2t
2tdt
dt即ds
dt
则曲线的弧长为
sds
[(t)]2
[
(t)]2dt
例3
(1)
求曲线y
2x23
3
上从0到3一段弧的长度
解由公式s=b1y2dx(ab)知,弧长为
s=
1y2dx=
1xdx=2
03=16
2=14.
(1
x)2
(2)求摆线xa(tsint),在0t2上的一段弧的长度(a0).
ya(1cost)
解取t为积分变量,积分区间为[0,2].由摆线的参数方程,得
xa(1cost),yasint,
x2y2a2(1cost)2a2sin2ta2(1cost)2a|sint|.
于是,由公式(16-13),在0t2上的一段弧的长度为
s
2a|sint|dt
2asintdt4acost
22
8a
2、定积分在经济中的应用
(1)、由经济函数的边际,求经济函数在区间上的增量
根据边际成本,边际收入,边际利润以及产量x的变动区间[a,b]上的改
变量(增量)就等于它们各自边际在区间[a,b]上的定积分:
R(b)
R(a)
R(x)dx
C(b)
C(a)
C(x)dx
(1)
(2)
(3)
L(b)L(a)L(x)dx
例1已知某商品边际收入为
0.08x
(万元/t),边际成本为5(万元
25
/t),求产量
从250t增加到300t
时销售收入
,总成本C
,利润
R(x)
(x)
I(x)
的改变量(增量)。
解首先求边际利润
L(x)R(x)C(x)0.08x2550.08x20
所以根据式
(1)、式
(2)、式(3),依次求出:
R(300)
R(250)
300
0.08x
25)dx=150万元
R(x)dx
250
C(300)
C(250)
dx=250万元
L(300)
L(250)
20)dx=100万元
L(x)dx
(2)、由经济函数的变化率,求经济函数在区间上的平均变化率
t2
f(t)dt
设某经济函数的变化率为
f(t),则称
t1
为该经济函数在时间间隔
t2t1
[t2,t1]内的平均变化率。
某银行的利息连续计算,利息率是时间
t(单位:
年)的函数:
r(t)0.08
0.015t
求它在开始2年,即时间间隔[0,2]内的平均利息率。
由于
0.160.01tt02
0.160.022
r(t)dt
(0.080.015t)dt
所以开始2年的平均利息率为
r
0.08
0.01
0.094
例
3某公司运行t(年)所获利润为L(t)(元)利润的年变化率为
L(t)3
105t1
(元/年)求利润从第
4年初到第8年末,即时间间隔[3,
8]内年平均变化率
8
5(t1)2
8338105
L(t)dt
3105t1dt210
所以从第4年初到第8年末,利润的年平均变化率为
L(t)dt
5
(元/年)
7.6
10
即在这5年内公司平均每年平均获利
7.6105元。
(3)、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在t(年)时的收入为
f(t)(万元),年利率为r,即贴现
率是f(t)e
rt,则应用定积分计算,该项目在时间区间[a,b]上总贴现值的增量
rtndt。
为f(t)e
设某工程总投资在竣工时的贴现值为A(万元),竣工后的年收入预计
为a(万元)年利率为r,银行利息连续计算。
在进行动态经济分析时,把
竣工后收入的总贴现值达到A,即使关系式
T
rtdtA
ae
成立的时间T(年)称为该项工程的投资回收期。
例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元,竣工后的年收入预计为200万元,年利息率为,求该工程的投资回收期。
这里A
1000
,a200
,
0.08,则该工程竣工后T年内收入的总
贴现值为
0.08t
200
2500(1e
0.08T
200e
e
令2500(1e0.08T)=1000,即得该工程回收期为
ln(1
ln0.6=(年)
2500
3、定积分在物理中的应用
1、求变速直线运动的路程
我们知道,作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数
v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]
上的定积分,即
sv(t)dt
例1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示.求汽车在这1min
行驶的路程.
解:
由速度一时间曲线可知:
3t,0
10,
v(t)
30,10
40
1.5t
90,40t60.
因此汽车在这1min行驶的路程是:
30dt
60
(1.5t
90)dt
3tdt
t2|100
30t
|1040
90t)|4060
1350(m)
答:
汽车在这1min
行驶的路程是1350m.
总结:
从上面的论述中可以看出,定积分的应用十分的广泛,利用定
积分来解决其他学科中的一些问题,是十分的简洁、方便,由此可对见向
学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习,各个学科之间都是有联系的,
若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用,则不仅
能加深对知识的理解,贯通了新旧知识,还能拓宽知识的应用范围、活跃
思维,无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.
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